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如图,在平面直角坐标系中,直线l是第一、三象限的角平分线


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初二一次函数动点问题

1、 (06 年树人期末,14 分)

如图,在直角坐标系中,四边形 OABC 为直角梯形,OA

∥BC,BC=14,A(16,0) ,C(0,2) 。 (单位:厘米) 1、 若点 P、 Q 分别从 C、 A 同时出发, 点 P

以 2cm/s 速度由 C 向 B 运动, 点 Q 以 4cm/s 速度由 A 向 O 运动,当点 Q 停止运动时,点 P 也停止运动。设运动时间为 t s(0 ? t< ? =4)。 (1) 求当 t 为多少时,四边形 PQAB 为平行四边形; (2) 求当 t 为多少时,直线 PQ 将梯形 OABC 分成左右两部分的面积比为 1:2, 求出此时直线 PQ 的解析式;
y

C O

P

B

Q

A

x

2、 若点 P、Q 为线段 BC、AO 上任意两点(不与线段 BC、AO 的端点重合) ,且四边 形 OQPC 的面积为 10 cm ,试说明直线 PO 一定经过一定点,并求出定点坐标
y
2

C O

P

B

Q

A

x

第1页

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初二一次函数动点问题

2、 (07 年树人期末,14 分)

如图①,在矩形 ABCD 中,AB=10cm,BC=8cm.点 P

从 A 出发,沿 A、B、C、D 路线运动,到 D 停止;点 Q 从 D 出发,沿 D→C→B→A 路 线运动,到 A 停止.若点 P、点 Q 同时出发,点 P 的速度为每秒 1cm,点 Q 的速度为每 秒 2cm,a 秒时点 P、点 Q 同时改变速度,点 P 的速度变为每秒 bcm,点 Q 的速度变为 每秒 dcm.图②是点 P 出发 x 秒后上△APD 的面积 S1( cm )与 x(秒)的函数关系图 象;图③是点 Q 出发 x 秒后△AQD 的面积 S2( cm )与 x(秒)的函数关系图象. ⑴ 参照图②,求 a、b 及图②中 c 的值; ⑵ 求 d 的值; ⑶ 设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm) ,点 Q 到点 A 还需走的路程为 y2(cm) ,请分别 写出动点 P、Q 改变速度后 y1、y2 与出发后的运动时间 x(秒)的函数关系式,并求出 P、 Q 相遇时 x 的值. ⑷ 当点 Q 出发 秒时,点 P、点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm.
2 2

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初二一次函数动点问题

3、 (08 年树人期末,14 分) 1、 如图,在平面直角坐标系中,直线 l 是第一、三象限的角平分线。 (1) 实验与探究 由图观察易知 A(0,2)关于直线 l 的对称点 A’ 的坐标为 (2,0) , 请在图中分别标明 B(5,3)、 C(-2,5)关于直线 l 的对称点 B’ 、C’的位置,并写出他们的坐标:B’ 、C’ 。 (2) 归纳与发现: 结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内作一点 P(a,b)关于第一、 三象限角平分线 l 的对称点 P’的坐标为 (不必证明) (3) 运用与拓展: 已知点 D(1,-3),E(-1,-4) 。 ① 试在直线 l 上确定一点 Q,使点 Q 到 D、E 两点的距离之和最小,并求出点 Q 的坐 标。 ② M、N 是直线 l 上的两动点,且 MN= 2 ,求使四边形 DEMN 周长最小时 M、 N 两点的坐标。

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初二一次函数动点问题

4、 (09 年树人期末,本题 14 分本题)如图①所示,直线 L:y=ax+10a 与 x 轴负半轴、y 轴正 半轴分别交于 A、B 两点。 (1)当 OA=OB 时,试确定直线 L 的解析式;

y B A O
图① (2)在(1)的条件下,如图②所示,设 Q 为 AB 延长线上一点,作直线 OQ,过 A、B 两 点 分别作 AM⊥OQ 于 M,BN⊥OQ 于 N,若 AM=8,BN=6,求 MN 的长。

x

y B N A O M
图②

Q

x

(3)当 a 取不同的值时,点 B 在 y 轴正半轴上运动,分别以 OB、AB 为边,点 B 为直 角顶 点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE,连接 EF 交 y 轴于 P 点, 如 图③。问:当点 B 在 y 轴正半轴上运动时,试猜想 PB 的长是否为定值,若是,请 求出 其值,若不是,说明理由。 y

E P F

B A O

x

图③
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初二一次函数动点问题

5、 (2009 年衡阳市)如图,直线 y ? ? x ? 4 与两坐标轴分别相交于 A、B 点,点 M 是线 段 AB 上任意一点(A、B 两点除外) ,过 M 分别作 MC⊥OA 于点 C,MD⊥OB 于 D. (1)当点 M 在 AB 上运动时,你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化?并说明理 由; (2)当点 M 运动到什么位置时,四边形 OCMD 的面积有最大值?最大值是多少? (3)当四边形 OCMD 为正方形时,将四边形 OCMD 沿着 x 轴的正方向移动,设平移 的距离为 a(0 ? a ? 4) ,正方形 OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为 S.试求 S 与 a 的函数关系式并画出该函数的图象. y B D M B y B y

O

C 图(1)

A

x

O 图(2)

A

x

O 图(3)

A

x

6、 (09 湖南邵阳)如图(十二) ,直线 l 的解析式为 y ? ? x ? 4 ,它与 x 轴、 y 轴分别相 交于 A、B 两点.平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发,沿 x 轴的正方形以每秒 1 个单 位长度的速度运动,它与 x 轴、 y 轴分别相交于 M 、N 两点,设运动时间为 t 秒 ( 0 ? t ≤ 4) . (1)求 A、B 两点的坐标; (2)用含 t 的代数式表示 △MON 的面积 S1 ; (3)以 MN 为对角线作矩形 OMPN ,记 △MPN 和 △OAB 重合部分的面积为 S2 , ①当 2 ? t ≤ 4 时,试探究 S2 与 t 之 间的函数关系式; m ②在直线 m 的运动过程中, 当 t 为何 l y B l m P M A x 图十二 N O y B E P P F M A x

5 值时, S2 为 △OAB 面积的 ? 16

N O

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初二一次函数动点问题

7、 (2009 年济宁市)在平面直角坐标中,边长为 2 的正方形 OABC 的两顶点 A 、 C 分别 在 y 轴、 x 轴的正半轴上,点 O 在原点.现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转,当 A 点 第一次落在直线 y ? x 上时停止旋转, 旋转过程中,AB 边交直线 y ? x 于点 M ,BC 边 交 x 轴于点 N (如图). (1)求边 OA 在旋转过程中所扫过的面积; (2)旋转过程中,当 MN 和 AC 平行时,求正方形 OABC 旋转的度数; (3)设 ?MBN 的周长为 p ,在旋转正方形 OABC 的过程中, p 值是否有变化?请证明 你的结论.

y
y?x
A M B

O C

N

x

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初二一次函数动点问题

8、 (2010 年金华)

(本题 12 分)

如图,把含有 30° 角的三角板 ABO 置入平面直角坐标系中,A,B 两点坐标分别为 (3,0)和(0,3 3 ).动点 P 从 A 点开始沿折线 AO-OB-BA 运动,点 P 在 AO,OB,BA 上运动的速度分别为 1, 3 , 2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘 l 从 x 轴的位置开始以 3 3

(长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持 l∥x 轴) ,且分别与 OB,AB 交于 E,F 两点﹒设动点 P 与动直线 l 同时出发,运动时间为 t 秒,当点 P 沿折线 AO-OB-BA 运动一周时,直线 l 和动点 P 同时停止运动. 请解答下列问题: (1)过 A,B 两点的直线解析式是 ▲ ; (2)当 t﹦4 时,点 P 的坐标为 ▲ ;当 t ﹦ ▲ ,点 P 与点 E 重合;

(3)① 作点 P 关于直线 EF 的对称点 P′. 在运动过程中,若形成的四边形 PEP′F 为 菱形,则 t 的值是多少?

② 当 t﹦2 时,是否存在着点 Q,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点 Q 的 坐标;若不存在,请说明理由.
y B

E

F

l

O

P ( 第 24 题 图)

A

x

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初二一次函数动点问题

9、 (2010,浙江义乌)如图 1,已知∠ABC=90°,△ABE 是等边三角形,点 P 为射线 BC 上任意一点(点 P 与点 B 不重合) ,连结 AP,将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线 段 AQ,连结 QE 并延长交射线 BC 于点 F. (1)如图 2,当 BP=BA 时,∠EBF= ▲ ° ,猜想∠QFC= ▲ ° ; (2)如图 1,当点 P 为射线 BC 上任意一点时,猜想∠QFC 的度数,并加以证明; (3)已知线段 AB= 2 3 ,设 BP= x ,点 Q 到射线 BC 的距离为 y,求 y 关于 x 的函数 关系式. Q A A E B F 图1 P C B E P C Q

F 图2

图3

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初二一次函数动点问题 y

答案: 第 8 题:解: (1) y ? ? 3x ? 3 3 ;………4 分 (2) (0, 3 ) ,t ?
9 ;……4 分(各 2 分) 2

B

P′ E F P G A x

(3)①当点 P 在线段 AO 上时,过 F 作 FG ⊥ x 轴,
G 为垂足(如图 1)

O

(图 1)

∵ OE ? FG , EP ? FP ,∠ EOP ? ∠ FGP ? 90° ∴△ EOP ≌△ FGP ,∴ OP ? PG ﹒ 又∵ OE ? FG ?

FG 1 3 t ,∠ A ? 60° ,∴ AG ? ? t 0 3 3 tan 60

2 而 AP ? t ,∴ OP ? 3 ? t , PG ? AP ? AG ? t 3

2 由3?t ? t 得 3

t?

9 ; ………………………………………………………………1 5
y B M

分 当点 P 在线段 OB 上时,形成的是三角形,不存在菱形; 当点 P 在线段 BA 上时, 过 P 作 PH ⊥ EF , PM ⊥ OB , H 、 M 分别为垂足(如图 2)

P

E H F P′

BE t 3 3 t ,∴ BE ? 3 3 ? t ,∴ EF ? ∵ OE ? ? 3? 0 3 3 3 tan 60
∴ MP ? EH ?
1 9?t , 又∵ BP ? 2(t ? 6) EF ? 2 6
O (图 2) A x

在 Rt△ BMP 中, BP ? cos 600 ? MP 即 2(t ? 6) ? 分 ②存在﹒理由如下:
2 ∵ t ? 2 ,∴ OE ? 3 , AP ? 2 , OP ? 1 3
B y

1 9?t 45 ,解得 t ? .…………………………………………………1 ? 2 6 7

将△ BEP 绕点 E 顺时针方向旋转 90° ,得到 ? △ B EC (如图 3) ∵ OB ⊥ EF ,∴点 B? 在直线 EF 上, C 点坐标为(
2 2 3, 3 -1) 3 3 过 F 作 FQ ∥ B?C ,交 EC 于点 Q, 则△ FEQ ∽△ B ?EC

C1 C

Q′ D1 E Q O P (图 3)

F

B′ A x

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初二一次函数动点问题



BE B ?E CE 3 2 ? ? ? 3 ,可得 Q 的坐标为(- , )………………………1 分 FE FE QE 3 3

根据对称性可得,Q 关于直线 EF 的对称点 Q? (- 第 9 题【答案】 (1) ?EBF ? (2) ?QFC =60°

2 , 3 )也符合条件.……1 分 3

30°. ?QFC =

60°

不妨设 BP> 3 AB , 如图 1 所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ 在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE,∠BAP=∠EAQ, AP=AQ ∴△ABP≌△AEQ(SAS) ∴∠AEQ=∠ABP=90° ∴∠BEF ? 180? ? ?AEQ ? ?AEB ? 180? ? 90? ? 60? ? 30? ∴ ?QFC =∠EBF +∠BEF =30° +30° =60° (事实上当 BP≤ 3 AB 时,如图 2 情形,不失一般性结论仍然成立,不分类讨论不扣 分)(3) 在图 1 中,过点 F 作 FG⊥BE 于点 G ∵△ABE 是等边三角形 ∴BE=AB= 2 3 ,由(1)得 ?EBF ? 30°

BE BG ∴BF= ∴EF=2 ? 3 ?2 2 cos 30? ∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= x ∴QF=QE+EF ? x ? 2 过点 Q 作 QH⊥BC,垂足为 H
在 Rt△BGF 中, BG ? 在 Rt△QHF 中, y ? QH ? sin 60? QF ? 即 y 关于 x 的函数关系式是: y ?

3 ( x ? 2) (x>0) 2

3 x? 3 2

第 4 题答案 10、 11、

第 10 页


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