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(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 圆锥曲线训练15 新人教A版


圆锥曲线(15)圆锥曲线中的最值问题
(1)利用基本不等式求最值, 例 1、已知椭圆两焦点 F1 、 F2 在 y 轴上,短轴长为 2 2 ,离心率为

2 , P 是椭圆在第一 2

象限弧上

一点,且 PF 1 ? PF 2 ? 1 ,过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交

/>
???? ???? ?

椭圆于 A、B 两点,求△

PAB 面积的最大值。
解、设椭圆方程为

y2 x2 ? ? 1 ,由题意可得 a 2 b2 y2 x2 ? ?1 4 2

a ? 2, b ? 2, c ? 2 2 , 故椭圆方程为
设 AB 的直线方程: y ? 2 x ? m .

?y ? 2x ? m ? 2 2 由 ? x2 ,得 4 x ? 2 2mx ? m ? 4 ? 0 , y2 ?1 ? ? ?2 4
2 2 由 ? ? (2 2m) ? 16(m ? 4) ? 0 ,得 ? 2 2 ? m ? 2 2 P 到 AB 的距离为 d ?

|m| , 3

则 S ?PAB ?

|m| 1 1 1 | AB | ?d ? (4 ? m 2 ) ? 3 ? 2 2 2 3

?

1 2 1 m2 ? m2 ? 8 2 m (?m 2 ? 8) ? ( ) ? 2。 8 8 2
当且仅当 m ? ?2 ? ? 2 2 ,2 2 取等号, ∴三角形 PAB 面积的最大值为 2 。

?

?

(2)利用函数求最值, 例 2.如图,椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,左右顶点分别为 A1 , A ,上顶点为 B,抛物线 C1 , C2 分别 a2 2

以 A,B 为焦点,其顶点均为坐标原点 O, C1 与 C2 相交于直线 y ? 2 x 上一点 P. (1)求椭圆 C 及抛物线 C1 , C2 的方程; (2)若动直线 l 与直线 OP 垂直,且与椭圆 C 交于不同 的两点 M,N,已知点 Q(? 2,0) ,求 QM ? QN 的最小值. 解: (1)由题意 A(a,0), B(0, 2) ,

???? ? ????

1

故抛物线 C1 的方程可设为 y 2 ? 4ax ,C2 的方程为 x 2 ? 4 2 y

? y 2 ? 4ax ? ? 由 ?x 2 ? 4 2 y ? ? ? y ? 2x
所以椭圆 C:

得 a ? 4, P(8,8 2 )

x2 y2 ? ? 1 ,抛物线 C1: y 2 ? 16x, 抛物线 C2: x 2 ? 4 2 y 16 2
2 2

(2)由(1)知,直线 OP 的斜率为 2 ,所以直线 l 的斜率为 ?

设直线 l 方程为 y ? ?

2 x?b 2

? x2 y2 ? ?1 ? ? 16 2 由? ,整理得 5x 2 ? 8 2bx ? (8b 2 ? 16) ? 0 ?y ? ? 2 x ? b ? 2 ?
因为动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点,所以 ? ? 128 b ? 20(8b ? 16) ? 0
2 2

解得 ? 10 ? b ? 10 设 M( x1 , y1 ) 、N( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8 2 8b2 ? 16 b, x1 x2 ? 5 5

2 2 1 2b b2 ? 8 2 y1 y 2 ? (? x1 ? b)(? x2 ? b) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? b ? 2 2 2 2 5
因为 QM ? ( x1 ? 2, y1 ),QN ? ( x2 ? 2, y2 ) 所以 QM ? QN ? ( x1 ? 2, y1 )(x2 ? 2, y2 ) ? x1 x2 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 2

9b 2 ? 16b ? 14 ? 5
因为 ? 10 ? b ? 10 ,所以当 b ? ?

8 时, QM ? QN 取得最小值 9 9 8 2 16 8 14 38 (? ) ? ?? 其最小值等于 ? (? ) ? 5 9 5 9 5 9

例3、已知抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F ,抛物线上一点 A 的横坐标为

2

x1 ( x1 ? 0) ,过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D ,交 y 轴于点 Q ,交直线
l:y? p 于点 M ,当 | FD |? 2 时, ?AFD ? 60 ? . 2

(1)求证: ?AFQ 为等腰三角形,并求抛物线 C 的方程; (2) 若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上, 过点 B 作抛物线 C 的切线 l 2 交直线 l1 于点 P , 点 N ,求 ?PMN 面积的最小值,并求取到最小值时的 x1 值. 解:(1)设 A( x1 , y1 ) ,则切线 AD 的方程为 y ? 交直线 l 于

x1 x x? 1 , p 2p

2

所以 D (

p x1 , ,0), Q(0,? y1 ) , | FQ |? ? y1 , 2 2
所以 ?AFQ 为等腰三角形

所以 | FQ |?| FA | ,

且 D 为 AQ 中点,所以 DF ? AQ ,? | DF |? 2, ?AFD ? 60 ? ,

? ?QFD ? 60 ? ,

p ? 1 ,得 p ? 2 ,抛物线方程为 x 2 ? 4 y 2
x2 x x? 2 2 2
2

(2)设 B ( x 2 , y 2 ) ( x 2 ? 0) ,则 B 处的切线方程为 y ?

? ?y ? ? 由? ?y ? ? ?

x1 x 2 ? x? 1 x1 x1 x1 2 x ? x x x ?y ? x ? 2 4 ? P( 1 2 1 2 ? M ( ? ,1) , ) , ? 2 4 2 2 4 2 x1 x2 x2 ?y ? 1 x? ? 2 4
同理 N (

2

x2 2 ? ,1) , 2 x2

x1 x 2 ( x 2 ? x1 )(4 ? x1 x 2 ) 2 1 x1 2 x 2 2 ? ? )(1 ? )? 所以面积 S ? ( ? ……① 2 2 x1 2 x 2 4 16 x1 x 2
设 AB 的方程为 y ? kx ? b ,则 b ? 0 由?

? y ? kx ? b
2 ?x ? 4 y

? x 2 ? 4kx ? 4b ? 0 ,得代入①得:

S?

16k 2 ? 16b (4 ? 4b) 2 (1 ? b) 2 k 2 ? b ,使面积最小, ? 64b b

3

则 k ? 0 ,得到 S ?

(1 ? b) 2 b …………② b

令 b ? t ,由②得 S (t ) ?

(1 ? t 2 ) 2 1 (3t 2 ? 1)(t 2 ? 1) , ? t 3 ? 2t ? , S ?(t ) ? t t t2

所以当 t ? (0,

3 3 ) 时 S (t ) 单调递减;当 t ? ( ,??) S (t ) 单调递增, 3 3

所以当 t ?

1 3 16 3 2 时, S 取到最小值为 ,此时 b ? t ? , k ? 0 , 3 3 9 1 2 3 ,即 x1 ? 。 3 3

所以 y1 ? 二、针对性练习

x2 ? y 2 ? 1 .过点 (m,0) 作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. 1、已知椭圆 G : 4
将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. 解:由题意知, | m |? 1 .

当 m ? 1 时,切线 l 的方程为 x ? 1 ,点 A,B 的坐标分别为 (1, 此时 | AB |? 3 ; 当 m ? ?1 时,同理可得 | AB |? 3 ; 当 m ? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m) .

3 3 ), (1, ? ) , 2 2

? y ? k ( x ? m) ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 mx ? 4k 2 m2 ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ?1 ?4
设 A,B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) . 又由 l 与圆 x ? y ? 1相切,得
2 2

| km | k ?1
2
2

? 1 ,即 m2 k 2 ? k 2 ? 1 .
2 2

所以 | AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? (1 ? k )[( x2 ? x1) ? 4 x1x2 ]
2

4

? (1 ? k 2 )[

4 3|m| 64k 4 m2 4(4k 2 m2 ? 4) . ? ]? 2 2 2 2 m ?3 (1 ? 4k ) 1 ? 4k

由于当 m ? ?1 时, | AB |? 3 ,

| AB |?

4 3|m| 4 3 ? ? 2, 2 m ?3 |m|? 3 |m|

当且当 m ? ? 3 时, | AB |? 2 .所以|AB|的最大值为 2. 2.如图, DP ? x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且 | DM |? 2 | DP | .当点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上运动时。 (I)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 T (0, t )作圆x ? y ? 1 的切线 l 交曲线 C 于
2 2

A,B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标。 解:设点 M 的坐标为 ? x, y ? ,点 P 的坐标为 ?x0 , y0 ? , 则 x ? x0 , y ? 2 y0 ,所以 x0 ? x , y 0 ?

y , 2

① ②

2 2 因为 P?x0 , y 0 ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,所以 x0 ? y0 ?1

将①代入②,得点 M 的轨迹方程 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1. 4

(Ⅱ)由题意知, | t |? 1 .

当 t ? 1 时,切线 l 的方程为 y ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 (? 此时 | AB |?

3 3 ,1), ( ,1), 2 2

3 ,当 t ? ?1 时,同理可得 | AB |? 3 ;

当 t ? 1时,设切线 l 的方程为 y ? kx ? m, k ? R

? y ? kx ? t , ? 2 2 2 由? 得 (4 ? k ) x ? 2ktx ? t ? 4 ? 0 ③ y2 2 ? 1, ?x ? 4 ?
设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,则由③得:

x1 ? x2 ? ?

2kt t2 ? 4 , x x ? . 1 2 4? k2 4? k2
5

又由 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,得

|t | k ?1
2

? 1, 即 t 2 ? k 2 ? 1.
4k 2 t ? 4(t 2 ? 4) ? 4 3 | t | . ? ] t2 ? 3 (4 ? k 2 ) 2 4? k2

所以 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[

因为 | AB |?

4 3|t | ? t2 ? 3

4 3 ? 2, 且当 t ? ? 3 时, 3 |t |? |t |

|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2 依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x ? y ? 1 的半径,
2 2

所以 ?AOB 面积 S ?

1 AB ? 1 ? 1 , 2

当且仅当 t ? ? 3 时, ?AOB 面积 S 的最大值为 1, 相应的 T 的坐标为 0,? 3 或者 0, 3 . 3.已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1: (I)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)过抛物线 C2: y ? x ? h (h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N,记线段 MN 与
2

?

?

?

?

3 y2 x2 ? 2 =1 经过 A(1,0)点,且离心率为 . 2 a b 2

PA 的

中点分别为 G、H,当 GH 与 y 轴平行时,求 h 的最小值.

?1 ? b 2 ? 1, ? 3 ?c 解: (Ⅰ)由题意可得 ? ? , 解得 a ? 2, b ? 1 , , 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ?
所以椭圆 C1 的方程为 x ?
2
2 (Ⅱ)设 P t , t ? h ,由 y ? ? 2 x ,

y2 ? 1. 4

?

?

抛物线 C2 在点 P 处的切线的斜率为 k ? y? 所以 MN 的方程为 y ? 2tx ? t ? h
2

x ?t

? 2t ,

6

代入椭圆方程得 4 x ? 2tx ? t ? h
2 2

?

?

2

?4? 0,
2

化简得 4 1 ? t

?

2

?x

2

? 4t ? t 2 ? h ? x ? ? t 2 ? h ? ? 4 ? 0

又 MN 与椭圆 C1 有两个交点,故
4 2 2 ? ? 16 ? ? ?t ? 2 ? h ? 2 ? t ? h ? 4 ? ??0



设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , MN 中点横坐标为 x0 ,则
2 x1 ? x2 t ? t ? h ? x0 ? ? , 2 2 ?1 ? t 2 ?

设线段 PA 的中点横坐标为 x3 ? 由已知得 x0 ? x3 即

t ?t 2 ? h ? 2 ?1 ? t 2 ?
? ? 1 t

1? t , 2

?

1? t , ② 2


显然 t ? 0 , h ? ? ? t ? ? 1?

? ?

当 t ? 0 时, t ? ? 2 ,当且仅当 t ? 1 时取得等号,此时 h ? ?3 不符合①式,故舍去; 当 t ? 0 时, ? ?t ? ? ? ? ? ? 2 ,当且仅当 t ? ?1 时取得等号,此时 h ? 1 ,满足①式。 综上, h 的最小值为1.

1 t

? 1? ? t?

7


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