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6向量法求异面直线的角与距离


6 利用向量法求空间角和距离 1 向量法求异面直线所成的角 【例 1】 (15 郑州市期末) 如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC= AA1,∠ABC=90°,点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角是________. 【解析】以 BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,BB1 为 z 轴,建立空间直角

坐标系. → 设 AB=BC=AA1=2,则 C1(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),则EF=(0, → → → -1,1),BC1=(2,0,2),∴EF·BC1=2, 2 1 → → ∴cos〈EF,BC1〉= = ,∴EF 和 BC1 所成的角为 60°. 2×2 2 2 【评注】用向量求解异面直线所成角,利用坐标运算求解,公式计算 要准确. 设两异面直线 a,b 所成的角为 ? ,m , n 分别是 a,b 的方向向量,则有
cos? ? cos m , n ? m?n

? ?? ? 0, ? m n .异面直线所成角的范围是 ? 2 ? ,因此,如果按照公式求出来的向

量的数量积是一个负数,则应当取其绝对值,使之变为正值,这样求得的角就为为锐角或 直角. 【变式 1】正三棱锥中利用向量的坐标运算求异面直线所成的角 在正三棱锥 P—ABC 中,底面正△ABC 的中心为 O,D 是 PA 的中点,PO=AB=2,求异面直线 AC 和 BD 所成的角余弦值.

30 【解析】以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴,OP 为 z 轴建立空间直角坐标系.因 ?ABC 是 10 正三角形,故 y 轴平行于 BC,而 PO=AB=2,则 P(0, 0, 2) , z 3 2 3 3 A( , 0, 0) ,B ( ? ,1, 0) ,C ( ? , ?1,0) ,D 是 PA 的中点, P 3 3 3 ??? ? ??? ? 2 3 3 , ?1,1) , CA ? ( 3,1,0) , 故 D ( , 0,1) , BD ? ( 3 3 D ??? ? ??? ? B 2 ?1?1 1 3 30 C cos ? BD, CA ??| |? ? ? y O 10 10 4 10 ? 1 ? 1? 3 ? 1 3 3 A x 【例 2】 (2012·陕西理)三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边 长和侧棱长都相等, ∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为________. → → → → → → → → → 【解析】选准基底,由题意知,AB1=AB+AA1,BC1=BB1+BC=BA+AC+AA1. 又∠CAA1=∠BAA1=∠BAC=60°,设边长、侧棱长为 1, → 2 → → 2 →2 → 2 → → → 则AB1 =(AB+AA1) =AB +AA1 +2AB·AA1=3,所以|AB1|= 3, → 同理可得|BC1|= 2. → → → → → → → → → → → → → AB1·BC1=AB·BA+AB·AC+AB·AA1+AA1·BA+AA1·AC+AA12=1, → → AB1·BC1 1 6 → → 所以 cos〈AB1·BC1〉= = = . → → 3· 2 6 |AB1|·|BC1| 【评注】求异面直线所成角可以借助向量运算求解.关键是选取合适的基底,利用基向量法
1.
1

和线性运算以及数量积,沟通角与向量之间的关系求解。 【变式 1】两种常用方法求异面直线所成的角 在三棱锥 S – ABC 中,∠SAB = ∠SAC =∠ACB = 90°,AC = 2,BC = 13 ,SB = 29 .则 异面直线 SC 与 AB 所成的角的余弦为 【解析 1】 利用向量之间的转化, 由题中的已知条件, 容易计算得到| SC | = 4, | AB | = 17 . 而 SC ? AB ? (SA ? AC) ? AB ? SA ? AB ? AC ? AB = | AC | ? | AB | cos∠CAB = 2 ×

17 ×

2 17

= 4,据此有

z S C B y 图 10

cos< SC, AB >=

SC ? AB

| SC | ? | AB | 4 ? 17

=

4

?

17 . 17

A x

【解析 2】 利用向量的坐标运算,如图 10 建立直角坐标系,则点 A、B

的坐标分别为 A(2, 0, 0)、B(0, 13 ,0)。由∠SAB = ∠SAC =∠ACB = 90°,可知 SA⊥面

ABC,∠SCB = 90°。于是 SC = SB 2 ? BC 2 ? 4 ,SA = SC 2 ? AC 2 ? 2 3 ,因此点 S 的
坐标为 (2, 0,2 3 ). 由 此 可 得 SC = (–2, 0, – 2 3 ) , AB = (–2, =

13 , 0) , 从 而 有 cos< SC, AB >

SC ? AB | SC | ? | AB |
4 4 ? 17 ?
17 17 ,于是异面直线 SC 与 AB 所成角的大小为 arccos 。 17 17

=

2.利用向量法求解异面直线之间的距离 【例 3】 如图,正方体的棱长为 2,C、D、P、Q 分别是棱的中点, A、B、M、N、E、F 是顶点, 则 CD 和 EQ 的距离是 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,
Q(1, 0, 0) P(2,1, 0) B(2, 2, 0) F (2, 2, 2)C(1, 2, 2) D(0,1, 2)M (0, 2, 0)

??? ? ??? ? ???? ???? QP ? (1,1, 0) , QE ? (?1,0, 2) , AD ? (0,1, 2) , DC ? (1,1, 0) ? ? ??? ? ? ??? ? n1 ? QP ? 0, n1 ? QE ? 0 , 设截面 EFPQ 法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,

即 ?

? ? ? ?? ? ?x ? y ? 0 , 可 得 n1 ? (2, ?2,1) , 而 n1 ? D C? 0 , ?? x ? 2 z ? 0

? ???? ? n1 ?AD ? 0 , 可见 n1 ? (2, ?2,1) 也是截面 ABCD 的法向量. 因

2

??? ? ? ???? | ED ? n1 | ? 此截面 EFPQ//截面 ABCD DE ? (0,1,0) , 点 D 到截面 EFPQ 的距离是 d ? ?? ? | n1 |

| ?2 | 2 ? 4 ? 4 ?1 3

则 CD 和 EQ 是异面直线,所以 CD 和 EQ 的距离也是

2 3

【评注】利用向量的运算求解异面直线之间的距离,是将异面直线之间的距离转换为两平 行平面的距离, 再转化点到面的距离利用斜线在法相梁上 ? 投影的绝对值求解。设 n 是平面 ? 的法向量,PQ 是 ? 的 斜线,Q? ? ,点 P 到平面? 的距离为 d,
??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? PQ ? n | PQ ? n | ? ? |? ? d ?| PQ | ?sin? ?| PQ | ? | cos ? n, PQ ?|?| PQ | ? | ??? | PQ | ? | n | | n|
????

(即 PQ 在 n 方向上投影的绝对值)

?

3


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