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高考数学一轮复习[学案 作业]:第2课 复数及常用逻辑用语(教师版)


第 2 课 复数及常用逻辑用语 一、复数 1.定义: 形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数,a 叫复数的 b 叫复数的 , , 其中 i 2 ? ?1 2.复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) ①当且仅当 b ? 0 时,复数 a ? bi(a、b ? R) 是实数 a ②当 b ? 0 时,复数 z ? a ? bi 叫做虚数;其中,当 a ? 0 且 b ? 0 时, z ? bi 叫做 ③当且仅当 a ? b ? 0 时, z 就是实数 0 ,即 z ? 0 . 3.复数相等:如果 a,b,c,d ? R ,那么 a ? bi ? c ? di ? 数 a ? c 且b ? d 4.共轭复数: z ? a ? bi(a, b ? R) 与 z ? a ? bi(a, b ? R) 互为共轭复数 5.复数 z ? a ? bi(a, b ? R) 的模 | z |? 6.复数的四则运算: ① (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i a 2 ? b2 ② (a ? bi)(c ? di) ? (ac - bd ) ? (bc ? ad )i ③ a + bi c + di = ac + bd c +d 2 2 + bc - ad c2 + d 2 i ) 【例 1】 (1)若复数 (a ? 2)(a ? 1 ? i) 是纯虚数( i 是虚数单位, a 是实数) ,则 a ? ( A. ?2 【答案】C (2)已知复数 z 满足 ?12 ? 5i ? z ? 169 ,则 | z |? ( A. 169 【答案】C 【解析】法 1.由题意得 z ? B. ) C. 13 D. 13 B. 1 或 2 C. 1 D. 2 119 169 ?12 ? 5i ? 169 ?12 ? 5i ? 169 ? ? ? 12 ? 5i , 12 ? 5i ?12 ? 5i ??12 ? 5i ? 169 | z |? 12 2 ? (?5) 2 ? 13 故选 C. 法 2.设 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ,则 ?12 ? 5i ?? a ? bi ? ? 169 , ?12a ? 5b ? 169 , ??12a ? 5b? ? ?12b ? 5a ? i ? 169 ,由复数相等得 ? ? 12b ? 5a ? 0 解得 ? ?a ? 12 ,因此 z ? 12 ? 5i , | z |? 12 2 ? ( ?5) 2 ? 13 故选 C ? b ? ?5 【变式】 (1)已知复数 z 满足 ?12 ? 5i ? z ? 169 ,则在复平面内所对应的点在( ) A.第一象限 【答案】D 【解析】 由题意得 z ? B.第二象限 C.第三象限 D.第四象 169 ?12 ? 5i ? 169 ?12 ? 5i ? 169 ? ? ? 12 ? 5i ,它对应的点为 12 ? 5i ?12 ? 5i ??12 ? 5i ? 169 (12 , ? 5) 在第四象限 【变式】 (2)已知复数 z 满足 ?12 ? 5i ? z ? 169 ,则复数 z 的共轭复数是( (A) 12 ? 5i 【答案】B 【解析】z ? (B) 12 ? 5i (C) ?12 ? 5i ) (D ) ?12 ? 5i 169 ?12 ? 5i ? 169 ?12 ? 5i ? 169 它的共轭复数是12 ?

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