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2014年万卷冲刺卷(文数)


姓名_____________班级____________学号____________分数_____________

9.设等差数列 {an } 的公差为 d,若 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 的方差为 1,则 d 等于 A.

2014 年万卷冲刺(一)
文 数 试 题 第Ⅰ卷(选择题 共

50 分) 一、选择题:本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符 合题目要求的. 1、已知复数 z ? i ,则 z 的虚部为( ) A、 i B、 1 C、 ?1 2. 已知 i 是虚数单位,若复数 (1 ? ai)(2 ? i) 是纯虚数,则实数 a 等于
2

1 2 1 2

B. 1 D. ± 1

C. ?

10.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ① 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m ? ? ; ② 若 ? // ? , m ? ? ,则 m // ? ; ③ 若 n ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? ? ; ④ 若 ? ? ? , ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? . 其中正确命题的序号是 A.①③ B.①② C.③④ D.②③ 第Ⅱ卷非选择题(共 100 分) 二.填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卷上) 11.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ?

D、 0

A. 2

B.
3

1 2
3 2 3

C. ?
3 3

1 2
2

D. ?2
3 3 3 3 2

3. 观 察 下 列 等 式 , 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 2 ? 3 ? 6 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 根 据 上 述 规 律 ,

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ?
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 4. 已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如右图 所示则其侧视图的面积为 A.
2 2
2 2

1 2 1 1 , ? ? (n ? N * ) ,则 a10 ? __________ 2 an?1 an an? 2

3
正视图

3 4

B.

3 2

C.

3 4

D. 1

1

5、 已知圆 C1 : ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 , 圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对 称,则圆 C2 的方程为(
2 2 2 2



x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , AB 是它的一条倾斜角为135? 的弦,且 M (2,1) 是弦 2 a b AB 的中点,则椭圆 E 的离心率为_________ 13. 已知双曲线中心在原点, 一个焦点为 F1 (? 5 ,0) , 点 P 在双曲线上, 且线段 PF1 的中点坐标为 (0 , ,则此双曲线的离心率是 . 2)
12.已知椭圆 E 的方程为 14. 已知向量 a ? (1, ?2), b ? (2, ? ) ,且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值范围___

A、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1 B、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1 C、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

俯视图(7题图)

?

?

?

?

D、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

m y2 ? 1的离心率为 ,且抛物线 y 2 ? mx 的焦点为 F ,点 P(2, y0 )( y0 ? 0) 在此 2 3 抛物线上, M 为线段 PF 的中点,则点 M 到该抛物线的准线的距离为( ) 5 3 A、 B、 2 C、 D、 1 2 2 1 1 ? ln 7、已知 ln ,若 x ? y ? ? 恒成立,则 ? 的取值范围是( ) x? y?4 3x ? y ? 2 A、 (??,10] B、 (??,10) C、 [10, ??) D、 (10, ??)
6、已知双曲线 x ?
2

? x ? 0, ? y ?1 15.已知 x 、 y 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 ,则 u ? 的取值范围是_________。 x?2 ? y ? 0, ?

三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,请把答案填在答题卷上) 16、(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,设 f ( x) ? a x ? (a ? b ) x ? 4c ,
2 2 2 2 2

8.若 a , b 是两个单位向量,则“ 3a ? 4b ? 5 ”是“ a ? b ”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
衡水万卷(文数)1

(1)若 f (1) ? 0 ,且 B ? C ?

?
3

,求角 C 的大小;

衡水万卷(文数)2

(2)若 f (2) ? 0 ,求角 C 的取值范围。

(Ⅰ)求出 a, b, x, y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到广场参加 环保知识的志愿宣传活动. (ⅰ)求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率; (ⅱ)求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率.

17. (本小题满分 12 分) 某中学举行了一次“环保知识竞赛”, 全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从 中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成 并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题: 频率分布表 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 8 a 20 ▓ 2 ▓ 频率
0.040

频率 组距

频率分布直方图

0.16 ▓ 0.40 0.08 b ▓

x

▓ ▓
0.008 y 50 60 70 80 90 100

成绩(分)

衡水万卷(文数)3

衡水万卷(文数)4

18. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ; {bn } 为等比数列, b1 ? 1 ,且 b2 S 2 ? 64 ,

19、 (本小题满分 12 分)在几何体 ABCDE 中,∠BAC=

? ,DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC, 2
E

b5 S5 ? 960.
(Ⅰ)求通项公式 an 与 bn ; (Ⅱ)求

1 1 1 ? ??? S1 S 2 Sn

AB=AC=BE=2,CD=1。 (I)设平面 ABE 与平面 ACD 的交线为直线 l ,求证: l ∥平面 BCDE; (II)设 F 是 BC 的中点,求证:平面 AFD⊥平面 AFE; (III)求几何体 ABCDE 的体积。 D F C A

B

衡水万卷(文数)5

衡水万卷(文数)6

20. (本小题满分 13 分) 椭圆 E :

x y + - 1( a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2,过 F1 作垂直于椭圆长轴的弦 a 2 b2 长 PQ 为 3..

2

2

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,并判断是否存在直线 l 使得 ?AF2 B 为钝角,若存在, 求出 l 的斜率 K 的取值范围。

21. (本小题满分 14 分) 1 已知函数 f1 ( x) ? x 2 , f 2 ( x) ? a ln x (其中 a ? 0 ) . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的极值; 1 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? 1) x 在区间 ( , e) 内有两个零点,求正实数 a 的取值范围; e 3 1 (Ⅲ)求证:当 x ? 0 时, ln x ? 2 ? x ? 0 . (说明:e 是自然对数的底数,e=2.71828…) 4x e

衡水万卷(文数)7

衡水万卷(文数)8

姓名_____________班级____________学号____________分数_____________

7.设 F1 , F2 分别是椭圆的左、 右焦点, 与直线 y ? b 相切的⊙ F2 交椭圆于点 E, 且点 E 是直线 EF1 与⊙ F2 的切点,则椭圆的离心率为 A.

2014 年万卷冲刺(二)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.复数 (- 1 + 3i)i = A.

3 2

B.

3 3
1 2

C.

5 4
1 2

D.

5 3

8. 已知 i 是虚数单位,若复数 (1 ? ai)(2 ? i) 是纯虚数,则实数 a 等于 C. - 1 + 3i B. ?x | x ? 0?
2

- 3- i

B. 3 + i

D. 3 - i C. ?x | 0 ? x ? 2? D. ?x |1 ? x ? 2?

A. 2

B.

C. ?

D. ?2 )

2. 设集合 A ? {x 0 ? x ? 2} ,集合 B ? {x log2 x ? 0} ,则 A ? B 等于 A. ?x | x ? 2?

9、 已知圆 C1 : ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 , 圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称, 则圆 C2 的方程为 ( A、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

B、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2 2

1 3 . 己 知 命 题 “ ?x ? R, 使2 x ? (a ? 1) x ? ? 0 ” 是 假 命 题 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 2 (??, ?1) , ? ) A . B . ( ? 1 , 3 ) C . (? 3 ? D . ( ? 3 , 1 )
4. 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, | ? |? 只需将 g(x)=sin2x 的图象

C、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

D、 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2

10.若 a , b 是两个单位向量,则“ 3a ? 4b ? 5 ”是“ a ? b ”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)

?
2

)的图象如图所示,为了得到 f ( x) 的图象,则

? A. 向右平移 个长度单位 6 ? B. 向左平移 个长度单位 6 ? C. 向右平移 个长度单位 3 ? D. 向左平移 个长度单位 3

y π 3 O -1 7π 12 x

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

a 的值为 . b1 ? b2 12. 在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个三等分点,则 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? . CP ? CB ? CP ? CA ?
11.已知数列 1, a,9 是等比数列,数列 1, b1 , b2 ,9 是等差数列,则 13.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O: x ? y ? 1 相交于 A,B 两点,且 | AB |?
2 2

3 ,则 OA ? OB 的

2 5. 已知函数: f ( x) ? x ? bx ? c ,其中: 0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 ,记函数 f ( x) 满足条件: ?

? f (2) ? 12 ? f (?1) ? 3

值是__________。 14.已知 a 2 + b2 = 2, 若 a b _______. a + b ≤ x + 1 - x - 2 对任意实数 、 恒成立,则 x 的取值范围是 15. 给出下列四个命题: ① ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 成立的充要条件;

的事件为 A,则事件 A 发生的概率为 A.

5 8

B.

5 16

C.

3 8

D.

1 2

6.已知一个算法的程序如图所示,若输出的结果 为 3,则可输入的实数 x 的值的个数是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

输入x lf 0<x ≤ 2 Then f ( x) ? 3log 2 x Else f ( x) ? x 2 ? 6 End lf 输出 f ( x)

②当 x ? 0且x ? 1 时,有 ln x ?

1 ?2; ln x

③已知 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则 S9 ? S3 ; ④若函数 y ? f ( x ?
3

3 3 ) 为 R 上的奇函数,则函数 y ? f ( x ) 的图象一定关于点 F ( ,0) 成中心对称. 2 2
2

⑤函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? cos x( x ? R) 有最大值为 2 ,有最小值为 0。 其中所有正确命题的序号为 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. .

衡水万卷(文数)9

衡水万卷(文数)10

16. (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

17. (本小题满分 12 分)

3 sin( ? ?? x ) ? sin( ?? x ? )( >0 的 )图 像 上 两 相 邻 最 高 点 的 坐 标 分 别 为 2

?

在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? (b, 2a ? c), n ? (cos B,cos C), 且m ∥n (1)求角 B 的大小; (2)设 f ( x) ? cos(? x ?

??

?

4 ( ,2), ( ? , 2). 3 3
(Ⅰ)求 ? 的值;

?

B ? ?? ) ? sin x,( ? ? 0), 且 f ( x) 的最小正周期为 ? , 求 f ( x) 在区间 ?0, ? 上 2 ? 2?

的最大值和最小值. (Ⅱ)在 D ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f ( A) = 2 求 b - 2c 的取值范围。

a

衡水万卷(文数)11

衡水万卷(文数)12

18.(本小题满分 12 分) 列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设

在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? c(c 为常数, n ? N ) ,且 a1 , a2 , a5 成公比不等于 1 的等比数
?

19. (本小题满分 12 分)

?ABC ? 60? 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 1, AC ? AA 1 ? 3,
(Ⅰ)证明: AB ? A1C ; (Ⅱ)求直线 BC1 与平面 ACC1 A1 所成角的正切值。 (Ⅲ)求点 A 到平面 A1 BC 的距离。

A1
B1
A B A

C1

bn ?

1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n 。 an an?1

C

衡水万卷(文数)13

衡水万卷(文数)14

21. (本小题满分 14 分) 20.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 和 F2 ,且| F1 F2 |=2, 点(1, 已知函数 f ( x ) ?

ax 在x ? 1处取得极值 2。 x ?b
2

3 )在该椭圆上. 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)当 m 满足什么条件时,函数 f ( x) 在区间 (m,2m ? 1) 上单调递增? (Ⅲ)若 P( x0 , y0 ) 为 f ( x ) ?

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为 线 l 相切圆的方程.

12 2 ,求以 F2 为圆心且与直 7

ax ax 图象上任意一点,直线与 f ( x ) ? 2 的图象相切于点 P,求 x ?b x ?b
2

直线的斜率 k 的取值范围。

衡水万卷(文数)15

衡水万卷(文数)16

姓名_____________班级____________学号____________分数_____________

2014 年万卷冲刺(三)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 U = {1,2,3,4}, M = {x ? U | x2 A. -4 B.4 C.-6 D.6 的定义域是

ì ? e x + a, x ≤ 0, 6.已知函数 f ( x) = ? (a ? R) 若函数 f ( x) 在 R 上有两个零点,则 a 的取值范围是() í ? 2 x 1, x > 0 ? ?
A.(- ? , 1) B. ( - ? , 0) C. ( - 1, 0 )

D.[- 1 , ) 0

7. 如图,用一边长为 2 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将表面

5x + p = 0} ,若 Cu M = {2,3} ,则实数 p 的值为(



积为 4? 的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 A.

2.函数 f ( x) ? A. (? ,?? )

ln(3x ? 1) 1? x

2 1 ? 2 2

B.

6 1 ? 2 2 3 1 ? 2 2
) C.16 或 9 D.12

C. B. ( ? ,1)

1 3

1 3

C. [ ? ,1)

1 3

D. ( ?? ,? )

1 3

3 2
B.9

D.

8.凸多边形各内角依次成等差数列,其中最小角为 120°,公差为 5,则边数 n 等于( A.16

3.在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=3,如果向该矩形内随机投一点 P,那么使得 △ABP 与△ADP 的面积都不小于 1 的概率为 A.

4 9

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 5

9、已知 ln

4.已知定义在[1,+∞)上的函数 f ( x) ? ?

?4 ? 8 x ? 12 (1 ? x ? 2) ? ,则 1 x f ( ) ( x ? 2 ) ? ? 2 2

1 1 ? ln ,若 x ? y ? ? 恒成立,则 ? 的取值范围是( ) x? y?4 3x ? y ? 2 A、 (??,10] B、 (??,10) C、 [10, ??) D、 (10, ??)

10.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到双曲线 x ?
2

A.函数 f ( x) 的值域为[1,4];

y ? 1 的渐近线的距离是( 3
C. 1

2



1 B.关于 x 的方程 f ( x ) ? n ? 0 (n∈N*)有 2n ? 4 个不相等的实数根; 2
C.当 x∈[2n 1,2n](n∈N*)时,函数 f ( x) 的图


A.

1 2

B.

3 2

D. 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积为 .

象与 x 轴围成的面积为 2; D.存在实数 x0 ,使得不等式 x0 f ( x0 ) ? 6 成立 5. 执行如图所示的程序框图.若输入 x ? 3 , 则输出 k 的值是 A. 3 C. 5 B. 4 D. 6

开始 输入x k=0 x=x+5 k=k+1 x>23 ? 是 输出k 结束
衡水万卷(文数)17

12. 若关于 x , y 的不等式组 ? ? x ? 1 ? 0,

? x ? y ? 1 ? 0,
( a 为常数)所表示的平面区

? ax ? y ? 1 ? 0 ?



域的面积等于 2,则 a 的值为______ 13.已知椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , AB 是它的一条倾斜角为135? 的弦,且 M (2,1) 是弦 2 a b AB 的中点,则椭圆 E 的离心率为_________
衡水万卷(文数)18

p b = 2, B = ,sin 2 A + sin( A - C) - sin B = 0 D ABC 的面积_____ 14.在锐角 D ABC 中, 3 ,则

17. (本小题满分 12 分) 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100), [100,110),…,[140,150)后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求分数在[120,130)内的频率; (Ⅱ)若在同一组数据中,将该组区间的中点值(如:组区间[100,110)的中点值为 组数据的平均分,据此,估计本次考试的平均分; 100+110 =105.)作为这 2

? x ? 0, y ?1 ? 15.已知 x 、 y 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 ,则 u ? 的取值范围是_________。 x ? 2 ? y ? 0, ?
三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16. (本题满分 12 分) 如图,三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC , ?BCA ? 90 ,
?

(Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一 个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率.

PB ? BC ? CA ? 4 , E 为 PC 的中点, M 为 AB 的中点, 点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP . (1)求证: BE ? 平面 PAC ; (2)求证: CM / / 平面 BEF ;
(3)求三棱锥 F ? ABE 的体积.

衡水万卷(文数)19

衡水万卷(文数)20

18. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的各项均为正数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ; {bn } 为等比数列, b1 ? 1 ,且 b2 S 2 ? 64 ,

19. (本小题满分 12 分) 如图,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形, DC ? 平面 ABC , AB ? 2 , EB ? 3 . (Ⅰ)证明:平面 ACD ? 平面 ADE; (Ⅱ)记 AC ? x , V ( x) 表示三棱锥 A-CBE 的体积,求函数 V ( x) 的解析式及最大值.

b5 S5 ? 960.
(Ⅰ)求通项公式 an 与 bn ; (Ⅱ)求

1 1 1 ? ??? S1 S 2 Sn

衡水万卷(文数)21

衡水万卷(文数)22

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 6 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过(1,1)与 两点. ( , ) 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足 MA ? MB .求证:

21. (本小题满分 14 分) 1 已知函数 f1 ( x) ? x 2 , f 2 ( x) ? a ln x (其中 a ? 0 ) . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的极值; 1 (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? 1) x 在区间 ( , e) 内有两个零点,求正实数 a 的取值范围; e 3 1 (Ⅲ)求证:当 x ? 0 时, ln x ? 2 ? x ? 0 . (说明:e 是自然对数的底数,e=2.71828…) 4x e

1 OA
2

?

1 OB
2

?

2 OM
2

为定值.

衡水万卷(文数)23

衡水万卷(文数)24

1.D 2.A 3.C 4.C 11、

5.C

6.A 13.

2014 年万卷冲刺(一)答案 7.C 8.C 9.C 10.D 14.

1 10

12、

2 2

5

? ??, ?4? ? ? ?4,1?

(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),

…………8 分

轾 1 1 15. 犏, 犏 4 臌

16、解:(1)由 f(1)=0,得 a2-a2+b2-4c2=0,∴b=2c 又由正弦定理,得 b=2RsinB,c=2RsinC,将其代入上式,得 sinB=2sinC π π π ∵B-C= ∴B= +C,将其代入上式,得 sin( +C)=2sinC 3 3 3 π π 3 ∴sin cosC+cos sinC=2sinC,整理得, 3sinC=cosC,∴tanC= 3 3 3 π ∵角 C 是三角形的内角,∴C= ---------------6 分 6 2 2 2 2 2 2 (2)∵ f(2)=0,∴4a -2a +2b -4c =0,即 a +b -2c2=0 ------7 分 2 2 2 2 a +b 2 2 2 a +b - 2 a +b -c 由余弦定理,得 cosC= = 2ab 2ab a2+b2 2ab 1 ∴cosC= ≥ = (当且仅当 a=b 时取等号) ---------------------10 分 4ab 4ab 2 1 π π ∴cosC≥ ,∠C 是锐角,又∵余弦函数在(0, )上递减,∴0<C≤ ---------12 分 2 2 3 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意可知, a ? 16, b ? 0.04, x ? 0.032, y ? 0.004 . …………………(4 分) (Ⅱ) (ⅰ)由题意可知,第 4 组共有 4 人,记为 A, B, C , D ,第 5 组共有 2 人,记为 X , Y . 从 竞 赛 成 绩 是 80 分 以 上 ( 含 80 分 ) 的 同 学 中 随 机 抽 取 2 名 同 学 有

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 + +…+ = + + +…+ = ?1-3+2-4+3-5+…+n-n+2?…10 分 S1 S2 Sn 1× 3 2× 4 3× 5 ? n?n+2? 2? 1 1 1 2n ? 3 1 3 = ?1+2-n+1-n+2? = - 2? ? 4 2(n ? 1)(n ? 2) ………………………12 分 19、证明:(I) ∵DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC ∴DC//EB,又∵DC ? 平面 ABE,EB ? 平面 ABE, ∴DC∥平面 ABE l ? 平面 ABE ? 平面 ACD,则 DC∥ l 又 l ? 平面 BCDE,CD ? 平面 BCDE 所以 l ∥平面 BCDE-----------------4 分 (II)在△DEF 中, FD ? 3, FE ? 6, DE ? 3 ,由勾股定理知, FD ? FE 由 DC⊥平面 ABC,AF ? 平面 ABC,∴DC⊥AF, 又∵AB=AC,F 是 BC 的中点,∴AF⊥BC, 又∵DC∩BC=C,DC ? 平面 BCDE ,BC ? 平面 BCDE, ∴AF⊥平面 BCDE,∴AF⊥FD,又∵AF∩FE=F,∴FD⊥平面 AFE, 又 FD ? 平面 AFD,故平面 AFD⊥平面 AFE………………..9 分 (III) VABCDE ? VA ? BCDE ?

AB, AC, AD, BC, BD, CD, AX , AY , BX , BY , CX , CY , DX , DY , XY
共 15 种情况. ………………………………………(6 分) …………(9 分) 设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组”为事件 E , 有 AX , AY , BX , BY , CX , CY , DX , DY , XY 共 9 种情况.

1 1 1 SBCDE ? AF = ? ?1 ? 2? ? 2 2 ? 2 =2 3 3 2

………..12 分

20. (本小题满分 13 分)

所以随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学来自第 5 组的概率是 P ( E ) ?

9 3 ? . 15 5

? b2 3 ? ? (Ⅰ) 依题意 ? a 2 ?2c ? 2 ?
解得 a ? 4, b ? 3 ,∴椭圆的方程为:
2 2

……………………………………….….(2 分)

……………………………………………………………………(10 分) (ⅱ)设“随机抽取的 2 名同学来自同一组”为事件 F ,有 AB, AC , AD, BC , BD ,CD , XY 共 7 种情 况.所以随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率 P ( F ) ? 18.

x2 y 2 ? ?1 4 3
3 2

…………….….(4 分)

7 15
6

………………(12 分)


(Ⅱ) (i)当过 F1 直线 AB 的斜率不存在时,点 A( ?1, ), B ( ?1, ? ) , 则 F2 A ? F2 B ?

(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数,an=3+(n-1)d,bn=qn 1.

???? ? ???? ?

3 2

7 ,显然 ?AF2 B 不为钝角. 4

………………….….(5 分)

? ? +d?q=64, ?S2b2=? 6 ?d=2, ? 依题意有? 解得 或 ?S3b3=? 9 ? +3d?q2=960, ? ?q=8

?d=-5, ? 40 ?q= 3 .

(ii)当过 F1 直线 AB 的斜率存在时,设斜率为 k ,则直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , (舍去) ……4 分

故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1.


………………………6 分
衡水万卷(文数)25

? y ? k ( x ? 1) ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 ? x 2 y 2 得: ?1 ? ? 3 ?4
衡水万卷(文数)26

(4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . ? ? 0 恒成立.
x1 ? x2 ? ?8k 2 4k 2 ? 12 , x ? x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
………………………………….….(8 分)

???? ? ???? ? ? F2 A ? F2 B ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1)
? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? (k 2 ? 1) ? 7k 2 ? 9 4k 2 ? 3
…….….(11 分)

x2 3 1 ? .由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ln x 的最小值为 ? . x e 4 2e x2 3 x( x ? 2) 设 h( x) ? x ? , h?( x) ? ? 得 h( x) 在 (0, 2) 上单调递增,在 (2, ??) 上单调递减. e 4 ex 4 3 ∴ h( x) max ? h(2) ? 2 ? , e 4 3e2 ? 2e ? 16 (3e ? 8)(e ? 2) 1 4 3 3 1 4 ? ?0, ∵? ?( 2 ? ) ? ? ? 2 =? 4e2 4e2 2e e 4 4 2e e x2 3 3 1 ∴ f ( x) min ? h( x) max ,∴ x 2 ln x ? x ? ,故当 x ? 0 时, ln x ? 2 ? x ? 0 . 14 分 e 4 4x e
(Ⅲ)问题等价于 x 2 ln x ?

2014 年万卷冲刺(二)答案
一. 选择题 1.A 2.D 3.B 二.填空题 .……….….(13 分) 11. 3 4.B 5.A 6.B 7.D 8.A 9.C 10.C

当 ?AF2 B 为钝角时, F2 A ? F2 B <0, k ?
2

???? ? ???? ?

9 3 7 3 7 ,? ?k? 7 7 7

综上所述,满足条件的直线斜率 k 满足 ?

3 7 3 7 且k ? 0. ?k? 7 7

10
12.4

1 21. 解: (Ⅰ) f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ax 2 ? ln x , 2 1 1 ∴ f ?( x) ? ax ln x ? ax ? ax(2 ln x ? 1) ( x ? 0 , a ? 0 ) , 2 2

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e
? 1

?

1 2

,由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e 2 ,
? 1

?

1

1 2 3 14.. [ ,?? ) 2
13. ? 15.4 三.解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) ?

故函数 f ( x) 在 (0,e 2 ) 上单调递减,在 (e 2 , ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 的极小值为 f (e 2 ) ? ?
? 1

a ,无极大值. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 4e

1 (Ⅱ)函数 g ( x) ? x 2 ? a ln x ? (a ? 1) x , 2 a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)( x ? 1) 则 g ?( x) ? x ? ? (a ? 1) ? , ? x x x 令 g ?( x) ? 0 ,∵ a ? 0 ,解得 x ? 1 ,或 x ? ?a (舍去) , ? 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,1) 上单调递减; 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增. 1 函数 g ( x) 在区间 ( , e) 内有两个零点, e a ?1 2e ? 1 ? ? 1 ? ? a ? 0, a? 2 , ? 1 2 ? ? e 2e ? 2e ? g ( e ) ? 0, ? 2e ? ? 1 ?1 ? 只需 ? g (1) ? 0, 即 ? ? a ? 1 ? 0, ∴ ?a ? , 2 2 ? g (e) ? 0, ? ? 2 ? ?e ? 2e ? e 2 , ? ? ? (a ? 1)e ? a ? 0, ?a ? 2e ? 2 ?2 ? 2e ? 1 1 故实数 a 的取值范围是 ( 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 , ) .· 2e ? 2e 2
衡水万卷(文数)27

3 sin ?x ? cos ?x ? 2 sin(?x ?

?
6

)

由题意知 T ? ? , ? ? 2 . (Ⅱ) f ( A) ? 2, 即 sin( 2 A ?

……………………………………..(4 分)

?
6

) ? 1, 又 ?

?
6

? 2A ?

?
6

?

11? , 6

?2 A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

.

……………………………………..(8 分)

b ? 2c sin B ? 2 sin C 2 3 2? ? ? ? [sin( ? C ) ? 2 sin C ] ? 2 sin( ? C ) ……………..(10 分) a sin A 3 3 6
?0 ? C ? 2? ? ? ? b ? 2c ? , ? ? ? ? C ? ,? ? 2 sin( ? C ) ? ( ?2,1) .……………..(12 分) 3 2 6 6 a 6
衡水万卷(文数)28

17.解: (1)由 m // n ,

得 b cosC ? (2a ? c) cos B,

? b cos C ? c cos B ? 2a cos B. 正弦定得,得 sin B cosC ? sin C cos B ? 2 sin A cos B,

19.(1)证明:∵ ?ABC 中, AB ? 1, AC ? 3 , ?ABC ? 60? ,

? sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B. 又 B B ? C ? ? ? A, ? sin A ? 2 sin A cos B.
又 sin A ? 0,? cos B ?

∴由正弦定理有

1 ? . 又 B ? (0, ? ),? B ? . 2 3

1 3 1 ,∴ sin ?ACB ? ,又 AB ? AC ,∴ ?ACB ? 30? 。 ? 2 sin 60? sin ?ACB

6分

从而 ?BAC ? 90? ,即 AB ? AC , 又直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,∴ AB ? AA 1, ∴ AB ? 平面 ACC1 A1 ,∴ AB ? A1C ………4 分

3 2 ? (2) f ( x) ? cos(?x ? ) ? sin ?x ? cos?x ? sin ?x ? 3 sin(?x ? ) 6 2 3 6
由已知

?

2?

?

? ? ,? ? ? 2. f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ]时,2 x ?

?
6

),

9分

(2)∵ AB ? 平面 ACC1 A1 ,∴直线 BC1 与平面 ACC1 A1 所成的角为 ?BC1 A , 在 Rt?BC1 A 中 AB=1, AC1 ?

当 x ? [0,

?
2

?

? 7? ? 1 ? [ , ], sin( 2 x ? ) ? [? ,1] 6 6 6 6 2
, 即x ?

AC 2 ? AA1 ? 6 , ∴ tan?BC1 A ?

2

因此,当 2 x ?

?
6

?

?
2

?
6

AB 6 ………8 分 ? AC1 6
………12 分

时, f ( x)取得最大值 3; (3)(略)(利用等积变换) 12 分 20.. (1)椭圆 C 的方程为 ………………………..(2 分)

当 2x ?

?
6

?

7? ? 3 ,即x ? 时 , f ( x)取得最小值 ? 6 2 2

15 5
x2 y2 ? ?1 4 3

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ an?1 ? an ? c, a ? 1, c 为常数,∴ an ? 1 ? (n ? 1)c ∴ a2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c .
2 又 a1 , a2 , a5 成等比数列,∴ (1 ? c) ? 1 ? 4c ,解得 c ? 0 或 c ? 2

(2)①当直线 l ⊥x 轴时,可得 A(-1,-

3 3 ) ,B(-1, ) , ? A F2 B 的面积为 3,不符合题意. 2 2

②当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆方程得: …………….(4 分)

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则
8k 2 8k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) x1 ? x 2 ? ? , x1 ?x 2 ? ,可得|AB|= 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
又圆 F2 的半径 r=
4 2

当 c ? 0 时, a n ?1 ? a n 不合题意,舍去. ∴ c ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ? 1

………………………………..(5 分)

……………………………………(6 分) ……………………………(9 分)

2|k | 1? k 2

,∴ ? A F2 B 的面积=

1 1 1 1 1 ∴ bn ? ? ? ( ? ) an an ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 12 | k | k 2 ? 1 12 2 |AB| r= = ,化简得: 2 7 3 ? 4k 2

2 2 17 k + k -18=0,得 k=±1,∴r = 2 ,圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 2

1? 1 1 1 1 1 ? ∴ S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ?
? 1 1 n (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1
………………………………………(12 分)

21(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 因为 f ?( x) ? 而函数 f ( x ) ?

a( x 2 ? b) ? ax(2 x) ( x 2 ? b) 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分)

ax 在 x ? 1 处取得极值 2, x ?b
2

衡水万卷(文数)29

衡水万卷(文数)30

?a(1 ? b) ? 2a ? 0 ? f ?(1) ? 0 ?a ? 4 ? 所以 ? , 即? a 解得 ? ?2 ?b ? 1 ? f (1) ? 2 ? ?1 ? b
所以 f ( x ) ?

12. 13.

3

4x 即为所求 1? x2

2 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (4 分)

14.

3

(Ⅱ)由(1)知 f ?( x) ?

4( x 2 ? 1) ? 8x 2 ? 4( x ? 1)(x ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 (1 ? x 2 ) 2

令 f ?( x) ? 0 得: x1 ? ?1, x2 ? 1 则 f ( x) 的增减性如下表:

15. 轾 1 犏, 1 犏 4 臌 三.解答题 16.解: (1)证明:∵ PB ? 底面 ABC ,且 AC ? 底面 ABC , ∴ AC ? PB
? 由 ?BCA ? 90 ,可得 AC ? CB

x
f ?( x )

(-∞,-1) 负 递减

(-1,1) 正 递增

(1,+∞) 负 递减 · · · · · · · · · · · · · · · · · (6 分)

f ( x)

又? PB ? CB ? B ,∴ AC ? 平面 PBC 注意到 BE ? 平面 PBC , ∴ AC ? BE ? PB ? BC , E 为 PC 中点,∴ BE ? PC ? PC ? AC ? C , ∴ BE ? 平面 PAC (2)取 AF 的中点 G , AB 的中点 M ,连接 CG, CM , GM , · · · · · · · · · (9 分) ∵ E 为 PC 中点, FA ? 2 FP ,∴ EF / / CG . ∵ CG ? 平面 BEF , EF ? 平面 BEF , ∴ CG / / 平面 BEF . 同理可证: GM / / 平面 BEF . 又 CG ? GM ? G , ∴平面 CMG / / 平面 BEF . ????9 分 ∵ CD ? 平面 CDG ,∴ CD / / 平面 BEF . ????10 分 (3)由(1)可知 BE ? 平面 PAC 又由已知可得 BE ? 2 2 .

可知, f ( x) 的单调增区间是[-1,1],

?m ? ?1 ? 所以 ?2m ? 1 ? 1 ? ?1 ? m ? 0. ?m ? 2 m ? 1 ?
所以当 m ? (?1,0] 时,函数 f ( x) 在区间 (m,2m ? 1) 上单调递增。 (Ⅲ)由条件知,过 f ( x) 的图象上一点 P 的切线的斜率 k 为:

k ? f ?( x0 ) ?
令t ?

2 2 4(1 ? x0 ) ? 1 ? x0 ?2 2 1 ? 4? ? 4[ ? ] 2 2 2 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x0 ) (1 ? x0 ) 1 ? x0

· · · · · · · · · · (11 分)

1 ,则 t ? (0,1] , 2 1 ? x0
1 4 1 的图象性质知: 2

2 此时, k ? 8(t ? ) ?

当t ?

1 1 时, k min ? ? ; 4 2
1 , 4] 2

当 t ? 1 时, k max ? 4 所以,直线的斜率 k 的取值范围是 [ ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (14 分)

2014 年万卷冲刺(三)答案
一. 选择题 1.B 2.B 二.填空题 11. 24+12π
衡水万卷(文数)31

1 1 1 8 S ?PAC ? ? AC ? PC ? 2 3 3 2 3 1 32 ∴ VF ? ABE ? VB ? AEF ? S ?AEF ? BE ? 3 9 32 所以三棱锥 F ? ABE 的体积为 . 9 S ?AEF ?
17. 解: (1)分数在[120,130)内的频率为 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3. ………3 分 (2)估计平均分为 x =95× 0.1+105× 0.15+115× 0.15+125× 0.3+135× 0.25+145× 0.05=121.
衡水万卷(文数)32

3.A

4.C

5.C

6.D

7.D

8.B

9.C

10.B

………6 分 (3)由题意,[110,120)分数段的人数为 60× 0.15=9(人).[120,130)分数段的人数为 60× 0.3=18(人). ………7 分 ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本, ∴需在[110,120)分数段内抽取 2 人,并分别记为 m,n;在[120,130)分数段内抽取 4 人,并分别记为 a, b,c,d; 设“从样本中任取 2 人,至多有 1 人在分数段[120,130)内”为事件 A, 则基本事件共有(m,n),(m,a),…,(m,d),(n,a),…,(n,d),(a,b),…,(c,d)共 15 种. 则事件 A 包含的基本事件有(m,n),(m,a),(m,b),(m,c),(m,d),(n,a),(n,b),(n,c),(n, d)共 9 种. 9 3 ∴P(A)= = . 15 5 18.


∴ S ?ABC ?

1 1 1 AC ? BC ? x 4 ? x 2 , V ( x ) ? VE ? ABC ? S ?ABC ? BE 3 2 2
3 x 4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 ) 6
…………………………………………….….(8 分)

?

备注:未指明定义域扣 1 分 ∵ x (4 ? x ) ? (
2 2

………8 分

x2 ? 4 ? x2 2 3 ) ? 4 当且仅当 x 2 ? 4 ? x 2 ,即 x ? 2 时,体积有最大值为 . 3 2
…………………………………………….….(12 分)

20. 解: (Ⅰ)将(1,1)与 (

6 3 两点代入椭圆 C 的方程, , ) 2 2

………11 分 ………12 分 得 解得 .

(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数,an=3+(n-1)d,bn=qn 1.

? ? +d?q=64, ?S2b2=? 6 ?d=2, ? 依题意有? 解得 或 2 ?S3b3=? 9 ? +3d?q =960, ? ?q=8

?d=-5, ? 40 ?q= 3 .

6

(舍去) ……4 分

∴椭圆 PM2 的方程为



………4 分

故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1.


………………………6 分

(Ⅱ)由|MA|=|MB|,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称. ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点,此时 = .………6 分

(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2),

…………8 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 + +…+ = + + +…+ = ?1-3+2-4+3-5+…+n-n+2?…10 分 S1 S2 Sn 1× 3 2× 4 3× 5 ? n?n+2? 2? 1 1 1 2n ? 3 1 3 = ?1+2-n+1-n+2? = - 2? ? 4 2(n ? 1)(n ? 2) ………………………12 分 19.(1)证明:∵四边形 DCBE 为平行四边形∴ CD / / DE , BC / / DE

同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 在椭圆的一个短轴顶点,此时 = .………8 分

②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0) , 则直线 OM 的方程为 ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

Q DC ^ 平面ABC , BC ? 平面ABC \ DC ^ BC .
Q AB 是圆 O 的直径 \ BC ^ AC 且DC I AC = C



解得





\ BC ^ 平面ADC

Q DE / / BC \ DE ^ 平面ADC
∴ = , ………10 分

又 DE ? 平面ADE \ 平面ACD ^ 平面ADC (2)∵ DC ? 平面 ABC ∴ BE ? 平面 ABC 同理 ,

在 Rt△ABE 中, AB ? 2 , BE ? 3 在 Rt△ABC 中? AC ? x, BC ?

………11 分

4 ? x (0 ? x ? 2)
2

衡水万卷(文数)33

衡水万卷(文数)34

所以 故

=2× =2 为定值.

+

=2, ………13 分

1 21. 解: (Ⅰ) f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? ax 2 ? ln x , 2 1 1 ∴ f ?( x) ? ax ln x ? ax ? ax(2 ln x ? 1) ( x ? 0 , a ? 0 ) , 2 2

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e
? 1

?

1 2

,由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e 2 ,
? 1

?

1

故函数 f ( x) 在 (0,e 2 ) 上单调递减,在 (e 2 , ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 的极小值为 f (e 2 ) ? ? (Ⅱ)函数 g ( x) ?
? 1

a ,无极大值. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 4e

1 2 x ? a ln x ? (a ? 1) x , 2 a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)( x ? 1) 则 g ?( x) ? x ? ? (a ? 1) ? , ? x x x 令 g ?( x) ? 0 ,∵ a ? 0 ,解得 x ? 1 ,或 x ? ?a (舍去) , 当 0 ? x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,1) 上单调递减; 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, ??) 上单调递增. 1 函数 g ( x) 在区间 ( , e) 内有两个零点, e a ?1 2e ? 1 ? ? 1 ? 1 ?a ? 2e2 ? 2e , ? 2e2 ? e ? a ? 0, g ( ) ? 0, ? e ? ? ? 1 ?1 ? 只需 ? g (1) ? 0, 即 ? ? a ? 1 ? 0, ∴ ?a ? , 2 2 ? g (e) ? 0, ? ? 2 ? ?e ? 2e ? e 2 , ? ? ? (a ? 1)e ? a ? 0, ?a ? 2e ? 2 ?2 ? 2e ? 1 1 故实数 a 的取值范围是 ( 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 , ) .· 2e ? 2e 2 x2 3 1 (Ⅲ)问题等价于 x 2 ln x ? x ? .由(Ⅰ)知 f ( x) ? x 2 ln x 的最小值为 ? . e 4 2e 2 x 3 x( x ? 2) 设 h( x) ? x ? , h?( x) ? ? 得 h( x) 在 (0, 2) 上单调递增,在 (2, ??) 上单调递减. e 4 ex 4 3 ∴ h( x) max ? h(2) ? 2 ? , e 4 3e2 ? 2e ? 16 (3e ? 8)(e ? 2) 1 4 3 3 1 4 ? ?0, ∵? ?( 2 ? ) ? ? ? 2 =? 4e2 4e2 2e e 4 4 2e e x2 3 3 1 ∴ f ( x) min ? h( x) max ,∴ x 2 ln x ? x ? ,故当 x ? 0 时, ln x ? 2 ? x ? 0 . 14 分 e 4 4x e

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