tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> >>

2011高考数学总复习课件2.2 函数的单调性与最大(小)值


§2.2 函数的单调性与最大(小)值 基础知识
要点梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

自主学习

定 义

一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定 义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2

当x1<x2时,都有 定 义 f(x1)<f(x2) ,那 么就说函数f(x)在区 间D上是增函数

当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) ,那么就 说函数f(x)在区间D 上是减函数

图 象 描 述

自左向右看图象是 ___________ 上升的

自左向右看图象是 __________ 下降的

(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是________或________,则称 增函数 减函数 函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,

________叫做f(x)的单调区间. 区间D

2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数

M满足 ①对于任意x∈I, ①对于任意x∈I,都 f(x)≥M 都有___________; 有____________; f(x)≤M ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得 f(x0)=M _____________. f(x )=M _______________.
0

条件

结论

M为最大值

M为最小值

基础自测
1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 (B )

A.y=-x+1

B.y= x 2 2-4x+5 C.y=x D. y ? x 2 2-4x+5, y ? 解析 ∵y=-x+1,y=x 分别为一次函 x 数、 二次函数、反比例函数,从它们的图象上可
以看出在(0,2)上都是减函数.

2.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的 根 A.有且只有一个 C.至多有一个 B.有2个 D.以上均不对 (C )

解析

∵f(x)在R上是增函数,

∴对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2), 反之亦成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个. 若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根.

3.已知f(x)为R上的减函数,则满足 f (| 的实数x的取值范围是 A.(-1,1) B.(0,1)

1 |) ? f (1) x

(C)

C.(-1,0)∪(0,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

1 解析 由已知条件:| |? 1, x
不等式等价于

?| x |? 1 ?x ? 0 , ?

解得-1<x<1,且x≠0.

4.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则 (D ) A. k ? 1 B. k ? 1 2 2 C. k ? ? 1 D. k ? ? 1 2 2 解析 使y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,
1 则2k+1<0,即 k ? ? . 2

5.设x1,x2为y=f(x)的定义域内的任意两个变量,有以
下几个命题: ①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0; ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0;
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ③ ? 0; x1 ? x2 ④ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0. x1 ? x2 ①③ 其中能推出函数y=f(x)为增函数的命题为________.

解析

依据增函数的定义可知,对于①③,当自变

量增大时,相对应的函数值也增大,所以①③可推 出函数y=f(x)为增函数.

题型分类
题型一 函数单调性的判断
x

深度剖析

x?2 【例1】已知函数 f ( x) ? a ? (a ? 1). x ?1 证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
思维启迪 证明 方法一 (1)用函数单调性的定义. 任取x1,x2∈(-1,+∞), (2)用导数法. 不妨设x1<x2,则x2-x1>0, a x2 ? x1 ? 1且a x1 ? 0,

? a x2 ? a x1 ? a x1 (a x2 ?x1 ?1) ? 0,
又∵x1+1>0,x2+1>0,
x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)(x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)(x2 ? 1) ? ? ? x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) 3( x2 ? x1 ) ? ? 0, ( x2 ? 1)(x1 ? 1)

x2 ? 2 x1 ? 2 ? ? 0, 于是f(x2)-f(x1)= a ? a ? x2 ? 1 x1 ? 1 故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
x2 x1

3 (a ? 1), 方法二 x ?1 求导数得 f ' ( x) ? a x ln a ? 3 2 , ( x ? 1) 3 xln a>0, ? 0, ∵a>1,∴当x>-1时,a 2 ( x ? 1) f ( x) ? a x ? 1 ?
f′(x)>0在(-1,+∞)上恒成立, 则f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 探究提高 对于给出具体解析式的函数,判断或证明 其在某区间上的单调性问题,可以结合定义(基本步

骤为取点、作差或作商、变形、判断)求解.可导函
数则可以利用导数解之.

ax 知能迁移1 试讨论函数 f ( x ) ? 2 , x∈(-1,1)的单 x ?1 调性(其中a≠0).



方法一 根据单调性的定义求解.

设-1<x1<x2<1,

ax1 ax2 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 a ( x2 ? x1 )(x1 x2 ? 1) ? . 2 2 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,
即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.
2 x12 ?1 ? 0, x2 ?1 ? 0, | x1x2 |? 1,

( x2 ? x1 )(x1 x2 ? 1) ? ? 0. 2 2 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
因此,当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,

即f(x1)<f(x2),此时函数f(x)为增函数.
方法二 ? f ( x ) ? ax , x2 ?1 (ax)'( x 2 ? 1) ? ax( x 2 ? 1)' ? f '( x) ? ( x 2 ? 1) 2 a ( x 2 ? 1) ? ax ? 2 x ? ( x 2 ? 1) 2

ax2 ? a ? 2ax2 ? a(1 ? x 2 ) ? ? . 2 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 当a>0时,∵-1<x<1,

? a(1 ? x 2 ) ? 2 ? 0, 2 ( x ? 1) 即f′(x)<0,此时f(x)在(-1,1)上为减函数.

同理,当a<0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.

综上可知,a>0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;
a<0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.

题型二

复合函数的单调性
(D ) B.(-1,0) D.(-3,-1)

【例2】已知函数f(x)=log2(x2-2x-3),则使f(x)为减 函数的区间是 A.(3,6) C.(1,2) 思维启迪 解析

先求得函数的定义域,然后再结合二次

函数、对数函数的单调性进行考虑. 由x2-2x-3>0,得x<-1或x>3,结合二次函数的

对称轴直线x=1知,在对称轴左边函数y=x2-2x-3是
减函数,所以在区间(-∞,-1)上是减函数,由 此可得D项符合.故选D.

探究提高

(1)复合函数是指由若干个函数复合而

成的函数,它的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)

的单调性密切相关,其单调性的规律为“同增异减”,
即f(u)与g(x)有相同的单调性,则f[g(x)]必为增函 数,若具有不同的单调性,则f[g(x)]必为减函数. (2)讨论复合函数单调性的步骤是: ①求出复合函数的定义域;

②把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其
单调性; ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围; ④根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性.

知能迁移2

函数y= log1 (2 x 2 ? 3x ? 1) 的递减区间为
2

( A ) B.(?? , ]

A.(1,+∞) C. ( ,?? ) 解析

1 2

3 4 D. [ 3 ,?? ) 4

作出t=2x2-3x+1的示意

图如图所示,
1 ∵0< <1,∴ y ? log1 t 递减. 2 2

要使 y ? log1 (2 x 2 ? 3x ? 1) 递减,

t应该大于0且递增,
2

故x∈(1,+∞).

题型三

函数的单调性与最值 x2 ? 2x ? a 【例3】已知函数 f ( x ) ? , x∈[1,+∞). x 1 (1)当a= 时,求f(x)的最小值; 2 (2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实
数a的取值范围. 思维启迪 第(1)问可先证明函数f(x)在[1,+∞) 上的单调性,然后利用函数的单调性求解,对于第

(2)问可采用转化为求函数f(x)在[1,+∞)上的最小
值大于0的问题来解决.

1 1 解 (1)当a ? 时, f ( x ) ? x ? ? 2, 2 2x 设1≤x1<x2, 1 ), 则f(x2)-f(x1)= ( x2 ? x1 )(1 ? 2 x1 x2 ∵1≤x1<x2,∴x2-x1>0,2x1x2>2, 1 1 1 ?0 ? ? ,1 ? ? 0, 2 x1 x2 2 2 x1 x2 ∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).

∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,
7 ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)= ? . 2 (2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立

? ? x2+2x+a>0恒成立.

设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是 增函数. ∴当x=1时,ymin=3+a, 于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,

故a>-3.
探究提高 要注意函数思想在求函数值域中的运 用,(1)中用函数单调性求函数的最小值;(2)中用函

数的最值解决恒成立问题.在(2)中,还可以使用分
离参数法,要使x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立, 只要a>-x2-2x=-(x+1)2+1恒成立,由二次函数 的性质得-(x+1)2+1≤-3,所以只要a>-3即可.

知能迁移3

1 1 已知函数 f ( x ) ? ? (a>0,x>0), a x

(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 1 ? [ ,2] 上的值域是 [ ,2], 求a的值. ? (2)若f(x)在 2 2 (1)证明 设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0, 1 1 1 1 ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ( ? ) ? ( ? ) a x2 a x1 1 1 x 2 ? x1 ? ? ? ? 0, x1 x 2 x1 x 2

∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的.

1 1 ( 2) ? f ( x )在[ ,2]上 的 值 域 是 ,2], [ 2 2 1 又f ( x )在[ ,2]上 单 调 递 增 , 2 1 1 ? f ( ) ? , f ( 2) ? 2. 2 2 2 易 得a ? . 5

题型四

函数单调性与不等式

【例4】(12分)函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)

=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,f(x)>1.
(1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

思维启迪 问题(1)是抽象函数单调性的证明,所
以要用单调性的定义.

问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运
用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个 变量的函数值.



(1)设x1,x2∈R,且x1<x2,

则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0. ∴f(x2)>f(x1). 即f(x)是R上的增函数.

2分

5分

6分

(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3, ∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是R上的增函数,∴3m2-m-2<2, 10分 4 解得-1<m< ,故解集为 (?1, 4 ) 12分 3 3 探究提高 f(x)在定义域上(或某一单调区间上) 具有单调性,则f(x1)<f(x2)? f(x1)-f(x2)<0,若函数是 ? 增函数,则f(x1)<f(x2) ? 1<x2,函数不等式(或方程) ?x 的求解,总是想方设法去掉抽象函数的符号,化为一 8分

般不等式(或方程)求解,但无论如何都必须在定义
域内或给定的范围内进行.

知能迁移4 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x) x1 满足 f ( ) =f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0. x2 (1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性; (3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)<-2. 解 (1)令x1=x2>0,

代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.

x1 ? 1, (2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则 x2 由于当x>1时,f(x)<0, x1 所以 f ( ) ? 0, 即f(x1)-f(x2)<0, x2
因此f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.

x1 (3)由 f ( ) =f(x1)-f(x2)得 x2 9 =f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2. f( ) 3
由于函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, 由f(|x|)<f(9),得|x|>9,∴x>9或x<-9. 因此不等式的解集为{x|x>9或x<-9}.

思想方法

感悟提高

方法与技巧
1.根据函数的单调性的定义,证明(判定)函数f(x) 在其区间上的单调性,其步骤是 (1)设x1、x2是该区间上的任意两个值,且x1<x2;

(2)作差f(x1)-f(x2),然后变形;
(3)判定f(x1)-f(x2)的符号;

(4)根据定义作出结论.

2.求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域,函数的增减区间都是其 定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本
初等函数的单调区间.常用方法有:根据定义,利用

图象和单调函数的性质,还可以利用导数的性质.
3.复合函数的单调性 对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是 单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),
g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同

(同时为增或减),则y=f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与
y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数. 简称为:同增异减.

失误与防范
1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上 单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两 个区间上的单调性相同,也不能用并集表示. 2.两函数f(x)、g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函数,则
1 f(x)+g(x)也为增(减)函数,但f(x)·g(x), 等的 f ( x)

单调性与其正负有关,切不可盲目类比.

定时检测
一、选择题

b 1.若函数y=ax与 y ? ? 在(0,+∞)上都是减函数, x 2+bx在(0,+∞)上是 则y=ax ( B)
A.增函数 C.先增后减 B.减函数 D.先减后增

b 解析 ∵y=ax与 y ? ? 在(0,+∞)上都是减函数, x b ∴a<0,b<0,∴y=ax2+bx的对称轴方程 x ? ? ? 0, 2a ∴y=ax2+bx在(0,+∞)上为减函数.

?? x ? 3a, 2.函数 f ( x) ? ? x ?a ,

x ? 0, (a>0且a≠1)是R上 x?0
( B )

的减函数,则a的取值范围是

1 A.(0,1) B.[ ,1) 3 1 2 C. ( 0, ] D.(0, ] 3 3 解析 据单调性定义,f(x)为减函数应满足:
?0 ? a ? 1, 1 ? 即 ? a ? 1. ? 0 3 ?3a ? a , ?

3.下列四个函数中,在(0,1)上为增函数的是 ( A )

A.y=sin x B.y=-log2x 1 1 x ? C. y ? ( ) D. y ? x 2 2 π π [? , ] 上是增函数, 解析 ∵y=sin x在 2 2 ∴y=sin x在(0,1)上是增函数.

4.(2009·天津理,8)已知函数 ? x 2 ? 4 x, x ? 0, ? 若f(2-a2)>f(a),则实数a f ( x) ? ? ?4 x ? x 2 , x ? 0, ? 的取值范围是 (C )

A.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(-2,1) 解析

B.(-1,2)

D.(-∞,-2)∪(1,+∞) ?( x ? 2) 2 ? 4, x ? 0, f ( x) ? ? 由f(x)的图象 2 ? ? ( x ? 2) ? 4, x ? 0,

可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数,由f(2-a2)>

f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.

5.若函数f(x)=x3 (x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域

上是
A.单调递减的偶函数 C.单调递增的偶函数 解析

( B )
B.单调递减的奇函数 D.单调递增的奇函数

f(x)=x3 (x∈R),则函数y=f(-x)=-x3 (x∈R)

显然在其定义域内是单调递减的奇函数.

6.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 ( D ) 3 3 A. (?? , ] B. [ ,?? ) 2 2 C. (?1, 3 ] D. [ 3 ,4) 2 2 解析 函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4
3 25 3 的减区间为 [ ,4), ? ?( x ? ) 2 ? 2 4 2 3 ∵e>1,∴函数f(x)的单调减区间为[ ,4). 2

二、填空题
7.若函数f(x)=(m-1)x2+mx+3 (x∈R)是偶函数,则 f(x)的单调减区间是________. [0,+∞) 解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),

∴(m-1)x2-mx+3=(m-1)x2+mx+3, ∴m=0.这时f(x)=-x2+3, ∴单调减区间为[0,+∞).

8.若函数 f ( x ) ?

4x 在区间(m,2m+1)上是单调递 2 x ?1 增函数,则m∈________. (-1,0]

4(1 ? x 2 ) 解析 ∵ f ' ( x) ? , 2 2 ( x ? 1) 令f′(x)>0,得-1<x<1,
∴f(x)的增区间为(-1,1). 又∵f(x)在(m,2m+1)上单调递增,

?m ? ?1, ?? ? ?1 ? m ? 0. ?2m ? 1 ? 1,
∵区间(m,2m+1)中2m+1>m,∴m>-1. 综上,-1<m≤0.

9.已知定义域为D 的函数f(x),对任意x∈D,存在正 数K,都有|f(x)|≤K成立,则称函数f(x)是D上的 “有界函数”.已知下列函数:①f(x)=2sin x;

②f(x)= 1 ? x ;
2

③f(x)=1-2x;④

是“有界函数”的是______.(写出所有满足要求 的函数的序号)

x f ( x) ? 2 , 其中 x ?1

解析

①中|f(x)|=|2sin x|≤2,②中|f(x)|≤1;

| x| 1 1 ? ? ( x ? 0), 2 1 x ?1 | x | ? 2 | x| 1 当x=0时,f(x)=0,总之,|f(x)|≤ ; 2 ③f(x)<1,∴|f(x)|→+∞,故填①②④.

④ | f ( x) |?

答案 ①②④

三、解答题

1 10.判断f(x)= 在(-∞,0)∪(0,+∞)上的单调性. x
解 ∵-1<1,f(-1)=-1<f(1)=1, ∴f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数. ∵-2<-1,f(-2)= ?

∴f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上不是增函数. ∴f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性.

1 >f(-1)=-1, 2

x ( x ? a). x?a (1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
11.已知 f ( x) ? (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取 值范围. (1)证明 任设x1<x2<-2, x1 x2 2( x1 ? x2 ) 则f(x1)-f(x2)= ? ? . x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2),

∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.

(2)解

任设1<x1<x2,则 x1 x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? a x2 ? a

a( x2 ? x1 ) ? . ( x1 ? a)(x2 ? a) ∵a>0,x2-x1>0,
∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,
∴a≤1. 综上所述知0<a≤1.

x 12.f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且 f ( ) = y
f(x)-f(y). (1)求f(1)的值;

1 (2)若f(6)=1,解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2. x
解 (1)令x=y,得f(1)=0.

(2)由x+3>0及 1 ? 0, 得x>0, x 由f(6)=1及 f ( x ? 3) ? f ( 1 ) ? 2.

x

得f[x(x+3)]<2f(6),即f[x(x+3)]-f(6)<f(6), 亦即 f [ x( x ? 3) ] ? f (6). 6 x ( x ? 3) 因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以 ? 6, 6 解得 ? 3 ? 3 17 ? x ? ? 3 ? 3 17 . 2 2 综上所述,不等式的解集是 {x | 0 ? x ? ? 3 ? 3 17 }. 2

返回



推荐相关:

...2014届高三数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值教...

【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.2函数的单调性与最值教案 理 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。§2.2 2014 高考会这样考 函数的单调性与最值 1....


2015届高考数学大一轮复习 函数的值域与最值精品试题 ...

2015届高三数学一轮复习... 3页 1下载券2...D(x)不是周期函数 D. D(x)不是单调函数 [解析...既有最大值又有最小值的偶函数 是 [解析] 2....

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com