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2013版高中全程复习方略配套课件:3.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式(人教A版·数学理)浙江专用


第五节 两角和与差的正弦、余弦和 正切公式

三年9考

高考指数:★★★

1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公
式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了

解它们的内在联系.

1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的

化简、求值是高考的常考点.
2.公式逆用、变形应用是高考热点.

3.在选择题、填空题、解答题中都有所考查.

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 公式名 两角和与 差的正弦 两角和与 差的余弦 公式
sin?cos? ? cos?sin? sin(? ? ?) ? ___________________ cos?cos? ? sin?sin? cos(? ? ?) ? ___________________

两角和与 差的正切

tan? ? tan? 1 ? tan?tan? tan(? ? ?) ? ___________________

【即时应用】 (1)判断下列式子的正误.(请在括号内打“√”或“×”) ①cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30° ( )

②sin15°=sin(45°-30°)=cos45°sin30°-sin45°cos30°
( )

③cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°
( )

④cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45° ( )

(2)计算sin72°cos18°+cos72°sin18°=______. (3)计算cos72°cos12°+sin72°sin12°=______.

【解析】(1)cos15°=cos(45°- 30°)= cos45°cos30°+
sin45°·sin30°,故①错误;sin15°=sin(45°- 30°)= sin45°·cos30°-cos45°sin30°,故②错误;③正确, cos15°= cos(60°-45°)= cos60°cos45°+sin60°sin45°, 故④错误. (2)原式=sin(72°+18°)=sin90°=1. (3)原式=cos(72°-12°)=cos60°= . 答案:(1)①× ②× ③√ ④× (2)1
1 (3) 2

1 2

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
公式名 公式
2sin??cos? sin2? ? ___________________
cos 2 ? ? sin 2 ? ? __________ 2cos 2 ? ? 1 cos2? ? ___________ 1 ? 2sin ? ? __________
2

二倍角的正弦
二倍角的余弦 二倍角的正切

2tan? 1 ? tan 2 ? tan2? ? __________

【即时应用】
(1)思考:二倍角公式tan2α =
2tan? 中对任意的α 都成立吗? 2 1 ? tan ?

提示:不一定,当α≠kπ+ ? ,2α≠kπ+ ? (k∈Z)时,公式成立.
2 2

(2) 1 sin15?cos15? 的值等于______.
2

【解析】1 sin15?cos15? ? 1 ? 2sin15?cos15? ? 1 sin30? ? 1 .
2 4 4 8 1 答案: 8

(3)若 tanα ? 1 , 则tan2α =______.
1 2 ? 1 ? 4. 【解析】 tan2α ? 2tanα ? 1 ? tan 2 α 1 ? ( 1 ) 2 3 3 2 4 4 答案: 3 2?
2

三角函数的化简 【方法点睛】 三角函数化简的技巧、方法和要求 (1)寻求角与角之间的关系,化非特殊角为特殊角; (2)正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特

殊角的三角函数值;
(3)一些常规技巧:“1”的代换、正切化弦、和积互化、异

角化同角等.

(4)三角函数的化简常用方法是:异名三角函数化为同名三角
函数,异角化为同角,异次化为同次,切化弦,特殊值与特殊

角的三角函数互化.
(5)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量 少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使 被开方数不含三角函数. 【提醒】公式的逆用、变形用十分重要,特别是 1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,形式相似,容易出错, 应用时要加强“目标意识”.

【例1】化简下列各式: (1) 1 ? 1 1 ? 1 cos2α (α ? ( 3π , 2π)) ? ______.
2 2 2 2 2

(2)

cos 2 α ? sin 2 α ? ______. π π 2tan( ? α)cos 2 ( ? α) 4 4

【解题指南】(1)若注意到化简式是开平方根和2α是α的二 倍,α是 ? 的二倍,以及其范围不难找到解题的突破口;
2

(2)由于分子是一个平方差,分母可通过二倍角公式化简,
若注意到这两大特征,不难得到解题的切入点.

【规范解答】(1)因为 3π <α<2π,
2

所以 1 ? 1 cos2α ? cosα ? cosα,

2 2 又因为 3π <α <π, 4 2 所以 1 ? 1 cosα ? sin α ? sin α , 2 2 2 2 所以,原式= sin α . 2 cos2α (2)原式 ? π π 2tan( ? α)cos 2 ( ? α) 4 4 cos2α cos2α cos2α ? ? ? ? 1. π π π 2sin( ? α)cos( ? α) sin( ? 2α) cos2α 4 4 2 α 答案:(1) sin (2)1 2

【反思·感悟】1.在二倍角公式中,两个角的倍数关系,不仅 限于2α是α的二倍,要熟悉多种形式的两个角的倍数关系, 同时还要注意 2α, π ? α, π ? α 三个角的内在联系,
4 4 π π π cos2α ? sin( ? 2α) ? 2sin( ? α) ? cos( ? α) 是常用的三角变换. 2 4 4

2.化简题一定要找准解题的突破口或切入点,其中的降次、消
元、切化弦、异名化同名、异角化同角是常用的化简技巧.
sin2α 1 ? cos2α 1 ? cos2α 3.常用的公式变形: cosα ? ,cos 2 α ? ,sin 2 α ? . 2sinα 2 2

三角函数的求值 【方法点睛】 三角函数的求值主要有两种类型,即给角求值,给值求值 (1)给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角

函数相消,从而化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的

差异.一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应
用,同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代 入,从而达到解题的目的.

【例2】(1)(2012·台州模拟)求值:
2sin50? ? sin80? 1 ? 3tan10?) ( ; 1 ? cos10? sin2x ? 2sin 2 x π 3 17 7 (2)若 cos( ? x) ? , π<x< π, 求 的值. 1 ? tanx 4 5 12 4

【解题指南】(1)sin80°=cos10°,对tan10°切化成弦. (2)可以利用x ? ( π ? x) ? π 的变换,同时要注意x的范围和符号,
4 4

求出sinx和cosx代入原式求解;也可以化简原式后得到二倍角与 和角的三角函数,利用2x ? 2( π ? x) ? π 的变换,再利用两角差的
4 2

余弦和二倍角公式求解.

【规范解答】(1)方法一:原式=
2sin50? ? cos10? ? 3sin10? 2sin50? ? 2sin40? ? 2cos5? 2cos5?

2sin50? ? 2cos50? 2 2sin(50? ? 45?) ? ? 2cos5? 2cos5? ? 2 2sin95? 2 2cos5? ? ? 2. 2cos5? 2cos5?
cos10?

方法二: 1 ? 3tan10? ? cos10? ? 3sin10? ?
3 1 ? cos10? ? ) 2 2 ? cos10? 2sin(10? ? 30?) 2sin40? ? ? , cos10? cos10? (sin10? ? 2

∴原式 ?
?

2sin50? ? cos10??

2sin40? cos10? ? 2sin50? ? 2sin40? 2cos5? 2cos5?

2sin50? ? 2cos50? 2 2sin(50? ? 45?) 2 2sin95? 2 2cos5? ? ? ? ? 2. 2cos5? 2cos5? 2cos5? 2cos5?

17 7 5 π π<x< π, 得 π<x ? <2π, 12 4 3 4 又因为 cos( π ? x) ? 3 ,sin( π ? x) ? ? 4 .cosx ? cos[( π ? x) ? π ] 4 5 4 5 4 4

(2)方法一:由

π π π π 2 ? cos( ? x)cos ? sin( ? x)sin ? ? , 4 4 4 4 10 从而 sinx ? ? 7 2 , tanx ? 7. 10

2sinxcosx ? 2sin 2 x 原式 ? 1 ? tanx

7 2 2 7 2 2 ) ? (? ) ? 2 ? (? ) 28 10 10 10 ? ?? . 1? 7 75 2sinxcosx ?1 ? tanx ? π 方法二:原式 ? ? sin2xtan( ? x), 1 ? tanx 4 2 ? (?

而 sin2x ? sin[2( π ? x) ? π ] ?cos2( π ? x) ? ? 2cos 2 ( π ? x) ? 1] 7 , ? [ ?
π sin( ? x) π 4 4 tan( ? x) ? ?? , π 4 3 cos( ? x) 4 所以,原式 ? 7 ? (? 4 ) ? ? 28 . 25 3 75
4 2 4 4 25

【反思·感悟】1.若将本例(2)中cos( π ? x) ? 3 的左边展开成
π π π 3 cos cosx ? sin sinx ? , 再求cosx,sinx的值就很繁琐,把 ? x 4 4 4 5 作为整体,并注意角的变换 2 ? π ? x) ? π ? 2x, 这样就可运用二 ( 4 2 4 5

倍角公式.化难为易,化繁为简是三角恒等变换的关键.

2.解答有条件限制的求值问题时,要善于发现所求的三角函数
的角与已知条件的角的联系,一般方法是拼角与拆角.

三角函数的给值求角 【方法点睛】 1.三角函数的给值求角问题的一般思路 (1)求出该角的某一三角函数值;

(2)确定角的范围;
(3)根据角的范围写出角.

2.三角函数给值求角时应注意的问题 求角的某一三角函数值时,尽量选择在该角所在范围内是单调的

函数,这样,由三角函数值才可以唯一确定角.
(1)若角的范围是( 0, π ),选正、余弦皆可;
2

(2)若角的范围是(0,π ),选余弦较好;
(3)若角的范围为( ? π , π ),则选正弦.
2 2

【例3】已知 cosα ? 1 ,cos ? α ? β ? ? 13 , 且0<β <α < π .
7 14 2

(1)求tan2α 的值;

(2)求β .
【解题指南】(1)利用同角三角函数关系式求出sinα,tanα,

再求出tan2α;(2)把β写成α-(α-β),根据已知条件求出
α的正弦,α-β的正弦,求出cosβ,根据范围确定角.

【规范解答】(1)由 cosα ? ,0<α< , 得
1 4 3 sinα ? 1 ? cos 2 α ? 1 ? ( ) 2 ? . 7 7 sinα 4 3 7 ? tanα ? ? ? ? 4 3. cosα 7 1 于是 tan2α ? 2tanα ? 2 ? 4 3 ? ? 8 3 . 1 ? tan 2α 1 ? (4 3) 2 47 (2)由0<β<α< π ,得0<α-β< π . 2 2 13 又? cos ? α ? β ? ? , 14 13 3 3 ? sin ? α ? β ? ? 1 ? cos 2 ? α ? β ? ? 1 ? ( ) 2 ? . 14 14

1 7

π 2

由β=α-(α-β),得cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
1 13 4 3 3 3 1 ? ? ? ? , 7 14 7 14 2 π ?β ? . 3 ?

【反思·感悟】根据三角函数值求角时,一定要先确定角的范 围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等式sinBcosA

=sinAcosB两端同除以cosAcosB得tanB=tanA等变化技巧也经常
用到.

三角函数的综合应用
三角函数公式和三角函数性质的关系 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查 往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数 解析式化为y =Asin(ω x+ ? )的形式,再进一步探讨定义域、值 域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质. (2)注意特殊角三角函数值、诱导公式等基础知识的应用,主 要考查基本运算能力.

【例4】已知函数f(x)=2sin(π -x)cosx. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[? π , π ]上的最大值和最小值.
6 2

【解题指南】先利用诱导公式和倍角公式进行恒等变换,再求 三角函数的性质. 【规范解答】(1)∵f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x, ∴函数f(x)的最小正周期为π.

(2)由 ? π ≤ x ≤ π ? ? π ≤ 2x ≤ π,
6 2 3
?? 3 ≤ sin2x ≤ 1, 2 ∴f(x)在区间[? π , π]上的最大值为1,最小值为- 3 . 2 6 2

【反思·感悟】利用三角函数公式进行三角恒等变形,要求熟 练掌握公式和变换技巧,强化运算能力.以基本三角函数的性质

为基础求y=Asin(ωx+φ)的性质,有时给出角的范围时要注意
ωx+φ的范围的变化.

【满分指导】三角函数主观题的规范解答 【典例】(14分)(2011·广东高考)已知函数 f(x)=2sin( 1 x ? π ),x∈R.
3 6

(1)求f( 5π )的值;
6 π π )= 10 f(3β + (2)设α ,β ∈[0, ],f(3α + 2π )= , 求 , 5 2 13 2 4

cos(α +β )的值.

【解题指南】(1)把x= 5π 代入解析式直接求解;(2)由题目
4

条件可求出sinα及cosβ的值,然后利用同角三角函数关系,

求出cosα及sinβ的值,再利用两角和的余弦公式求解
5π )= 2sin( 1 ? 5π ? π ) ? 2sin π ? 2. ???4分 4 3 4 6 4 (2)由 f (3α ? π ) ? 10 得2sinα ? 10 ,即sinα= 5 , ?????6分 13 2 13 13

【规范解答】(1)f(

由 f ? 3β ? 2π ? ? 6 得 2sin(β ? π ) ? 6 , 从而 cosβ ? 3,??????10分
5

∵α、β∈[0, ],
5 2 12 3 2 4 ????????12分 ? cosα ? 1 ? ( ) ? ,sinβ ? 1 ? ( ) ? , 13 13 5 5 ? cos ? α ? β ? ? cosαcosβ ? sinαsinβ

π 2

2

5

5

?

12 3 5 4 16 ? ? ? ? . ???????????????? 14分 13 5 13 5 65

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示和备考建议: 在解答本题时有两点容易造成失分: 失 (1)忽略角α,β的范围,求解cosα,sinβ的值时出 分

错;
警 (2)在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准 示 确导致出现错误.

解决三角函数问题时,还有以下几点容易造成失分, 在备考时要高度关注: 备

(1)对公式记忆不准确而使公式应用错误;
考 (2)三角公式不能灵活应用和变形应用; 建 (3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.


另外需要熟练掌握特殊角的三角函数值,才能快速正 确地解决三角函数的一些问题.

1.(2011·福建高考)若tanα =3,则 sin2α 的值等于(
cos α
2

)

(A)2

(B)3

(C)4

(D)6

【解析】选D.?
cos α

sin2α 2sinα· cosα ? ? 2tanα ? 6, 2 2 cos α cos α

∴ sin2α 的值等于6. 2

2.(2011·福建高考)若α ∈(0, ),且 sin 2α ? cos2α ? , 则 tanα 的值等于( )

π 2

1 4

(A) 2
2

(B) 3

3 【解析】选D.∵ sin 2α ? cos2α ? 1 , 4 1 3 ? sin 2 α ? 1 ? 2sin 2 α ? , sin 2 α ? . ? 4 4 π 又∵α∈(0, ),∴sinα= 3 , 2 2 1 ? cosα ? ,? tanα ? 3. 2

(C) 2

(D) 3

?

?

3.(2011· 浙江高考)若 0<α< π , ? π <β<0,cos( π ? α) ? 1 ,
π β 3 则cos( α ? β )=( ) cos( ? ) ? , 4 2 3 2 5 (A) 3 (B)- 3 (C) 3 (D)- 6 9 9 3 3 π 2 2 【解析】选C.由 cos( π ? α) ? 1 , π < π ? α<3π 可得 sin( ? α) ? , 4 3 4 3 4 4 4 由 cos( π ? β ) ? 3 及 π < π ? β < π 可得 sin( π ? β ) ? 6 , 4 4 2 2 4 2 3 4 2 3 所以 cos(α ? β ) ? cos[( π ? α) ? ( π ? β )] 2 4 4 2 π π β π π β ? cos( ? α)cos( ? ) ? sin( ? α)sin( ? ) 4 4 2 4 4 2 1 3 2 2 6 5 3 ? ? ? ? ? . 3 3 3 3 9

2

2

4

3

4.(2011·辽宁高考)设 sin( ? θ) ? , 则sin2θ =( (A)- 7
9

π 4

1 3

)

(B)- 1
9

(C) 1
9

(D) 7
9 4 3
2 3

【解析】选A.将 sin( π ? θ) ? 1 展开得 2 ? cosθ ? sinθ ? ? 1,两边平

方得 ?1 ? sin2θ ? ? , 所以 sin2θ ? ? 7 .
9

1 2

1 9

5.(2011·江苏高考)已知tan( x ? π )=2,则 tanx
4

的值为

tan2x

______.
1 ? tan 2 x 4 1 tanx π )=2,可得 【解析】由tan( x ? = ? . tanx ? , 2 9 3 tan2x 4 答案:4 9


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