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【强烈推荐】高考数学常用的100个基础公式


高考数学常用公式
1.德摩根公式 CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B . 2. A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R 3. card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? ca

rd ( A ? B)

card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C)
4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; ② 顶点式 5.设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x) ? a( x ? h) 2 ? k (a ? 0) ;③零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) .
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是减函数. x1 ? x2

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为减函 数. 6. 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 的 对 称 性 : ① 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称

? f ( a? x ) ? f ( a ?? ) x f ( 2a ? x) ? f (. x ) 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? ②

a?b 对称 2

? f ( a? m) x? f ( b ? m ? ) x f ( a ? b ? m)x ? (f m )x . 7.两个函数图象的对称性:①函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称.②函数 a?b ?1 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? 对称 . ③函数 y ? f ( x) 和 y ? f ( x) 的 2m
图象关于直线 y=x 对称. 8.分数指数幂 a n ?
b
m

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ). a

?

?

m n

?

1 a
m n

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

?

9. loga N ? b ? a ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 10.对数的换底公式 log a N ? 11. an ? ?

n log m N n .推论 log a m b ? log a b . m log m a

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). ?sn ? sn?1 , n ? 2
*

12.等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N ) ;

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? ( a1 ? d ) n . 2 2 2 2 a n n ?1 * 13.等比数列的通项公式 an ? a1q ? 1 ? q (n ? N ) ; q
其前 n 项和公式 sn ?

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式 sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? ? na , q ? 1 ?na1 , q ? 1 ? 1
14.等比差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

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?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ?nb ? n(n ? 1)d , q ? 1 ? n ? n ?1 an ? ? bq ? (d ? b)q ? d ;其前 n 项和公式为 sn ? ? . d 1 ? qn d , q ? 1 ( b ? ) ? n , q ? 1 ? ? q ?1 1 ? q q ?1 1 ? q ? ?

ab(1 ? b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b)n ? 1 sin ? 2 2 16.同角三角函数的基本关系式 sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? = , tan ? ? cot? ? 1 . cos ?
15.分期付款(按揭贷款) 每次还款 x ? 17.正弦、余弦的诱导公式
n ? 2 ( ? 1) sin ? , n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

n 为偶数 n 为奇数

n ? 2 ( ? 1) co s ? , n? ? co s( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 sin ? , ?

n 为偶数 n 为奇数

18.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?
19.二倍角公式

sin 2? ? sin ? cos ? .

b ). a

2 tan ? . 1 ? tan 2 ? 20.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A 2? ? ≠0,ω >0)的周期 T ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω > ? 2 ? 0)的周期 T ? . ? a b c ? ? ? 2R . 21.正弦定理 sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22.余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ; b ? c ? a ? 2ca cos B ; c ? a ? b ? 2ab cos C . 1 1 1 23.面积定理(1) S ? aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 1 (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) 2 . (3) S ?OAB ? 2

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . tan 2? ?

24.三角形内角和定理 在△ABC 中,有

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ?
25.平面两点间的距离公式

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
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26.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 27.线段的定比分公式 则 设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 是线段 PP 1 2 的分点, ? 是实数,且 PP 1 ? ? PP 2 ,

??? ?

????

x ? ? x2 ? ???? ???? x? 1 ??? ? ??? ? ???? ??? ? OP ? ? OP ? 1 ? 1? ? 1 2 t? ). ? OP ? ? OP ? tOP ? 1 ? (1 ? t )OP 2( 1? ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ?
28.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )、C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3 ???? ??? ? ????' ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ' ?? 29.点的平移公式 ? ' ? OP ? OP ? PP (图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后 ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ? ???? ' 图形 F 上的对应点为 P' ( x' , y ' ) ,且 PP' 的坐标为 ( h, k ) ).
的坐标是 G ( 30.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 (3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ? ? (4)柯西不等式 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R. (5) a ? b ? a ? b ? a ? b 31.极值定理 已知 x , y 都是正数,则有 (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;

1 2 s . 4 2 32.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax ? bx ? c 同号,则其解
(2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值 集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
2

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
33.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .

34.无理不等式(1)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ?

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(3)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

35.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时, a
f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
g ( x)

(2)当 0 ? a ? 1 时, a

f ( x)

?a

? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

36.斜率公式 k ?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

37.直线的四种方程

k (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 ).
(2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)一般式

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).

38.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 ? l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

A1 B1 C1 ;② l1 ? l2 ? A ; ? ? 1 A2 ? B 1B2 ? 0 A2 B2 C2 k ? k1 39.夹角公式 tan ? ?| 2 | .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1
① l1 ? l2 ?

A1B2 ? A2 B1 ( l1 : A ). 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A 1 A2 ? B 1 B2 ? 0 A1 A2 ? B1B2 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 | Ax0 ? By0 ? C | 40.点到直线的距离 d ? (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 tan ? ?
41. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2 2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?

(4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1)( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ). 42.椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 PF1 ? e( x ? a2 a2 ) , PF2 ? e( ? x) . c c

43.椭圆

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44.双曲线

x2 y 2 a2 a2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) PF ? | e ( x ? ) | PF ? | e ( ? x) | . 的焦半径公式 , 1 2 a 2 b2 c c
2

y 45.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其中 y?2 ? 2 px? . 2p
2

b 2 4ac ? b2 (a ? 0 )的 图 象 是 抛 物 线 : 46. 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ? ) ? (1)顶点坐标为 2a 4a b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 4ac ? b 2 ? 1 (? , ); , ); (2)焦点的坐标为 (? (3)准线方程是 y ? . 2a 4a 2a 4a 4a
2

47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? (弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由
方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). ?F( x, y) ? 0

48.圆锥曲线的两类对称问题: (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2 2 49. “四线” 一方程 对于一般的二次曲线 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 用 x0 x 代 x , 用 y0 y 代 y 2 , F (x ? x0 y ? xy0 x ?x y ?y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方程 2 2 2
用 均是此方程得到. 50.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b. 51.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC , 则四点 P、A、B、C 是共面 ? x ? y ? z ? 1 . (a= (a1 , a2 , a3 ) , b= (b1 , b2 , b3 ) ) . 2 2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 ??? ? ?? AB ? m ?? ? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). 53.直线 AB 与平面所成角 ? ? arc sin ??? | AB || m | ?? ? ?? ? ?? ? m?n m? n 54.二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n | 55.设 AC 是α 内的任一条直线, 且 BC⊥AC, 垂足为 C, 又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 , AB 与 AC 所成的角为? 2 , 52. 空间两个向量的夹角公式 cos 〈a, b〉 = AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 56.若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面角的棱所成的角 是θ ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2sin?1 sin? 2 cos? ; | ?1 ??2 |? ? ? 180 ? (?1 ? ? 2 ) (当且仅
?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3

当 ? ? 90 时等号成立).
?

57.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 .
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58. 点 Q 到直线 l 距离 h ? b= PQ ).

??? ?

??? ? 1 (| a || b |)2 ? (a ? b)2 ( 点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量 a= PA ,向量 |a|

??? ? ?? ? ? | CD ? n | ? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 l1 , l2 上任一点, d 59.异面直线间的距离 d ? |n| 为 l1 , l2 间的距离). ??? ? ?? ? | AB ? n | ? ? 60.点 B 到平面 ? 的距离 d ? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ). |n|
61.异面直线上两点距离公式 d ? d 2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? ( 两条异面直线 a 、 b 所成的角为 θ ,其公垂线段 AA 的长度为 h. 在直线 a 、 b 上分别取两点 E 、 F ,
'

A' E ? m , AF ? n , EF ? d ). 2 62. l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ? 2 ? cos2 ?3 ? 1
(长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分别为 ?1、? 2、?3 ) (立几 中长方体对角线长的公式是其特例).

S' ' 63. 面积射影定理 S ? (平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 cos? ? ). 64.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F) 4 3 2 65.球的半径是 R,则其体积是 V ? ? R ,其表面积是 S ? 4? R . 3 66.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn .
67.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn .
m 68.排列数公式 An = n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) =

69.排列恒等式

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)! n m m m m?1 An (1) An ; (2) An ? ? (n ? m ? 1) An ?1 ; n?m n n?1 n m m m?1 (4) nAn (5) An . ? An ?1 ? A n ; ?1 ? A n ? mA n

m m?1 (3) An ? nAn ?1 ;

70.组合数公式 C

m n =

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * = = ( n , m ∈N ,且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am
(3) Cn ?
m

m n?m m m?1 m = Cn ;(2) C n + Cn = Cn Cn ?1 n ? m ? 1 m ?1 n m m m Cn ; Cn 72.组合恒等式 (1) Cn ? (2) Cn ? ?1 ; m n?m

71.组合数的两个性质(1)

n m?1 Cn ?1 ; m

(4)

?C
r ?0

n

r n

=2 ;

n

(5) Cr ? Cr ?1 ? Cr ?2 ? ? ? Cn ? Cn?1 .
r r r r

r ?1

m m 73.排列数与组合数的关系是: An . ?m ! ? Cn

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 74.二项式定理 (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; r n ?r r 1, 2?,n) . 二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,

75.等可能性事件的概率 P ( A) ?

m . n

76.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B).
第 6 页 共 8 页

77. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 78.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An).
k k n ?k 80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P . n (k ) ? Cn P (1 ? P)

81.离散型随机变量的分布列的两个性质: (1) P ) ;(2) P i ? 0(i ? 1, 2,? 1?P 2 ? ? ? 1. 82.数学期望 E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ? ? ? xn P n ?? 83.数学期望的性质: (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . 84.方差 D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?
2 2 2

85.标准差 ?? = D? . 86.方差的性质(1) D ?? ? ? E? 2 ? (E? )2 ;(2) D ? a? ? b? ? a2 D? ; (3)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np ( 1 ?p ) . 87.正态分布密度函数 f ? x ? ? 个体的平均数与标准差.
x ? 1 88.标准正态分布密度函数 f ? x ? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6 ? x?? ? 89.对于 N (?, ? 2 ) ,取值小于 x 的概率 F ? x ? ? ? ? ?. ? ? ?
2

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? 式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表示

? x ?? ? ? x1 ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ? ? F ? x2 ? ? F ? x1 ? ? ? ? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ? ? n ?b ? n ? . 2 y ? a ? bx ,其中 ? x ? x xi 2 ? nx 2 ? ? ? ? i ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx ? ?

90.回归直线方程

91.相关系数

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i
n

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 2 2 2 i ?1 i ?1

n

n

.

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小.

?0 ? 92.特殊数列的极限 (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? ? b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
(3) S ? lim
x ? x0

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

a1 1 ? q n 1? q

?

n ??

??

a1 1? q

( S 无穷等比数列

?a q ?
n ?1 1

( | q |? 1 )的和).

93. lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .这是函数极限存在的一个充要条件.
x ? x0 x ? x0

第 7 页 共 8 页

94.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ;(2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),则 lim f ( x) ? a .
x ? x0 x ? x0 x ? x0

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立.

sin x ? 1? ? 1; 95.两个重要的极限 (1) lim (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?0 x ?? x ? x? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 96. f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商) f ?( x0 ) ? y? x ? x0 ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim 97.瞬时速度 ? ? s?(t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim 98.瞬时加速度 a ? v?(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? lim ? lim 99. f ( x) 在 ( a, b) 的导数 f ?( x ) ? y ? ? . dx dx ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 100.函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切线方
程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 101.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (3) (sin x)? ? cos x . (5) (ln x )? ? (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) . (4) (cosx)? ? ? sin x .

x

1 1 e x ; (log a )? ? log a . (6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a . x x 102.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ' ? ? ' ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点
' ' ' U 处 有 导 数 yu ' ? f ' (u) , 则 复 合 函 数 y ? f (? ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 yx ,或写作 ? yu ? ux

f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) . 103.可导函数 y ? f ( x) 的微分 dy ? f ?( x)dx . 104. a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R )
105.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 106.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

107.复平面上的两点间的距离公式 d ?| z1 ? z2 |?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ). ???? ? ???? ? 108.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则 ???? ? ???? ? z OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非零实数).
109. 实 系 数 一 元 二 次 方 程 的 解 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0 , ① 若 ? ? b ? 4ac ? 0 , 则
2 2

x1,2 ?

b ?b ? b2 ? 4ac 2 2 ;②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ;③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 2a 2a

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根 x ? (b ? 4ac ? 0) . 2a
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