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2013年高考数学(课标版)原创预测题(理科):专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数


专题一:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 (新课标理)
一、选择题 1.已知集合 M ? { y | y ? x ? 1, x ? R} , N ? {x | y ?
2

2 ? x 2 } ,则 M ? N ? (
.



. [?1,??)
2

>. [?1, 2 ]

[ 2 ,??)

. ? )

2.命题“存在 x ? R , 使x ? ax ? 4a ? 0 为假命题”是命题“ ? 16 ? a ? 0 ”的( .充要条件 .充分不必要条件 3.设 .必要不充分条件 .既不充分也不必要条件 ) .b ? a ? c )

2 a ? log5 4,b ? log5 3) c ? log45 ,则( ( ,

.a ? c ? b
x

. b?c?a

. a?b?c

4.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为( . y ? ?3x ? 1 . y ? 2x ? 2 5.已知函数 . y ? 3x ? 1 . y ? ?2 x ? 2

f ( x) ? ax ? log x ( a ? 0 且 a ? 1) 在 [1, 2] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 a


loga 2 ? 6 ,则 a 的值为(
1 . 2
6.求曲线 y ? x 与
2
1

1 .4

. 2

.4 ( )

y ? x 所围成图形的面积,其中正确的是
. .

. .

S ? ? ( x 2 ? x)dx
0

S ? ? ( x ? x 2 )dx
0

1

S ? ? ( y 2 ? y)dy
0

1

S ? ? ( y ? y )dy
0

1

7.设函数

f ( x) ? log3

x?2 ?a x 在区间 (1, 2) 内有零点,则实数 a 的取值范围是(
. (log3 2,1) . (1, log3 4)



. (?1, ? log3 2)

. (0, log3 2)

3 ? ,3 y ? f (x) 在定义域( 2 )内可导,其图象如图所示,记 y ? f (x) 的导函数为 8.函数

y ? f ' ( x) ,
则不等式 f ' ( x) ? 0 的解集为( )

1 [? , 1] ? [2 , 3) 3 .
3 1 [ ? , ] ? [1 , 2] . 2 2

1 4 8 [ ?1 , ] ? [ , ] 2 3 3 .
3 1 4 8 (? , ? 1] ? [ , ] ? [ , 3) 2 3 3 . 2

9.已知函数 .

f ( x) ?| lg x | ,若 a ? b ,且 f (a) ?


f (b) ,则 a ? 4b 的取值范围是(




(2, ??)

(2 2, ??)
A(0,

(4, ??)



(5, ??)

10.如图,正方形 ABCD 的顶点

2 2 ) B( , 0) 2 , 2 ,顶点 C、D 位于第一象限,直线

l : x ? t (0 ? t ? 2) 将正方形 ABCD 分成两部分,记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为
f (t ) ,则函数 s ? f ? t ? 的图象大致是(


二、填空题
x 11.若函数 f ( x) ? e ? 2 x ? a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是________.

1 1 ? ? 2 ab 12.已知 a ? 0, b ? 0 ,则 a b 的最小值是_____________.

13. 设变量 x ,

y 满足约束条件

?y ? 0 ? ?x ? y ?1 ? 0 ?x ? y ? 3 ? 0 ?

,则 z ? 3x ? y 的最大值为_____________.

14. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是减函数, 且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,

t f (s 2 ? 2s) ≤ ? f (2t ? t 2 ) , t 若 s , 满足不等式 则当 1 ≤ s ≤ 4 时,s 的取值范围是___________. 三、解答题

f ( x) ?
15.设函数

1 2 x x e 2 .

(I)求函数 f (x ) 的单调区间; (II)若当 x ? ?? 2,2?时,不等式 f ( x ) ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

a f ( x ) ? ln x ? . x 16.已知函数
(I)求函数 f (x) 的单调增区间;

f ( x)在[1, e]上的最小值为
(II)若函数

3 , 求实数 a 2 的值.

f ( x) ?
17.已知函数

ln x ? 1 ? a x ,a?R.

(Ⅰ)求 f (x) 的极值; (Ⅱ)若 ln x ? kx ? 0 在 (0,??) 上恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)已知 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? e ,求证: x1 ? x2 ? x1 x2 .

f ( x) ? ln x ?
18.已知函数

a( x ? 1) . x ?1

(Ⅰ)若函数 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围;

m, n为正实数, 且m ? n, 求证 :
(Ⅱ)设

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2

f ( x) ?
19.已知函数

ln( ax ) ? ln( ax ) ? ln( x ? 1) x ?1 , (a ? 0, a ? R) .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 a >0 时,若存在 x 使得 f ( x) ? ln(2a) 成立,求 a 的取值范围.

f ( x) ? ln( x 2 ? 1), g ( x) ?
20.已知函数

1 ? a. x ?1
2

(Ⅰ)求 g ( x) 在 P( 2, g ( 2)) 处的切线方程 l ; (Ⅱ)若 f ( x ) 的一个极值点到直线 l 的距离为 1,求 a 的值; (Ⅲ)求方程 f ( x) ? g ( x) 的根的个数.

答案解析(专题一)
1.选 .由题意得 M ? { y | y ? ?1} , N ? {x | ? 2 ? x ?
2

2} ,所以 M ? N ? [?1, 2 ] .

2.选

2 .依题意,“存在 x ? R , 使x ? ax ? 4a ? 0 为假命题”得 ? ? a ? 16a ? 0 ,解得

2 ? 16 ? a ? 0 ,所以命题“存在 x ? R , 使x ? ax ? 4a ? 0 为假命题”是命题“ ? 16 ? a ? 0 ”

的充要条件. 3.选 ,由对数函数

y ? log5 x 的图象,可得 0 ? log5 3 ? log5 4 ? 1,

2 ? b ? (log5 3) ? log5 4 ?

a ,又因为 c ? log4 5 ? 1,?b ? a ? c .

x x 0 4.选 . y' ? e ? xe ? 2 ,切线斜率 k ? e ? 0 ? 2 ? 3 ,所以切线方程为 y ? 1 ? 3x ,即

y ? 3x ? 1 .
5.选 .依题意, 函数

f ( x) ? a x ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1) 在 [1, 2] 上具有相同的单调性, 因此

a ? a2 ? loga 2 ? loga 2 ? 6 ,解得 a ? 2 ( a

? -3 舍去).

6.选 .两函数图象的交点坐标是 (0, 0), (1,1) ,故积分上限是 1 ,下限是 0 ,由于在

?0,1? 上,

x ? x ,故曲线 y ? x 与 y ? x 所围成图形的面积
2

2

S ? ? ( x ? x 2 )dx
0

1



7. 选

? 2? f ( x) ? log 3 ?1 ? ? ? a x? ? . 在 (1, 2) 上 是 减 函 数 , 由 题 设 有 f (1) ? 0, f (2) ? 0 , 解 得

a∈(log3 2,1) . 8. 选 . 依 题 意 , 当 f ' ( x) ? 0 时 , 函 数 y ? f (x) 是 减 函 数 , 由 图 象 知 ,

1 [? , 1] ? [2 , 3) x∈ 3 .
9.选 .由题意知 ab ? 1(0 ? a ? b) ,所以 a ? 4b

?a?

4 4 f (a) ? a ? (0 ? a ? 1) a ,令 a ,则

f (a ) 在 (0,1) 上为减函数,所以 f (a) ? f (1) ? 5 .

?2 2 ) ?t , (0 ? t ? ? 2 S ? f (t ) ? ? ??(t ? 2) 2 ? 1, ( 2 ? t ? 2) ? ? 2 10.选 .依题意得
11.【解析】考查 y ? e 和 y ? 2 x ? a 的交点情况,由于直线 y ? 2 x ? a 的方向确定,画出图
x

象易知,当直线 y ? 2 x ? a 和 y ? e 相切时,仅有一个公共点,这时切点是 (ln 2, 2) ,切线方
x

程是 y ? 2 x ? 2 ? 2ln 2 ,将直线 y ? 2 x ? 2 ? 2ln 2 向上平移,这时两曲线必有两个不同的交 点. 【答案】 (2 ? 2ln 2, ??)

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ab ? 2 ? 2 ab ? 2( ? ab ) ? 4 ? ab ab 12.【解析】因为 a b ,当且仅当 a b ,
1 ? ab 且 ab ,即 a ? b 时,取“=”.

【答案】 4

13.【解析】 约束条件确定的区域如图阴影所示, 目标函数

z ? 3x ? y 在点(3,0)处取得最大值

zmax ? 3x ? y ? 3 ? 3 ? 0 ? 9 .
【答案】9 14.【解析】由 f ( x ? 1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,知 f ( x) 的图象关于 (0, 0) 成中心对称,

2 2 2 2 故 f ( x) 为 奇 函 数 , 得 f (s ? 2s) ≤ f (t ? 2t ) , 从 而 t ? 2t ≤ s ? 2s , 化 简 得

(t ? s) (t?

2 t ? 1 ≤ ≤1 s? ≤ ) ,又 1 ≤ s ≤ 4 ,故 2 ? s ≤ t ≤ s ,从而 s 2 0 s ,等号可以取到,而
t ? 1 ? 1? ? ?? , ? ,故 s ? 2 ? 1? ? ? 1? ?.

2 ? 1 ? 1? ?? , s ? 2

? 1 ?? , 【答案】 ? 2

f ?( x) ? xe x ?
15.【解析】 (1)

1 2 x 1 x x e ? e x( x ? 2) 2 2 ,

f ?( x) ? xe x ?


1 2 x 1 x x e ? e x( x ? 2) ? 0 2 2 ,得 x ? 0 或 x ? ?2 , 1 2 x 1 x x e ? e x( x ? 2) ? 0, 2 2 得? 2 ? x ? 0,

? f (x ) 的单调增区间为 ( ??,?2) 和 (0,??) .

f ?( x) ? xe x ?


? f (x ) 的单调减区间为 (?2,0) .
(2)? x ? ?? 2,2?,

? 令 f ( x ) ? 0 ,得 x

? ?2或x ? 0 ,

又由(1)知, x ? ?2, x ? 0 分别是 f (x ) 的极大值点和极小值点,

? f ( ?2) ?

2 , f ( 2) ? 2e 2 , f (0) ? 0 e2 ,

当 x ? ?? 2,2?时

f ( x) ? ?0,2e2 ? ,? m ? 2e2 ? ?

.

f ( x)的定义域为 (0,?? ), 且f ?( x) ?
16.【解析】 (I)由题意,

1 a x?a ? 2 ? 2 . x x x

? ( ①当 a ? 0时, f ( x) ? 0,? f ( x)的单调增区间为0,??) . ? ( ②当 a ? 0时, 令f ( x) ? 0, 得x ? ?a,? f ( x)的单调增区间为?a,??).
f ?( x) ?
(II)由(I)可知,

x?a x2 .

? , ①若 a ? ?1, 则x ? a ? 0,即f ( x) ? 0在[1, e]上恒成立 f ( x)在[1, e] 上为增函数,
? [ f ( x)] min ? f (1) ? ?a ? 3 3 ,? a ? ? 2 2 (舍去).

? , ②若 a ? ?e, 则x ? a ? 0,即f ( x) ? 0在[1, e]上恒成立 f ( x)在[1, e] 上为减函数,
? [ f ( x)] min ? f (e) ? 1 ? a 3 e ? ,? a ? ? e 2 2 (舍去).

? 1 ③若 ? e ? a ? ?1,当 ? x ? ?a时, f ( x) ? 0,? f ( x)在(1,?a) 上为减函数,

当 ? a ? x ? e时, f ?( x) ? 0,? f ( x)在(?a, e)上为增函数, 3 ?[ f ( x)]min ? f (?a ) ? ln(? a ) ? 1 ? ,? a ? ? e . 2
综上所述, a ? ? e .

f ?( x ) ?
17.【解析】 (I)

a ? ln x x 2 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e a .

x ? (0, ea )时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 为增函数; 当 x ? (ea , ??)时, f ' ( x) ? 0, f ( x) 为减函数, 当
a ?a 可知 f (x) 有极大值为 f (e ) ? e .

ln x ?k (Ⅱ)欲使 ln x ? kx ? 0 在 (0,??) 上恒成立,只需 x 在 (0,??) 上恒成立,

g ( x) ?


ln x ( x ? 0) x ,

1 1 k? g (x) 在 x ? e 处取最大值 e ,所以 e. 由(Ⅰ)知,
(Ⅲ) e ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,由上可知

f ( x) ?

ln x x 在 (0, e) 上单调递增,

ln( x1 ? x2 ) ln x1 x1 ln(x1 ? x2 ) ? ? ln x1 x1 ? x2 x1 ,即 x1 ? x2 所以 ,

x2 ln(x1 ? x2 ) ? ln x2 x1 ? x2 同理 ,两式相加得 ln(x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? ln(x1 x2 ) ,
所以 x1 ? x2 ? x1 x2 .

f ?( x) ?
18. 【解析】 (I)

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ? x ( x ? 1)2

?

( x ? 1)2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? . x( x ? 1)2 x( x ? 1)2

因为 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,

? 所以 f ( x) ? 0在(0, ??) 上恒成立.
即x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0在(0, ??)上恒成立. 当x ? (0, ??)时,由x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0, 1 得2 a ? 2 ? x ? . x 1 设g ( x) ? x ? , x ? (0, ??). x 1 1 g ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2. x x 1 所以当且仅当x ? , 即x ? 1时, g ( x)有最小值2. x
所以2a ? 2 ? 2. 所以a ? 2.
所以 a 的取值范围是 (??, 2].

m?n m?n ? 2 , (II)要证 ln m ? ln n

m m ?1 ?1 n ? n m 2 ln n 只需证 ,

m m ? 1) 2( ? 1) m m ln ? n . ln ? n ? 0. m m n n ?1 ?1 n n 即证 只需证 2(
设h( x) ? ln x ? 2( x ? 1) . x ?1

m ?1 由(I)知 h( x)在(1, ??) 上是单调增函数,又 n ,

m 所以h( ) ? h(1) ? 0. n m 2( ? 1) m 即 ln ? n ? 0成立. m n ?1 n
m?n m?n ? . 2 所以 ln m ? ln n
19.(Ⅰ)当 a ? 0 时函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??) ; 当 a ? 0 时函数 f ( x ) 的定义域为 (?1,0) .

x ?1 ? ln(ax) 1 1 ?( x) ? x f ? ? 2 x x ?1 ( x ? 1) (Ⅱ)

( x ? 1) ? x ln(ax) ? ( x ? 1) 2 ? x( x ? 1) ? ln(ax) ? ? x( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ,
? 令 f ( x) ? 0 时,得 ln ax ? 0 即

x?

1 a,

1 1 x ? (0, ) x ? ( , ??) ? a 时 f ?( x) ? 0 ,当 a ①当 a ? 0 时, 时, f ( x) ? 0 ,
1 1 (0, ) ( , ??) a ,递减区间为 a 故当 a ? 0 时,函数的递增区间为 .
? ②当 ?1 ? a ? 0 时, 0 ? ax ? 1 ,所以 f ( x) ? 0 ,
故当 ?1 ? a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? (?1, 0) 上单调递增.

1 1 x ? ( ?1, ) x ? ( , 0) ? a , f ?( x) ? 0 ;若 a ③当 a ? ?1 时,若 , f ( x) ? 0 , 1 1 ( ?1, ) ( , 0) a . 故当 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调递增区间为 a ;单调递减区间为

1 1 (0, ) ( , ??) a ;单调递减区间为 a (Ⅲ)因为当 a ? 0 时,函数的单调递增区间为
若存在 x 使得 f ( x) ? ln(2a) 成立,只需

1 f ( ) ? ln(2a ) a ,

?a ? 0 ? ? 1 a ?1 a ?1 ln ( ) ln 2a ? ? 2a ?? 2 ? a ? 1 a a 即 ,所以 ,所以 ? ,所以 0 ? a ? 1 .

? g ' ( x) ?
20.【解析】 (Ⅰ)

?2 x ( x 2 ? 1)2 ,

? g ' ( 2) ? ?2 2 且 g ( 2) ? 1 ? a .
故 g ( x) 在点 P( 2, g ( 2)) 处的切线方程为: 2 2x ? y ? 5 ? a ? 0 .

f ' ( x) ?
(Ⅱ)由

2x ?0 x ?1 得x ? 0,
2

故 f ( x ) 仅有一个极小值点 M (0,0) ,根据题意得:

d?

5? a ?1 3 ,? a ? ?2 或 a ? ?8 .
h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln( x 2 ? 1) ? 1 ?a x ?1
2

(Ⅲ)令

h ' ( x) ?

? 1 2x 2x 1 ? ? 2 ? 2x ? 2 ? 2 2 2? x ? 1 ( x ? 1) ? x ? 1 ( x ? 1) ?
2



x??0,1) ? (1, ??)

时, h ( x) ? 0 ,
' '

当 x ? (??, ?1) ? (?1,0) 时, h ( x) ? 0 , 因此,在区间 (??, ?1), (?1, 0) 上, h( x) 单调递减, 在区间 (0,1), (1, ??) 上, h( x) 单调递增. 又 h( x) 为偶函数,当 x ? (?1,1) 时, h( x) 的极小值为 h(0) ? 1 ? a . 当 x ? ?1 时, h( x) ? ?? , 当 x ? 1 时, h( x) ? ?? .
? ?

当 x ??? 时, h( x) ? ?? , 当 x ??? 时, h( x) ? ?? .

故 f ( x) ? g ( x) 的根的情况为: 当 1 ? a ? 0 时,即 a ? 1 时,原方程有 2 个根; 当 1 ? a ? 0 时,即 a ? 1 时,原方程有 3 个根; 当 1 ? a ? 0 时,即 a ? 1 时,原方程有 4 个根.
? . (1, ? )

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