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广东省湛江市第一中学2015-2016学年高二数学上学期第二次月考试题 文


湛江一中 2015—2016 学年度第一学期第二次考试 高二级 文科数学试卷
满分:150 分

考试时间:120 分钟 一、选择题(共 12 题,每道题 5 分,共 60 分)

1.设集合 M ? x (x ? 3)( x ? 2) ? 0 , N ? x 1 ? x ? 3 , 则M ? N ? ( A. ?1, 2 ? B

. ?1, 2 ? C. ?2,3? D. ?2,3? )

?

?

?

?

)

2. 在?ABC中,若A ? 60? , B ? 45? , BC ? 3 2 , 则AC ? ( A. 4 3 3. 数列 1 ,, A. B. 2 3 C. 3 D. ) D.

3 2

2 3 4 5 ?的一个通项公式 a n =( ,, , 3 5 7 9
B.

n 2n ? 1

n 2n ? 1

C.

n 2n ? 3

n 2n ? 3

4.设 x ? R ,则命题 q : x ? ?1 是命题 p : x ? 0 的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件

).

D. 既不充分又不必要条件 )

5.命题“存在 x ? Z, 使 x 2 ? 2x ? m ? 0 ”的否定是( A.存在 x ? Z, 使 x 2 ? 2x ? m ? 0 B.不存在 x ? Z, 使 x 2 ? 2x ? m ? 0 C.对于任意 x ? Z, 都有 x 2 ? 2x ? m ? 0 D.对于任意 x ? Z, 都有 x 2 ? 2x ? m ? 0

6.已知等差数列 ?a n ? 的公差为 d(d ? 0) ,且 a 3 ? a 6 ? a 10 ? a 13 ? 32 ,若 a m ? 8 , 则 m ?( A.8 ) B.4 C.6 D.12

7.在 ?ABC中,A ? 60 ? , AB ? 2,且?ABC 的面积S ?ABC ?

3 ,则边 BC 的边长为( 2

)

1

A. 3

B.3

C. 7

D.7 )

8. 已知公比为 2 的等比数列 ?a n ? 中, a 2 ? a 4 ? a 6 ? 3 ,则 a 5 ? a 7 ? a 9 ? ( A.12 B.18 C.24 D.6

9. 已知命题 p: ?x ? R, cos x ? ; 命题q : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 , 则下列结论正确的是( (A)命题 p∧q 是真命题 (C)命题 ?p ? q 是真命题 ) (B)命题 p ? ? q 是真命题 (D)命题 ?p ? ?q 是假命题 )

5 4

10.不等式 3x 2 ? 7x ? 2 ? 0 的解集为(

? 1 ? A. ?x ? x ? 2? ? 3 ? ? 1 1? C. ?x ? ? x ? ? ? 2 3? ?

? ? 1 B. ?x x ? 或x ? 2? 3 ? ?
D. x x ? 2

?

?
)
-10

11.已知数列 ?a n ? 满足 3a n ?1 ? a n ? 0, a1 ? 4 ,则 ?a n ? 的前 10 项和等于(

6 1 - 3-10 ) A. - (

1- 3 ) B. (

1 9

-10

3 1- 3 C. (

-10



3 1? 3 D. (



12.设 F1,F2 分别为双曲线

x 2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,双曲线上存在一点 P a 2 b2

使得 PF 1 ? PF 2 ? 3b, PF 1 ? PF 2 ? A. 4 3 5 B. 3

9 ab ,则该双曲线的离心率为( 4
9 C. 4 D.3

)

二、填空题(共 4 题,每道题 5 分,共 20 分) 13. 已知 x, y 都是正数,如果 xy ? 15 ,则 x ? y 的最小值是________; 14. 在 ?ABC 中,若 c 2 ? a 2 ? b 2 ,则 ?ABC 必是______(填锐角,钝角,直角)三角形.

?y ? x, ? 15.设变量 x, y 满足约束条件: ?x ? 2 y ? 2, 则 z ? x ? 3y 的最小值为____________. ?x ? ?2, ?
2

16.给定下列命题: ①“若 k ? 0, 则方程 x 2 ? 2x ? k ? 0 有实数根”的逆否命题; ②“若 A ? B, 则sinA ? sin B ”的逆命题; ③“若

1 1 2 ? ? 0, 则 ab ? b ”的逆否命题; a b

④“若 xy ? 0 ,则 x, y 中至少有一个为零”的否命题. ⑤“若

b a ? , 则 a ? b ? 0 ”的逆命题。 a b

其中真命题的序号是________. 三、解答题(共 6 题,共 70 分) 17.( 本小题满分 10 分 )在锐角 ?ABC 中, a、b、c 、分别为角 A、B、C 所对的边,且
a 2c ? sin A 3

(Ⅰ) 确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c ? 7 ,且 ?ABC 的面积为
3 3 2 2 求 a ? b 的值. , 2

18.(本小题满分 12 分)

x2 ? y 2 ? 1 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 4 2) 的椭圆的标准方程; (2)求焦点在 y 轴上,焦距是 4,且经过点 M (3,
(1)求椭圆

19. (本小题满分 12 分) 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 张,每批都购入 x 张(x 是正 整数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总 价值(不含运费)成正比,若每批购入 4 张,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只 有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f ( x ) . (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.
3

20.(本小题满分 12 分) 设 p:实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ,q:实数 x 满足 ? (1)若 a ? 1 ,且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.
2 ? ?x ? x ? 6 ? 0, 2 ? ?x ? 2x ? 8 ? 0.

21、(本题满分 12 分) 数列 {an } 的前 n 项的和为 S n ,对于任意的自然数 a n ? 0 , 4Sn ? (a n ? 1) 2 . (Ⅰ)求证:数列 {an } 是等差数列,并求通项公式; (Ⅱ)设 b n ?

an 3n

,求和 Tn ? b1 ? b 2 ? ? ? b n .

22. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C :

x2 y 2 3 ,直线 y ? x 被 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 2 2 a b

椭圆 C 截得的线段长为

4 10 . 5

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点( A, B 不是椭圆 C 的顶点),点 D 在椭圆 C 上,且 AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点. (i) 设直线 BD , AM 的斜率分别为 k 1 , k 2 .证明存在常数 ? 使得 k 1 ? ?k 2 , 并求出 ? 的 值; (ii)求 ?OMN 面积的最大值.

湛江一中 2015—2016 学年度第一学期第二次考试
4

高二级

文科数学答案

二、选择题(共 12 题,每道题 5 分,共 60 分) 1 A 2 B 3 B 4 B 5 D 6 A 7 A 8 C 9 C 10 A 11 C 12 B

二、填空题(共 4 题,每道题 5 分,共 20 分) 13、 2 15 14、钝角 15.-8 16.①③④

四、解答题(共 6 题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)∵

a 2c ? 由正弦定理得 a ? sin A 3 sin A

c 3 2

?

c sin C

???????2 分

∴ sin C ? 3 2 (Ⅱ) c ? 7 , C ?
? ab ? 6

? ?ABC是锐角三角形, ?C ?

? 3

?????????4 分 ??????6 分

1 ? 3 3 ? 由面积公式得 absin ? 2 3 2 3

????????????7 分

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? 2ab cos

? ?7 3

????????????9 分 ??????????????10 分

? a 2 ? b 2 ? 13

18.(本小题满分 12 分)解:(1)已知方程为 + =1, 4 1 所以,a=2,b=1,c= 4-1= 3, ?????????? 1 分 ??????3 分

x 2 y2

因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为 2a=4,2b=2, 离心率 e= =

c a

3 ,两个焦点分别为 F1(- 3,0),F2( 3,0), ????5 分 2

椭圆的四个顶点是 A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-1),B2(0,1). ???6 分 (2)由焦距是 4 可得 c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).??????7 分 由椭圆的定义知 2a= 3 +(2+2) + 3 +(2-2) =8,???????9 分 所以 a=4,所以 b =a -c =16-4=12.
2 2 2 2 2 2 2

???????????10 分

又焦点在 y 轴上,所以椭圆的标准方程为 + =1. ?????????12 分 16 12
5

y

2

x

2

19.(本小题满分 12 分)解:(1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 张, 则共需分错误!未找到引用源。批,每批价值为 20x 元,由题意 f(x)=错误!未找到引用源。 ×4+k·20x. ?????3 分 由当 x=4 时,f(4)=52 得 k ?

16 1 ? , 80 5

????????????4 分

∴f(x)=错误!未找到引用源。+4x(0<x≤36,x∈ N ).
*

????????????6 分

(2)知 f(x)=错误!未找到引用源。+4x(0<x≤36,x∈
* N ),? f ? x ? ? 2 144 ? 4x ? 48,

????9 分

x

当且仅当错误!未找到引用源。=4x,即 x=6 时,等号成 立. ????????????11 分 ????????????12 分

故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用. 20.(本小题满分 12 分)

解:(1)由 x -4ax+3a <0,得(x-3a)(x-a)<0,

2

2

????????????1 分 ??2 分

当 a=1 时,解得 1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3.
?x -x-6≤0 ? 由? 2 ?x +2x-8>0 ?
2

,得 2<x≤3,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. ?4 分 ???6 分

若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 ?2,3? . (2)p 是 q 的必要不充分条件,即 q? p 且 p 设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 A B, q,

????????????7 分

又 B=(2,3],当 a<0 时,A=(3a,a).显然 A∩B=?,不合题意. ????9 分 当 a>0 时,A=(a,3a);,有?
? ?a≤2, ?3<3a, ?

解得 1<a≤2;?????????11 分 ????????????12 分

综上所述,实数 a 的取值范围是 ( 1, 2? .

21、(本题满分 12 分)解 :(1)令 n ? 1,4S1 ? 4a 1 ? (a 1 ? 1) 2 ? a 1 ? 1 --------1 分
2 ? ?4S n ? (a n ? 1) ? 2 ? ?4S n ?1 ? (a n ?1 ? 1)

????(1) ????(2)
(2)-(1)

6

4a n ?1 ? (a n ?1 ? 1) 2 ? (a n ? 1) 2
(a n ?1 ? a n) (a n ?1 ? a n ? 2) ? 0 ? a n ? 0,?a n ?1 ? a n ? 2,??a n ? 是等差数列 a n ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1
(2) b n ? --------------------------3 分 -----------------------5 分

-----------------------------6 分

2n ? 1 3n 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? -------① 3 3 3 3n 1 1 3 5 2n ? 1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 -----②--------------------------8 分 3 3 3 3 3

2 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 2n ? 1 9 3 ? ? 2? ? n ?1 ①-② ------------------10 分 1 3 3 1? 3 2 2n ? 2 ? ? n ?1 3 3 n ?1 所以 Tn ? 1 ? n -------------------------------12 分 3
22. (本小题满分 12 分) 解:(1)? e ?

3 c 3 c 2 3 a 2 ? b2 3 ? ? 即 2= , ? ? a 2 ? 4b2 2 a 2 a 4 a2 4 ---------1 分

设直线与椭圆交于 p, q 两点.不妨设 p 点为直线和椭圆在第一象限的交点.
又?弦长为 4 10 2 5 2 5 , ? p( , ) 5 5 5

4 4 5 5 ? 2 ? 2 ?1 a b

----------------------2 分

联立解得a 2 ? 4, b 2 ? 1 ? 椭圆方程为 x2 ? y 2 ? 1. 4
-----------------------3 分
7

(2)(i)设 A?x1 , y1 ??x1 y1 ? 0?, D?x2 , y2 ? ,则 B?? x1 ,? y1 ? , 直线 AB 的斜率 k AB ?

y1 ,又 AB ? AD ,故直线 AD 的斜率 k ? ? x1 x1 y1 --------4 分

设直线 AD 的方程为 y ? kx ? m ,由题意知 k ? 0, m ? 0 .

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 可得 1 ? 4k 2 x 2 ? 8mkx? 4m2 ? 4 ? 0 . 2 ? y ? 1 ? ?4 ------------------5 分

?

?

所以 x1 ? x2 ? ?

8mk 2m 因 y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? ? 2m ? . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
-----------6 分

由题意知 x1 ? ? x2 所以 k1 ?

y1 ? y2 1 y ?? ? 1 x1 ? x2 4k 4 x1
y1 ?x ? x1 ? . 4 x1
------------------------------7 分

所以直线 BD 的方程为 y ? y1 ?

令 y=0,得 x ? 3x1 , 即M ?3x1 ,0? ,可得 k 2 ? ? 所以 k1 ? ?

y1 , 2 x1

1 1 1 k 2 , 即? ? ? .因此存在常数 ? ? ? 使得结论成立.----------9 分 2 2 2

(ii)直线 BD 的方程为 y ? y1 ?

y1 ?x ? x1 ? . 4 x1
-----------------------10 分

令 x=0 得 y ? ?

3 3 ? ? y1 ,即 N ? 0,? y1 ? , 4 4 ? ?

由(i)知 M ?3x1 ,0? ,可得 ?OMN 的面积 S ? 因为 x1 ? y1 ?

1 3 9 ? 3 x1 ? y1 ? x1 y1 .---11 分 2 4 8

x x12 2 ? y12 ? 1 ,当且仅当 1 ? y1 ? 时等号成立, 4 2 2
9 9 ,所以 ?OMN 的面积为最大 .--------------------12 分 8 8

此时 S 取得最大值

8

9


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