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导数及其应用测试题


导数及其应用测试题(高二理科)2013-3-12
一、选择题

f ( x0 ? t ) ? f ( x0 ? 3t ) ?( ) t ' ' A. f ' ( x0 ) B. ?2 f ( x0 ) C. 4 f ( x0 ) D.不能确定 2. (2007 年浙江卷)设 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ?( x) 的图象画在
1.设函数 f ( x)在x0 可导,则 lim
t ?0

同一个直角坐标系中,不可能正确的是( y y

) y y

O

x

O

x

O

x

O D.

x

3.下列说法正确的是 ( ) A. B. C. A.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极大值 B.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极小值 C.当 f′(x0)=0 时,则 f(x0)为 f(x)的极值 D.当 f(x0)为函数 f(x)的极值且 f′(x0)存在时,则有 f′(x0)=0 4.已知函数 f ( x) ? x ,在 x ? 0 处函数极值的情况是( ) A.没有极值 5.曲线 y ? B.有极大值 C.有极小值 在点 R? 8, ? 的切线方程是( D.极值情况不能确定

? 1? ) ? 4? x A.x ? 48y ? 20 ? 0 B.x ? 48 y ? 20 ? 0 C.x ? 48 y ? 20 ? 0 D.x ? 4 y ? 20 ? 0 3 2 6.已知曲线 y ? 400 ? x ? (100 ? x)( 0 ? x ? 100 ) 在点 M 处有水平切线,则点 M 的坐 5 1
3 2

标是( ) . A. (-15,76) B. (15,67) C. (15,76) D. (15,-76) 7.已知函数 f ( x) ? x ln x ,则( ) A.在 (0,??) 上递增 B.在 (0,??) 上递减

? 1? ? e? g x 8. (2007 年福建卷)已知对任意实数 x ,有 f (?x) ?? f (x) , ( ? ) ?g (x) f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 时( ) A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0
C.在 ? 0, ? 上递增 D.在 ? 0, ? 上递减 9. (2012 年高考(湖北理) )已知二次函数 y ? f ( x) 的图象如图所示, 则它与 x 轴所围图形的面积为
2π 4 3 π B. C. D. 5 3 2 2 10. (2012 年高考(福建理) )如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC

? 1? ? e?

,且 x ? 0 时,

y ( ?1
?1 O

1


1

A.

x

?1 ?1
( )

中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为

1

A.

1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

二、填空题 11.函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 5 的单调递增区间是_____________.

?3t 2 ? 2 (0 ? t ? 3) ? 12.若一物体运动方程如下: s ? ? 2 ?29 ? 3(t ? 3) (t ? 3) ? 则此物体在 t ? 1 和 t ? 3 时的瞬时速度是________.

(1) (2)

13.求由曲线 y ? e x , x ? 2, y ? 1 围成的曲边梯形的面积为___________. 14. (2006 年湖北卷)半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+ 2 1 1 ∞)上的变量,则( ? r )’=2 ? r ○,○式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于 1 圆的周长函数。对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于○的 2 ,○式可以用语言叙述为: 2 式子: ○ .
2

15. (2007 年江苏卷)已知函数 f ( x) ? x ?12x ? 8 在区间 [?3,3] 上的最大值与最小值分别
3

为 M , m ,则 M ? m ? 三、解答题 16. (1)求曲线 y ?

.

2x 在点(1,1)处的切线方程; x ?1 t ?1 2 (2)运动曲线方程为 S ? 2 ? 2t ,求 t=3 时的速度. t
2

17 . 已 知 函 数 y ? f (x) 的 图 像 是 折 线 段 ABC, 若 中 A(0,0),B(

1 2

,5),C(1,0). 求 函 数

y ? xf ( x) (0 ? x ? 1) 的图像与 x 轴围成的图形的面积

2

18. 设函数 f ( x ) 是定义在 [-1, ∪ 0)(0, 上的奇函数, x∈ 1] 当 [-1, 时,f ( x ) ? 2ax ? 0) (a∈R). (1)当 x∈(0,1]时,求 f ( x ) 的解析式; (2)若 a>-1,试判断 f ( x ) 在(0,1)上的单调性,并证明你的结论; (3)是否存在 a,使得当 x∈(0,1)时,f(x)有最大值-6.

1 x2

19.函数 f (x ) 对一切实数 x, y 均有 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x 成立,且 f (1) ? 0 , (1)求 f (0) 的值; (2)当 0 ? x ?

1 时, f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2

3

20.已知函数 f ( x) ? 2x ? x ? ax ? b .
3 2

(1)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求参数 a 的取值范围;
2

x ? ? ?1, 2? (2)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,且 时, f ( x) ? b ? b 恒成立,求参
数 b 的取值范围.

21. (2006 年天津卷)已知函数 f ? x ? ? 4 x ? 3 x cos ? ?
3 2

且 0 ? ? ? 2? . (1)当时 cos ? ? 0 ,判断函数 f ?x ? 是否有极值;

3 cos ? ,其中 x ? R,? 为参数, 16

(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数 ? ,函数 f ?x ? 在区间 ?2a ? 1, a ? 内都 是增函数,求实数 a 的取值范围.

(2)要使函数 f ?x ? 的极小值大于零,求参数 ? 的取值范围;

4

导数及其应用测试题答案(高二理科) 一、选择题 1 题号 C 答案 2 D 3 D 4 C 5 A 6 C 7 D 8 B 9 B 10 C

二、填空题 11. (??,0) 与 (2,??) .12.0,6 13. e ? 3 .
2
3 2 ? ? ( ( 14.V 球= ? R ,又 ? R 3) =4? R 2 故○式可填 ? R 3) =4? R 2 ,用语言叙述

4 3

4 3

4 3

为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.” 15.32. 三、解答题 16.分析:根据导数的几何意义及导数的物理意义可知,函数 y=f(x)在 x0 处的导数就是 曲线 y=f(x)在点 p( x0 , y0 ) 处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对时间的导数. 解: (1) y' ?

2?2 2( x 2 ? 1) ? 2 x ? 2 x 2 ? 2 x 2 ? 0, , y ' | x ?1 ? ? 2 2 2 2 4 ( x ? 1) ( x ? 1)

即曲线在点(1,1)处的切线斜率 k=0. 因此曲线 y ?

2x 在(1,1)处的切线方程为 y=1. x ?1 t 2 ? 2t (t ? 1) 1 2 ? t ? 1? 2 ? 4t ? ? 2 ? 3 ? 4t . (2) S ' ? ? 2 ?'?(2t )' ? 4 t t t ? t ? 1 2 26 S ' | t ?3 ? ? ? ? 12 ? 11 . 9 27 27
2

0? x? 1 ?10 x , 2 17. 如图 1, f ( x ) ? ? , 1 ?10 ? 10 x , 2 ? x ? 1
所以 y ? xf ( x) ? ?

y 5 B 5 P

y

M N D 1 图2

? 10x 2 , 0 ? x ?
2 1 2

1 2

?? 10x ? 10x, ? x ? 1

,

A

C 1 图1

x

O

x

(法一) =xf(x)的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位 y 置不同,如图 2,封闭图形 MNO 与 OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形 ODMP 的面积
S= 2 2 (法二)
1

1

?5 ?

5 4 .
1

S ? ? 2 10 x 2 dx ? ?1 ( ?10 x 2 ? 10 x )dx
0 2

? ?

10 10 x | ? ( ? x 3 ? 5 x 2 ) |1 1 3 3 2

1 3 2 0

10 1 3 10 3 1 3 1 ? ( ) ? [1 ? ( ) ] ? 5[12 ? ( ) 2 ] 3 2 3 2 2 5 ? 4
5

18.(1)解:设 x∈(0,1] ,则-x∈[-1,0),f(-x)=-2ax+

1 , x2

1 ,x∈(0,1]. x2 2 1 (2)证明:∵f′(x)=2a+ 3 ? 2( a ? 3 ) , x x 1 1 ∵a>-1,x∈(0,1] 3 >1,∴a+ 3 >0.即 f′(x)>0. , x x
∵f(x)是奇函数.∴f(x)=2ax- ∴f(x)在(0,1]上是单调递增函数. (3)解:当 a>-1 时,f(x)在(0,1]上单调递增. f(x)max=f(1)=-6, ? a=-

5 (不合题意,舍之) , 2

当 a≤-1 时,f′(x)=0,x= 3 ? 如下表:fmax(x)=f( 3 ?

1 . a

1 2 )=-6,解出 a=-2 2 . x= ∈(0,1). 2 a
(-∞, 3 ? +

x
f '( x ) f ( x)

1 ) a

3

?
0

1 a

(3 ?

1 ,+∞) a


?

最大值

?

∴存在 a=-2 2 ,使 f(x)在(0,1)上有最大值-6. 19. (Ⅰ)因为 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x , 令 y ? 0, f ( x) ? f (0) ? ( x ? 1) x , 再令 x ? 1, f (1) ? f (0) ? 2, f (0) ? ?2 .
2 (Ⅱ)由知 f ( x) ? ( x ? 1) x ? 2 ,即 f ( x) ? x ? x ? 2 .

由 f ( x) ? 3 ? 2 x ? a 恒成立,等价于 a ? f ( x) ? 2 x ? 3 ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3 恒成 4

立,即 a ? [( x ? ) ? ]max .
2

1 2

3 4

1 1 2 3 1 2 3 时, [( x ? ) ? ]max ? [(0 ? ) ? ] ? 1 . 2 2 4 2 4 故 a ? (1, ??) .
当0 ? x ? 20.已知函数 f ( x) ? 2x ? x ? ax ? b .
3 2

(1)若函数 f ( x) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求参数 a 的取值范围;
2 (2)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,且 x ?? ?1, 2? 时, f ( x) ? b ? b 恒成立,求参数 b

的取值范围.

6

解: (1) f ?( x) ? 6 x2 ? 2 x ? a 依题意,知方程 f ?( x) ? 6x2 ? 2x ? a ? 0 有实根 所以 ? ? 4 ? 4 ? 6a ? 0 得a ?

1 6

(2)由函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,知 x ? 1 是方程 f ?( x) ? 6x2 ? 2x ? a ? 0 的一个根,所以 a ? ?4 , 方程 f ?( x) ? 6x2 ? 2x ? a ? 0 的另一个根为 ?

2 3

因此,当 x ? ? 或x ? 1时,f?(x)>0 ,当 ? <x ? 1时,f?(x)<0 所以, f ( x)在 ? ?1, ? ? 和 ?1, 2? 上为增函数,在 ( ? ,1) 上为减函数 3 3

2 3

2 3

? ?

2? ?

2

2 44 ?b, ? f ( x) 有极大值 f (? ) ? 3 27
又 f (2) ? 4 ? b

?当x ??-1,2?时,f(x)max ?4 ? b

? f ( x) ? b2 ? b 恒成立,? 4 ? b ? b2 ? b
? b ? ?2或b ? 2
3 21.. (Ⅰ)解:当 cos ? ? 0 时, f ( x) ? 4 x ,

则 f ( x) 在 (??, ??) 内是增函数,故无极值.
2 (Ⅱ)解: f '( x) ? 12 x ? 6 x cos ? ,令 f '( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ?

cos ? . 2

由(Ⅰ) ,只需分下面两种情况讨论. ① 当 cos ? ? 0 时,随 x 的变化 f '( x ) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表:

x

(??, 0)
+ ↗

0 0 极大值

(0,


cos ? ) 2

cos ? 2
0 极小值

(
+

cos ? , ??) 2

f '( x ) f ( x)



cos ? cos ? ) ,且 处取得极小值 f( 2 2 cos ? 1 3 f( ) ? ? cos3 ? ? ? . 2 4 16 cos ? 1 3 3 ) ? 0 ,必有 ? cos ? (cos 2 ? ? ) ? 0 ,可得 0 ? cos ? ? 要使 f ( . 2 4 4 2
因此,函数 f ( x) 在 x ?

7

? ? 3? 11? 3 ?? ? ,故 ? ? ? 或 6 2 2 6 2 ②当时 cos ? ? 0 ,随 x 的变化, f '( x ) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表: x 0 (0, ??) cos ? cos ? cos ? (??, ) ( , 0) 2 2 2 + 0 0 + f '( x ) 极大值 极小值 f ( x) ? ? ? 3 cos ? . 因此,函数 f ( x)在x ? 0 处取得极小值 f (0) ,且 f (0) ? 16 若 f (0) ? 0 ,则 cos ? ? 0 .矛盾.所以当 cos ? ? 0 时, f ( x) 的极小值不会大于零. 综 上 , 要 使 函 数 f ( x) 在 (??, ??) 内 的 极 小 值 大 于 零 , 参 数 ? 的 取 值 范 围 为 ? ? 3? 11? ( , )?( , ). 6 2 2 6 cos ? , ??) 内都是增函数. (III)解:由(II)知,函数 f ( x) 在区间 (??, ??) 与 ( 2 由题设,函数 f ( x)在(2a ?1, a) 内是增函数,
由于 0 ? cos ? ? 则 a 须满足不等式组

? 2a ? 1 ? a, ? ? 1 ?2a ? 1 ? 2 cos ? . ? ? ? 3? 11? 3 , ) 时, 0 ? cos ? ? 由(II) ,参数时 ? ? ( , ) ? ( 。 6 2 2 6 2 1 3 4? 3 ? a. 要使不等式 2a ? 1 ? cos ? 关于参数 ? 恒成立,必有 2a ? 1 ? ,即 2 4 8 4? 3 ? a ? 1. 综上,解得 a ? 0 或 8 4? 3 ,1) . 所以 a 的取值范围是 (??, 0) ? [ 8

?2a ? 1 ? a, 或 ? ?a ? 0.

8



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