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河南省陕州中学2015-2016学年高二数学上学期第一次精英对抗赛试题


2015-2016 学年上期高二第一次精英对抗 数学试卷
试卷总分:150 分 考试时间:120 分钟 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分. 1.一名小学生的年龄(单位:岁)和身高(单位:cm)的数据如下表.由散点图可知,身高 y 与 ^ ^ 年龄 x 之间的线性回归方程为y=8.8x+a,预测该学生 10 岁时的身高约为( 年龄 x 身高 y A

.154 cm B.153 cm 6 118 7 126 8 136 9 144 )

C.152 cm D.151 cm

2.老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对某班 50 名同学(其中男同学 30 名,女同学 20 名)采取分层抽样的方法,抽取一个容量为 10 的样本进行研究,则女同学甲被抽到的概率 为( A. ) 1 50 1 B. 10 1 C. 5 D. 1 4

3.以下三个命题:①分别在两个平面内的直线一定是异面直线;②过平面 ? 的一条斜线有且 只有一个平面与 ? 垂直;③垂直于同一个平面的两个平面平行.其中真命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 )

4.欧阳修在《卖油翁》中写道:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以酌油沥之,自钱 孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.已知铜钱是直径为 3 cm 的圆,中间有边长为 1 cm 的正方形孔.若你随机向铜钱上滴一滴油,则这滴油(油滴的大小 忽略不计)正好落入孔中的概率是( A. 9π 4 B. 9 4π ) 4π C. 9 D. 4 9π

5.a、b 为非零向量,命题甲: “向量 a 与向量 b 平行”.命题乙: “|a+b|=|a|+|b|, 那么命题甲是命题乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要 条件 6.如果数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,方差为 s ,则 5x1+2,5x2+2,?,5xn+2 的平均 数和方差分别为( A. x ,s
2 2

) B.5 x +2,s
2

C.5 x +2,25s ).

2

D. x ,25s

2

2 7.“ x ? x ? 0 ”是“ x ? 1 ”的(

-1-

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要

条件 8.(2015·全国卷)根据下面给出的 2004 年至 2003 年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形 图.以下结论不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 9. 已知椭圆的两个焦点为 F 1 ? PF2 , 1 (? 5,0) , F 2 ( 5,0) , P 是此椭圆上的一点,且 PF

| PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该椭圆的方程是(
x2 ? y2 ?1 6
10.下列说法错误 的是( .. B.

)

x2 ? y2 ? 1 4
).

C. x ?
2

y2 ?1 6

D. x ?
2

y2 ?1 4

A.如果命题“ ? p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题. B. 命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”
2 C.命题 p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x 2 ? 2x ? 4 ? 0

D.特称命题 “ ?x ? R ,使 ?2 x ? x ? 4 ? 0 ”是真命题.
2

11.如图 1 是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到第 14 次的考试成 绩依次记为 A1,A2,?,A14.如图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流 程图.那么算法流程图输出的结果是( )

-2-

A.7

B.8

C.9

D.10

12.若方程

y2 x2 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围是 ( 25 ? m 16 ? m
B.(

)

A.(-16,25)

9 ,25) 2

C.(-16,

9 ) 2

D.(

9 ,+∞) 2

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图(如下图). 为了分析居民的收入与年龄、 学历、 职业等方面的关系, 要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 80 人作进一步调查,则在[1 500,2 000)(元)月收入段应抽出 人.
频率 组距

0.000 5 0.000 4 0.000 3 0.000 2 0.000 1

月收入/元

1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000 14.若 10 个数据的平均数是 3,标准差是 2,则这 10 个数据的平方和是________. 15 . 命 题 “ ?x ? R, ax ? 2ax ? 3 ? 0 恒 成 立 ” 是 假 命 题 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围
2

是 16.过椭圆 为 ____.

.

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F 引直线交椭圆于 A、 B 两点,若 AB ? 7 ,则此直线的方程 16 12

三、解答题:解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (10 分)高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度
-3-

的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图 中[80,90)间的矩形的高; (2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选 2 人进行某项研究, 求至少有 1 人分数在[90,100] 之间的概率. 18.(12 分)设命题 p:实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q:实数 x 满足
? ?x -x-6≤0, ? 2 ?x +2x-8>0. ?
2

(1)若 a ? 1 ,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)非 p 是非 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1、2、3、 4、5.现从一批该日用品中随机抽以 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如 下:

X f

1

2 0.2

3 0.45

4

5

a

b

c

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件, 求 a、b、c 的值. (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1、x2、x3,等级系数为 5 的 2 件 日用品记为 y1、y2 购买者往往从 x1、x2、x3、y1、y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品 被取出的可能性相同), 写出所有可能的结果, 并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

20.(本小题满分 12 分)某城市理论预测 2014 年到 2018 年人口总数(单位:十万)与年份的关 系如下表所示: 年份 2014+x 人口总数 y (1)请画出上表数据的散点图; ^ ^ ^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归方程y=bx+a;
-4-

0 5

1 7

2 8

3 11

4 19

(3)据此估计 2019 年该城市人口总数. (参考数据:0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132,0 +1 +2 +3 +4 =30)
2 2 2 2 2

y2 21.设椭圆方程为 x ? =1,求点 M(0,1)的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 为坐标原点,点 4
2

P 满足 OP ?

?

? 1 ? (OA ? OB ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求动点 P 的轨迹方程. 2

22. 如图,已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 (a>b>0)的离心率 e ? ,过点 A(0,-b)和 B(a,0) 2 a b 3
3 . 2

的直线与原点的距离为

(1)求椭圆的方程. (2)已知定点 E(-1,0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

-5-

2015-2016 学年上期高二第一次精英对抗数学答案 一、选择题 BCBDB 二、填空题 13、 16 CBDAD DA 15、 (??,0) U [3,??) 16、 3x ? 2 y ? 2 3 ? 0

14、130

三、解答题 17. (1)因为分数在[50,60)之间的频数为 2,频率为 0.008×10=0.08,所以高一(1) 班参加校生物竞赛的人数为 2 =25.分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4,频 0.08

4 0.16 率为 =0.16,所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 =0.016. 25 10 (2)设“至少有 1 人分数在[90,100]之间”为事件 A,将[80,90)之间的 4 人编号为 1、2、3、 4,[90,100]之间的 2 人编号为 5、6.在[80,100]之间任取 2 人的基本事件有:(1,2),(1,3), (1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6), (5,6),共 15 个.其中,至少有 1 人分数在[90,100]之间的基本事件有 9 个,根据古典概型 概率的计算公式,得 P(A)=
2

9 3 = . 15 5

18.解:(1)由 x -4ax+3a <0 得 (x-3a)(x-a)<0. ??1 分 又 a>0,所以 a<x<3a, ??2 分 当 a=1 时,1<x<3, 即 p 为真命题时,实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由?
?x -x-6≤0, ? ? ?x +2x-8>0.
2 2

2

??3 分

?-2≤x≤3, ? 解得? ? ?x<-4或x>2.

即 2<x≤3.

所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. ??5 分
?1<x<3 ? 若 p∧q 为真,则? ?2<x≤3 ?

?2<x<3,

所以实数 x 的取值范围是(2,3).

??7 分

(2)非 p 是非 q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的充分不必要条件, ??8 分 设 A={x| a<x<3a},B={x|2<x≤3},则 B ? A.
?

??10 分

所以 0<a≤2 且 3a>3,即 1<a≤2. 所以实数 a 的取值范围是(1,2].??12 分 19.(1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1, 即 a+b+c=0.35.因为抽取的 20 件日 3 2 用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= =0.15.等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= 20 20 =0.1,从而 a=0.35-b-c=0.1,所以 a=0.1,b=0.15,c=0.1. (2)从日用品 x1、x2、x3、y1、y2 中任取两件,所有可能情况为:{x1,x2},{x1,x3},{x1,

y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y1}, {y1,y2}.
设事件 A 表示“从日用品 x1,x2,x3,y1,y2 中任取两件,其等级系数相等”,则 A 包含 的基本事件为{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2}共 4 个.
-6-

4 又基本事件的总数为 10,故所求的概率 P(A)= =0.4. 10 20.(1)概据题中数表画出数据的散点图如下图所示. (2)由题中数表,知

x = (0+1+2+3+4)=2, y = (5+7+8+11+19)=10.
5 -

1 5 1 5

?xiyi-5x y i=1 所以 b= 5 =3.2, - 2 2 ? x i-5x i=1 ^

a= y -b x =3.6.
^ 所以回归方程为y=3.2x+3.6. ^ (3)当 x=5 时,y=3.2×5+3.6=19.6(十万)=196(万). 答:估计 2019 年该城市人口总数约为 196 万. 21.解:设 P(x,y)是所求轨迹上的任一点, ①当斜率存在时,直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 4x +y -4=0 由
?
2 2

^

得: (4+k )x +2kx-3=0,x1+x2=-
? 1 ? (OA ? OB ) 2

2

2

2k 8 , y1+y2= ,y=kx+1 2 4?k 4? k2

由 OP ?

得: (x,y)=

1 (x1+x2,y1+y2) , 2

x ? x2 k ? x? 1 ?? ? ? 2 4? k2 即: ? ? y ? y1 ? y 2 ? 4 ? 2 4? k2 ?

-7-

消去 k 得:4x +y -y=0 当斜率不存在时,AB 的中点为坐标原点,也适合方程 2 2 所以动点 P 的轨迹方程为:4x +y -y= 0. 22.解: (1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

2

2

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? 2 2 ? 2 ? a ?b

解得

?a ? 3 , ? ?b ? 1

x2 ? y 2 ? 1 .[ ∴椭圆方程为 3
(2)假若存在这样的 k 值,由 ? ∴

? y ? kx ? 2, ?x ? 3 y ? 3 ? 0
2 2

2 2 得 (1 ? 3k ) x ? 12kx ? 9 ? 0 .

? ? (12k )2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0



12k ? x1 ? x2 ? ? , ? ? 1 ? 3k 2 设 C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
而 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 .
2



要使以 CD 为直径的圆过点 E ( -1 , 0 ) ,当且仅当 CE ⊥ DE 时,则

y1 ? y2 ? ?1 ,即 x1 ? 1 x2 ? 1


y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ∴ (k 2 ? 1) x1 x2 ? 2(k ? 1)(x1 ? x2 ) ? 5 ? 0
将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?

7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E. 6

-8-


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