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第十六讲 概率与统计初步


第十六讲

概率与统计初步

1、 在一定条件下必然发生的事件叫做必然事件。在一定条件下必然不发生的事件叫做不可能事件。 2、 在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件。 3、 表示随机事件发生的可能性大小的数,叫做该随机事件的概率,记作 P(A)。 如果某个试验共有 N 种等可能出现的结果,每一个结果都是随机事件,那么每个结果

出现的概率为

1 , (0 ? P( A) ? 1). N
4、如果一个试验共有 N 种等可能出现的结果,而且其中任意两个结果都不可能同时出现,则称这个试验 为等可能试验。 5、 如果某个试验共有 N 种等可能出现的结果, 其中事件 A 包含的结果有 k 种, 那么事件 A 的概率 P( A) ?

k . N

6、在统计中,所要考察对象的全体叫做总体,而其中每一个考察对象称为个体,把从总体中取出的一部分个 体叫做总体的一个样本,样本中所包含的个体的个数叫做样本容量。 7、在统计中,用总体平均数 ? ?

1 ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) (其中 N 是指总体是 N 个个体,它们所取的值分别为 N

x1 , x2 ,? xN ) 来表示总体的平均状况;用总体中位数 ? (其中 ? 指总体当 N 为偶数时,位于该数列正中位置的
两个数的平均数)表示总体的一般水平。 另外,用总体方差和总体标准差来反映总本中各个体的离散程度。 设总体有 N 个个体,它们的值分别 x1 , x2 , ? xN ,各个个体与总体平均数 ? 的差的平方分别是

( x1 ? ?) 2 , ( x2 ? ?) 2 ,?, ( xN ? ?) 2 ,将它们的平均数叫做总体方差,记为 ? 2 ,即

?2 ?

1 ?( x1 ? ? ) 2 ? ( x2 ? ? )2 ? N?

? ( xN ? ? ) 2 ? ??

1 2 2 ( x1 ? x2 ? N

2 ? xN ) ? ? 2.

(P.S:这里给大家解释一下:

?2 ?
?

1 ? ( x1 ? ? ) 2 ? ( x2 ? ? ) 2 ? ? N

? ( xN ? ? ) 2 ? ?

1 2 2 [ x1 ? x2 ? N 1 2 ? ( x12 ? x2 ? N 1 2 ? ( x12 ? x2 ? N 1 2 ? ( x12 ? x2 ? N

2 ? xN ? 2x1? ? 2x2 ? ? ...2xN ? ? N ? 2 ] 2 ? xN )?2

( x1 ? x2 ? ...xN ) N ? 2 ? N N

2 ? xN ) ? 2? 2 ? ? 2 2 ? xN ) ? ? 2.

) 而将总体方差的算术平方根 ? 称为总体标准差。 总体方差反映了各个个体离开平均数 ? 的偏离程度, ? 2 越大,总体各个体之间的差别也越小; ? 2 越小, 总体各个体越接近平均数 ? 。 实施随机抽样调查的最主要方法是抽签法和随机数表示法。

例 1、填空题: (1)某小组有成员 3 人每人在一个星期中参加一天劳动,如果劳动日期可随机安排,则 3 人在不同的 3 天参 加劳动的概率为 。

(2)有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各 3 面,在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1、2 和 3,现任取出 3 面, 它们的颜色与号码均不相同的概率是 。

(3)在某次花样滑冰比赛中,发生裁判受贿事件,竞赛委员会决定将裁判由原来的 9 名增至 14 名,但只任取 其中 7 名裁判的评分作为有效分,若 14 名裁判的评分中有 2 个受贿,则有效分中没有受贿裁判的评分的概率 是 。

(4)某国际科研合作项目成员由 11 个美国人、4 个法国人和 5 个中国人组成。现从中随机选出两位作为成果 发布人,则此两人不属于同一个国家的概率为 。 大家注意:这里老师有些小口误,将

119 3 说成 ,请大家谅解! 190 13

(5)若在二项式 ( x ? 1)10 展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率



(6)两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷 1 本,共 8 本。将它们任意地排成一排,左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是 (结果用分数表示)。

例题 2、以平行六面体 ABCD-A’B’C’D’的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角 形不共面的概率是多少?

例题 3、某轻轨列车有 4 节车厢,现有 6 位乘客准备乘坐,设每一位乘客进入每节车厢是等可能的,则这 6 位乘客 进入各节车厢的人数恰好为 0,1,2,3 的概率是多少?

例题 4、设有 10 个人,每个人都等可能地被分到 16 个房间中的任意一间去住,求下列事件的概率: (1)指定的 10 个房间各有一个人住;

(2)恰好有 10 个房间,其中各住一个人

(3)某指定的房中恰好有 3 个人.

例题 5、4 个球投入 5 个盒子中.

求(1)每个盒子最多 1 个球的概率是多少? (2) 恰有一个盒子放 2 个球,其余盒子最多放 1 个球的概率是多少?

例题 6、设集合 I ? ? 1,2,3,4,5?, 随机选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的数,则这样 不同的选择方法占总数的概率是多少?

例 7:填空题 (1)设有两组数据 x1 , x2 ,?, xn 与 y1 , y2 ,? yn ,它们的平均数分别为 x和 y ,则新的一组数

3x1 ? 2 y1 ,3x2 ? 2 y2 ,?,3xn ? 2 yn 的平均数是

(2)、某球队在校际联赛的九场篮球赛中,得分较高的 1 号和 5 号球员各场得分情况如下:

1号 2号

21 21

19 20

26 17

23 32

28 19

26 30 。

27 24

25 29

27 30

假定两人上场比赛时间相同,则最佳得分手为

(3)、 点p1 ( x1 , y 2 ), p2 ( x2 , y 2 ),?, pn ( xn , y n )都在y ? 2 x ? 5, 若数据x1 , x2 ?, xn的标准差为 x , 试用 x来表示数据y1 , y 2 ,?, y n的标准差 y等于 ______ .

同学们注意,这里 x 的方差公式 ? 2 ?
2 下面 y 的方差公式应是用 ? ' ?

1 [( x1 ? ? ) 2 ? ( x2 ? ? ) 2 ? ... ? ( xn ? ? ) 2 ] N

1 [( y1 ? y ) 2 ? ( y2 ? y ) 2 ? ... ? ( yn ? y ) 2 ] ,用 ? '2 区分上面的 x 的方差 ? 2 ,PPT N

上没将其细细区分,所以大家细心些哦。

(4)若点 p1 ( x1 , y1 ), p2 ( x2 , y2 ),?, p10 ( x10 , y10 )在直线y ? 3x ? 1 上,且数据 x1 , x2 ,?, x10 的方差为 8,则数据

y1 , y 2 ,? y10 的方差为



例题 8:某校有学生 1400 名,从中随机抽出 140 名,调查他们对某学科是否兴趣,其结果如下: 感兴趣情况 有兴趣 无兴趣 男生 45 37 女生 25 33

(1) 估计该校学生中有该学科有兴趣的总人数; (2) 分别估计该校女生与男生对该学科无兴趣人数。

例题 9:检验甲乙两个工人所加工的零件,测得的零件直径的数据如下:(单位 mm) 甲:18.04,19.98,18.00,18.02,17.96,18.00 乙:18.01,18.00,17.95,18.00,18.05,19.99 (1) 求每组数据的平均数; (2) 求每组数据的方差; (3) 求每组数据的标准差; (4) 谁加工的零件的直径大小较稳定?

例题 10:某班 n 个学生在一次英语考试中,学号为第 i 号的学生得 x i 分(i=1,2,3…,n),全班平均成绩 为 x ,标准差为 S,为了更客观地反映学生的英语学习情况,并便于同其他学科比较,采用如下的记分方式:

Ti ?

xi ? x , i ? 1,2,?, n S

称 Ti 为第 i 号学生的标准分 (i=1, 2, …, n) 简称第 i 号学生 T 分数, 采用 T 分数后, 试求全班 T 分数, T1 ,T2 ,?,Tn 的平均值和方差。


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