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江苏省南通市启东中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷


2014-2015 学年江苏省南通市启东中学高二(上)第一次月考数 学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应 位置上. 1.命题 p:? x∈R,方程 x +x+1=0 的否定是
3



2.已知椭圆 是 .

=1 上一点 P 到一个焦

点的距离为 8,则点 P 到另一焦点的距离

3.命题“若α是锐角,则 sinα>0”的否命题是 4. 【文科】若双曲线的渐近线方程为 y=±3x,一个焦点是 是 .

. ,则双曲线的方程

5.以点(1,2)为圆心,与直线 4x+3y﹣35=0 相切的圆的方程是



6.设 F1、F2 是双曲线 PF1F2 的面积等于 .

的两个焦点,是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△

7.若圆锥曲线

=1 的焦距为 2

,则 k=



8.已知动圆 M 与圆 C1: (x+3) +y =9 外切且与圆 C2: (x﹣3) +y =1 内切,则动圆圆心 M 的 轨迹方程是 .

2

2

2

2

9.椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为

,过 F1 的直线 L 交 C 于 A,B .

10.将一个半径为 R 的蓝球放在地面上,被阳光斜照留下的影子是椭圆.若阳光与地面成 60°角,则椭圆的离心率为 . 11.若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相切,则实数 ab 的最大值与最小值之差为
2 2



12.已知命题 p: 则实数 a 的取值范围是
2 2

≤﹣1,命题 q:x ﹣x<a ﹣a,且? q 的一个充分不必要条件是? p, . ) ,则 AB+CD 的最大

2

2

13.已知⊙O:x +y =4 的两条弦 AB,CD 互相垂直,且交于点 M(1, 值为 .
2 2

14.已知直线 y=kx+3 与曲线 x +y ﹣2xcosα+2(1+sinα) (1﹣y)=0 有且只有一个公共点, 则实数 k 的值为 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.已知命题 p: “? x∈[0,1],a≥e ” ,命题 q: “? x∈R,x +4x+a=0” ,若命题“p∧q” 是假命题,求实数 a 的取值范围. 16. (已知集合 A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|4x +12x﹣7≤0},若“x∈A”是“x∈B”的必要 条件,求实数 a 的取值范围. 17. (已知实数 x,y 满足(x﹣2) +(y﹣1) =1. (1)求 k= 的最大值;
2 2 2 x 2

(2)若 x+y+m≥0 恒成立,求实数 m 的范围.

18.已知点 P(4,4) ,圆 C: (x﹣m) +y =5(m<3)与椭圆 E: 一个公共点 A(3,1) ,F1,F2 分别是椭圆的左右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. (1)求 m 的值; (2)求椭圆 E 的方程.

2

2



19.已知圆 C:x +y ﹣2x﹣4y﹣12=0 和点 A(3,0) ,直线 l 过点 A 与圆交于 P,Q 两点. (1)若以 PQ 为直径的圆的面积最大,求直线 l 的方程; (2)若以 PQ 为直径的圆过原点,求直线 l 的方程.

2

2

20.如图,已知椭圆 E1:

=1(a>b>0)的左右顶点分别为 A,A',圆 E2:x +y =a ,

2

2

2

过椭圆的左顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B、C. (1)证明:kBA? kBA′=﹣ ;

(2)若 k1=1 时,B 恰好为线段 AC 的中点,且 a=3,试求椭圆的方程; (3)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2,当 否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 时,试问直线 BD 是

2014-2015 学年江苏省南通市启东中学高二 (上) 第一次 月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应 位置上. 1.命题 p:? x∈R,方程 x +x+1=0 的否定是 ? x∈R,方程 x +x+1≠0 . 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的否定. 简易逻辑. 直接利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可. 解:因为全称命题的否定是特称命题,
3 3 3 3

所以命题 p:? x∈R,方程 x +x+1=0 的否定是:? x∈R,方程 x +x+1≠0. 3 故答案为:? x∈R,方程 x +x+1≠0. 点评: 本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,基本知识的考查.

2. 已知椭圆

=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 8, 则点 P 到另一焦点的距离是 12 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由椭圆方程找出 a 的值,根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常 数 2a,把 a 的值代入即可求出常数的值得到 P 到两焦点的距离之和,由 P 到一个焦点的距 离为 8,求出 P 到另一焦点的距离即可. 解答: 解:由椭圆 =1,得 a=10,

则 2a=20,且点 P 到椭圆一焦点的距离为 8, 由定义得点 P 到另一焦点的距离为 2a﹣8=20﹣8=12. 故答案为:12. 点评: 此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质,是一道中档题. 3.命题“若α是锐角,则 sinα>0”的否命题是 若α不是锐角,则 sinα≤0 . 考点: 四种命题间的逆否关系. 专题: 探究型. 分析: 根据否命题与原命题之间的关系求解即可. 解答: 解:根据否命题的定义可知,命题“若α是锐角,则 sinα>0”的否命题是:若α 不是锐角,则 sinα≤0. 故答案为:若α不是锐角,则 sinα≤0.

点评: 本题主要考查四种命题之间的关系,比较基础. 4. 【文科】若双曲线的渐近线方程为 y=±3x,一个焦点是 是 . ,则双曲线的方程

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意,设双曲线方程为 y=±3x,一个焦点是 (a>0,b>0) ,根据双曲线的渐近线方程为 ,列出方程组,求出 a,b,即可得出双曲线的方程. (a>0,b>0) , ,

解答: 解:由题意,设双曲线方程为 ∵双曲线的渐近线方程为 y=±3x,一个焦点是





∴a=3,b=1, ∴双曲线的方程是 .

故答案为:



点评: 本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于 基础题. 5. 以点 (1, 2) 为圆心, 与直线 4x+3y﹣35=0 相切的圆的方程是 (x﹣1) + (y﹣2) =25 . 考点: 专题: 分析: 方程. 解答: 圆的标准方程;直线与圆的位置关系. 计算题. 先求圆心到直线 4x+3y﹣35=0 的距离,再求出半径,即可由圆的标准方程求得圆的
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2

2

解:以点(1,2)为圆心,与直线 4x+3y﹣35=0 相切,

圆心到直线的距离等于半径,即: 所求圆的标准方程: (x﹣1) +(y﹣2) =25 2 2 故答案为: (x﹣1) +(y﹣2) =25 点评: 本题考查圆的标准方程,直线与圆相切,是基础题.
2 2

6.设 F1、F2 是双曲线 PF1F2 的面积等于 24 .

的两个焦点,是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|,则△

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先由双曲线的方程求出|F1F2|=10,再由 3|PF1|=4|PF2|,求出|PF1|=8,|PF2|=6,由 此能求出△PF1F2 的面积. 解答: 解:双曲线 的两个焦点 F1(﹣5,0) ,F2(5,0) ,|F1F2|=10,

由 3|PF1|=4|PF2|,设|PF2|=x,则|PF1|= x, 由双曲线的性质知 x﹣x=2,解得 x=6. ∴|PF1|=8,|PF2|=6, ∵|F1F2|=10,∴∠F1PF2=90°, ∴△PF1F2 的面积= ×8×6=24. 故答案为:24. 点评: 本题考查双曲线的性质和应用,考查三角形面积的计算,属于基础题.

7.若圆锥曲线

=1 的焦距为 2

,则 k= 2 或 4 .

考点: 双曲线的简单性质;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先把圆锥曲线进行分类(1)圆锥曲线是焦点在 x 轴上的椭圆(2)圆锥曲线是焦 点在 y 轴上的椭(3)圆锥曲线是焦点在 x 轴上的双曲线(4)圆锥曲线是焦点在 y 轴上的双 曲线,通过讨论求的结果. 解答: 解:圆锥曲线 =1

(1)圆锥曲线是焦点在 x 轴上的椭圆时,5﹣k>k﹣1 解得:k<3 令 a =5﹣k,b =k﹣1 焦距为 2 即 c =2 5﹣k=k﹣1+2 解得 k=2 (2)圆锥曲线是焦点在 y 轴上的椭圆时,5﹣k<k﹣1 解得:k>3 令 a =k﹣1,b =5﹣k 焦距为 2 k﹣1=5﹣k+2 解得:k=4
2 2 2 2 2

即 c =2

2

(3)圆锥曲线是焦点在 x 轴上的双曲线时, 即 k<1 令 a =5﹣k,b =1﹣k 焦距为 2 即 c =2 5﹣k+1﹣k=2 解得:k=3(舍去) (4)圆锥曲线是焦点在 y 轴上的双曲线时 即 k>5 令 a =k﹣1,b =k﹣5 焦距为 2 即 c =2 k﹣1+k﹣5=2 解得 k=4(舍去) 故答案为:2 或 4 点评: 本题考查的知识点:圆锥曲线的讨论问题:椭圆方程的两种形式,双曲线方程的两 种形式,通过运算求结果. 8.已知动圆 M 与圆 C1: (x+3) +y =9 外切且与圆 C2: (x﹣3) +y =1 内切,则动圆圆心 M 的 轨迹方程是 ﹣ =1(x≥2) .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 找出两圆圆心坐标与半径,设设动圆圆心 M(x,y) ,半径为 r,根据动圆 M 与圆 C1 外切且与圆 C2 内切,即可确定出 M 轨迹方程. 2 2 2 2 解答: 解:由圆 C1: (x+3) +y =9,圆心 C1(﹣3,0) ,半径 r1=3,圆 C2: (x﹣3) +y =1, 圆心 C2(3,0) ,r2=1, 设动圆圆心 M(x,y) ,半径为 r, 根据题意得: 整理得:|MC1|﹣|MC2|=4, 则动点 M 轨迹为双曲线,a=2,b= ,c=3,其方程为 ﹣ =1(x≥2) . ,

故答案为:



=1(x≥2)

点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,以及动点轨迹方程,熟练掌握双曲线定义是解本 题的关键.

9.椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为

,过 F1 的直线 L 交 C 于 A,B

两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 根据椭圆的定义证出△ABF2 的周长为 4a=16,得出 a=4,结合离心率为 即可得到所求椭圆 C 的方程. 解答: 解:设椭圆的方程为 (a>b>0) 解出 b 值,

∵离心率为

,∴

,得

…①

又∵过 F1 的直线 L 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16, ∴根据椭圆的定义,得|AB|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16 由此得到 a=4,代入①得 b= .可得椭圆 C 的方程为

故答案为: 点评: 本题给出满足条件的椭圆,求椭圆的方程.着重考查了椭圆的定义与标准方程、简 单几何性质等知识,属于基础题. 10.将一个半径为 R 的蓝球放在地面上,被阳光斜照留下的影子是椭圆.若阳光与地面成 60°角,则椭圆的离心率为 .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先要弄懂椭圆产生的原理,根据原理来解决三角形的边角关系,利用离心率公式 求的结果.

解答: 解:如图 由于太阳光线是平行光线,得到的图形为:AB 代表椭圆长轴的长,椭圆的短轴不变化,AC 为球的直径 2R

则:利用直角三角形的边角关系求得:AB= 利用椭圆中 a =b +c 解得 c=
2 2 2

,即 a=

,b=R

则:e=

故答案为: 点评: 本题考查的知识点:椭圆产生的原理,a、b、c 的关系式,求椭圆的离心率. 11.若直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相切,则实数 ab 的最大值与最小值之差为 1 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先用原点到直线的距离等于半径,得到 a、b 的关系,再用基本不等式确定 ab 的范 围,即可求得实数 ab 的最大值与最小值之差. 解答: 解:∵直线 ax+by=1 与圆 x +y =1 相切, 2 2 ∴a +b =1, 2 2 ∵a +b ≥2|ab| ∴2|ab|≤1, ∴﹣ ≤ab≤ , ∴实数 ab 的最大值与最小值之差为 1. 故答案为:1. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,基本不等式,此式 a +b ≥2|ab|是易出错点,属于 中档题. 12.已知命题 p: ≤﹣1,命题 q:x ﹣x<a ﹣a,且? q 的一个充分不必要条件是? p, .
2 2 2 2 2 2 2 2

则实数 a 的取值范围是 (﹣∞,﹣3)∪(4,+∞) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 命题 p: 分不必要条件是? p,

≤﹣1,转化为一元二次不等式,解得﹣3≤x<1.由于? q 的一个充

可得 p 是 q 充分不必要条件,及命题 q:x ﹣x<a ﹣a,可得 a ﹣a>(x ﹣x)max,x∈[﹣3, 1) .再利用二次函数的单调性即可解出. 解答: 解:命题 p: ≤﹣1,化为 ,即(x﹣1) (x+3)≤0,且 x﹣1≠0,解

2

2

2

2

得﹣3≤x<1; ∵? q 的一个充分不必要条件是? p,

∴p 是 q 充分不必要条件. ∵命题 q:x ﹣x<a ﹣a, 2 2 ∴a ﹣a>(x ﹣x)max,x∈[﹣3,1) . 令 f(x)=x ﹣x=
2 2 2 2

≤f(﹣3)=12,

∴a ﹣a>12, 解得 a>4 或 a<﹣3. ∴实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3)∪(4,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣3)∪(4,+∞) . 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的单调性、简易逻辑的判定,考查了 恒成立问题的等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 13.已知⊙O:x +y =4 的两条弦 AB,CD 互相垂直,且交于点 M(1, 值为 2 .
2 2

) ,则 AB+CD 的最大

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由于直线 AB、CD 均过 M 点,故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程,但由于点 斜式方程不能表示斜率不存在的情况, 故要先讨论斜率不存在和斜率为 0 的情况, 然后利用 弦长公式,及基本不等式进行求解. 解答: 解:当 AB 的斜率为 0 或不存在时,可求得 AB+CD=2( ) 当 AB 的斜率存在且不为 0 时,设直线 AB 的方程为 y﹣ =k(x﹣1) , 直线 CD 的方程为 y﹣ =﹣ (x﹣1) ,

由弦长公式可得:AB =4?
2 2

2

,CD =

2



∴AB +CD =20 2 2 2 2 2 ∴(AB+CD) =AB +CD +2AB×CD≤2(AB +CD )=40 故 AB+CD≤2 ,即 AB+CD 的最大值为 2 . 故答案为:2 . 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,直线方程的应用,基本不等式的应用,点到直线的 距离公式,考查转化思想与计算能力. 14.已知直线 y=kx+3 与曲线 x +y ﹣2xcosα+2(1+sinα) (1﹣y)=0 有且只有一个公共点, 则实数 k 的值为 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 先确定 x +(y﹣1) =1,再利用直线 y=kx+3 与曲线 x +y ﹣2xcosα+2(1+sinα) (1 ﹣y)=0 有且只有一个公共点,可得 =1,即可求出实数 k 的值.
2 2 2 2 2 2

解答: 解:曲线 x +y ﹣2xcosα+2(1+sinα) (1﹣y)=0 可化为(x﹣cosα) +(y﹣1﹣ 2 sinα) =0, ∴x=cosα,y=1+sinα, ∴x +(y﹣1) =1 2 2 ∵直线 y=kx+3 与曲线 x +y ﹣2xcosα+2(1+sinα) (1﹣y)=0 有且只有一个公共点, ∴ =1,
2 2

2

2

2

∴k= . 故答案为: . 点评: 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.已知命题 p: “? x∈[0,1],a≥e ” ,命题 q: “? x∈R,x +4x+a=0” ,若命题“p∧q” 是假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 综合题;简易逻辑. 分析: 由题意,p: “? x∈[0,1],a≥e ” ,转化为 a≥(e )max 即可,求出参数的范围,q: 2 “? x∈R,x +4x+a=0” ,说明方程有根,转化为△=16﹣4a≥0,解出参数的范围,由于“p ∧q”是假命题包括的情况较多,故先求其为真命题的范围,再求解,较简单 解答: 解:命题 p: “? x∈[0,1],a≥e ” ,即 a≥(e )max 即可,即 a≥e 2 命题 q: “? x∈R,x +4x+a=0” ,即△=16﹣4a≥0 成立,即 a≤4 若命题“p∧q”是真命题,则有 e≤a≤4, 故“p∧q”是假命题时 a 的范围是<e 或 a>4 点评: 本题考查复合命题真假,函数最值特称命题等知识,综合性较强,解答时要注意将 命题“p∧q”是假命题,转化为求使得 p∧q 为真命题时参数范围的补集,这是正难则反技 巧的运用 16. (已知集合 A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|4x +12x﹣7≤0},若“x∈A”是“x∈B”的必要 条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 集合;简易逻辑. 分析: 求集合 A,B 的等价条件,根据必要条件的定义建立条件关系即可得到结论. 解答: 解:B={x|4x +12x﹣7≤0}={x|(2x+7) (2x﹣1)≤0}={x|﹣ ∵“x∈A”是“x∈B”的必要条件, ∴B? A,
2 2 x x x x x 2

},



,则



解得 a≥

, ,+∞) .

即实数 a 的取值范围是[

点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据集合关系是解决本题的关键. 17. (已知实数 x,y 满足(x﹣2) +(y﹣1) =1. (1)求 k= 的最大值;
2 2

(2)若 x+y+m≥0 恒成立,求实数 m 的范围. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)利用圆心到直线的距离 d= =1,求出 k,即可得出 k= 的最大值;

(2)x+y+m≥0,即要﹣m 小于等于 x+y 恒成立,即﹣m 小于等于 x+y 的最小值,由 x 与 y 满足的关系式为圆心为(2,1) ,半径为 1 的圆,可设 x=2+cosα,y=1+sinα,代入 x+y, 利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据正弦函数的值域可得出 x+y 的最小值,即可得到实数 c 的取值范围. 解答: 解: (1)k= 即 kx﹣y﹣1=0,

由圆心到直线的距离 d=

=1,可得 k=



∴k=

的最大值为


2 2

(2)∵实数 x,y 满足(x﹣2) +(y﹣1) =1, ∴设 x=2+cosα,y=1+sinα, 则 x+y=2+cosα+1+sinα= ∵﹣1≤sin(α+ ∴ sin(α+ )≤1, )+3 的最小值为 3﹣ , sin(α+ )+3,

根据题意得:﹣m≤3﹣ ,即 m≥ ﹣3. 点评: 本题考查斜率的意义,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档 题.

18.已知点 P(4,4) ,圆 C: (x﹣m) +y =5(m<3)与椭圆 E: 一个公共点 A(3,1) ,F1,F2 分别是椭圆的左右焦点,直线 PF1 与圆 C 相切. (1)求 m 的值; (2)求椭圆 E 的方程.

2

2



考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)把点 A 坐标代入圆 C 方程及 m<3 即可求得 m 值; (2)直线 PF1 的斜率为 k,代入点斜式可得直线 PF1 的方程,根据直线 PF1 与圆 C 相切得关 于 k 的方程,解出 k,然后按 k 值进行讨论,求出直线 PF1 与 x 轴交点横坐标可得 c 值,由 椭圆定义可得 a,进而求出 b; 解答: 解: (1)点 A(3,1)代入圆 C 方程,得(3﹣m) +1=5, ∵m<3,∴m=1, ; (2)设直线 PF1 的斜率为 k,则 PF1:y=k(x﹣4)+4,即 kx﹣y﹣4k+4=0, 因为直线 PF1 与圆 C 相切,所以 = ,解得 k= ,或 k= .
2

当 k=

时,直线 PF1 与 x 轴交点横坐标为

,不合题意,舍去.

当 k= 时,直线 PF1 与 x 轴交点横坐标为﹣4,所以 c=4,F1(﹣4,0) ,F2(4,0) , 所以 2a= + =6 ,a=3 ,a =18,b =2,
2 2

所以椭圆 E 的方程为



点评: 本题考查圆的方程、椭圆方程、直线方程及其位置关系,考查学生分析解决问题的 能力. 19.已知圆 C:x +y ﹣2x﹣4y﹣12=0 和点 A(3,0) ,直线 l 过点 A 与圆交于 P,Q 两点. (1)若以 PQ 为直径的圆的面积最大,求直线 l 的方程; (2)若以 PQ 为直径的圆过原点,求直线 l 的方程.
2 2

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)以 PQ 为直径的圆的面积最大,则直线 l 过圆心,即可求直线 l 的方程; (2)若以 PQ 为直径的圆过原点,利用圆系方程,即可求直线 l 的方程. 解答: 解: (1)圆 C:x +y ﹣2x﹣4y﹣12=0 可化为圆 C: (x﹣1) +(y﹣2) =17,圆心为 (1,2) , ∵以 PQ 为直径的圆的面积最大, ∴直线 l 过点(1,2) , ∵直线 l 过 A(3,0) , ∴直线 l 的方程为 x+y﹣3=0; (2)设直线 l 的方程为 y=k(x﹣3) ,以 PQ 为直径的圆的方程为 x +y ﹣2x﹣4y﹣12+λ(kx ﹣y﹣3k)=0 (0,0)代入圆,整理可得﹣12﹣3λk=0,① 圆心坐标为(1﹣ ,2+ ) ,代入 y=k(x﹣3) ,可得 2+ =k(1﹣ ﹣3) ,②
2 2 2 2 2 2

由①②可得λ=﹣1,k=4, ∴直线 l 的方程为 y=4(x﹣3) . 点评: 本题考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,考查圆系方程,正确运用圆系方程, 减少计算量.

20.如图,已知椭圆 E1:

=1(a>b>0)的左右顶点分别为 A,A',圆 E2:x +y =a ,

2

2

2

过椭圆的左顶点 A 作斜率为 k1 直线 l1 与椭圆 E1 和圆 E2 分别相交于 B、C. (1)证明:kBA? kBA′=﹣ ;

(2)若 k1=1 时,B 恰好为线段 AC 的中点,且 a=3,试求椭圆的方程; (3)设 D 为圆 E2 上不同于 A 的一点,直线 AD 的斜率为 k2,当 否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 时,试问直线 BD 是

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设点 B 的坐标满足椭圆方程,表示出 kBA、 ,求出乘积即可;

(2)当 k1=1 时,点 C 在 y 轴上,由中点坐标公式得出点 B 的坐标,代入椭圆的方程得到 a, b 的关系,求出椭圆的方程; (3)直线 BD 过定点(a,0) ,设 P 点(a,0) ,B,证明 kAD? kPB=﹣1,得 PD⊥AD,即三点 P, B,D 共线,得出 BD 过定点 P(a,0) . 解答: 解: (1)设点 B(x0,y0) ,则 + =1,



=(1﹣

)b =

2



∴kBA=



=



∴kBA?

=

=

=﹣



(2)当 k1=1 时,点 C 在 y 轴上,且 C(0,a) , ∴点 B(﹣ , ) ; 又∵点 B 在椭圆上,


2 2

+

=1,

化简得 a =3b , 2 又∵a=3,∴b =3; ∴椭圆的方程为 + =1;

(3)直线 BD 过定点(a,0) , 证明如下: 设 P(a,0) ,B(x0,y0) , 则 + =1(a>b>0) ;

∴kAD? kPB=

? k1? kPB

=

?

?

=

?

=

?(﹣



=﹣1, ∴PB⊥AD; 又 PD⊥AD, ∴三点 P,B,D 共线,即直线 BD 过定点 P(a,0) . 点评: 本题考查了椭圆与圆的有关性质、定理的应用问题,也考查了直线与圆、直线与椭 圆的应用问题,考查了分析问题和解决问题的能力以及推理能力运算能力,是综合题.


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