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《1.3.1函数的单调性(2)》导学案4


《1.3.1函数的单调性》导学案4
学习目标
1.通过对一些熟悉函数图象的观察、分析,理解函数最大值、最小值的定义. 2.会利用函数的单调性求函数的最值.

学习过程
1.函数的最大值、最小值的定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M); (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值(最小值). 2.函数f(x)=x2+2x+1 (x∈R)有最小值,无最大值.若x∈[0,1],则f(x)最大值为4, 最小值为1. 1 3.函数f(x)=x在定义域上无最值.(填“有”或“无”)

对点讲练
利用单调性求函数最值

x2+2x+3 【例1】 已知函数f(x)= (x∈[2,+∞)), x
(1)求f(x)的最小值; (2)若f(x)>a恒成立,求a的取值范围. 分析 求最值问题往往依赖于函数的单调性,由于这个函数并不是我们所熟悉的函数, 可考虑先判断一下单调性,再求最值. 解 (1)任取x1,x2∈[2,+∞),

3 且x1<x2,f(x)=x+x+2, 3 ? ? ? 1 - 则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)? ? x1x2? ∵x1<x2,∴x1-x2<0 3 又∵x1≥2,x2>2,∴x1x2>4,1-x1x2>0 ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 故f(x)在[2,+∞)上是增函数. 11 ∴当x=2时,f(x)有最小值,即f(2)= 2 .

11 (2)∵f(x)最小值为f(2)= 2 , 11 ∴f(x)>a恒成立,只须f(x)min>a,即a< 2 . 规律方法 运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法, 特别是当函数图象不好作 或作不出来时,单调性几乎成为首选方法.另外f(x)>a恒成立,等价于f(x)min>a,f(x)<a恒 成立,等价于f(x)max<a.

x
变式迁移1 求函数f(x)=x-1在区间[2,5]上的最大值与最小值;若f(x)<a在[2,5]上 恒成立,求a的取值范围. 解 任取2≤x1<x2≤5,

x1

x2

则f(x1)=x1-1,f(x2)=x2-1,

x2 x1 x1-x2 f(x2)-f(x1)=x2-1-x1-1=?x2-1??x1-1?,
∵2≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0. ∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1).

x
∴f(x)=x-1在区间[2,5]上是减函数. 2 ∴f(x)max=f(2)=2-1=2. 5 5 f(x)min=f(5)=5-1=4. f(x)<a恒成立,等价于a>f(x)max, 即a>2.

闭区间上二次函数的最值问题

2 【例2】 函数f(x)=x -4x-4在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为g(t).

(1)试写出g(t)的函数表达式; (2)作g(t)的图象并写出g(t)的最小值. 分析 本题需要先求f(x)的最小值,关键是分析其对称轴x=2与区间[t,t+1]的位置关 系. 解 (1)f(x)=x -4x-4=(x-2) -8.
2 2

当t>2时,f(x)在[t,t+1]上是增函数, ∴g(t)=f(t)=t -4t-4;
2

当t≤2≤t+1,即1≤t≤2时,g(t)=f(2)=-8; 当t+1<2,即t<1时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,
2 ∴g(t)=f(t+1)=t -2t-7.

从而g(t)=

t -2t-7 ?t<1?, ? ? ?-8 ?1≤t≤2?, ? ?t2-4t-4 ?t>2?.
(2)g(t)的图象如图所示,由图象易知g(t)的最小值为-8. 规律方法 (1)含有参数的二次函数的值域与最值问题,主要考虑其顶点(对称轴)与定 义域区间的位置关系,由此进行分类讨论. (2)二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系:①定义域区间在对称轴右 侧;②定义域区间在对称轴左侧;③定义域区间在对称轴的两侧.
2 变式迁移2 求f(x)=x -2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.

2



f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.

①当a<0时,由图①可知, f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a. ②当0≤a<1时,由图②可知, f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a. ③当1≤a≤2时,由图③可知, f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(0)=-1. ④当a>2时,由图④可知, f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1. 课堂小结 1.求函数的最值,若能作出函数的图象,由最值的几何意义不难得出. 2.运用函数的单调性求最值是求最值的重要方法,特别是函数图象作不出来时,单调

性几乎成为首选方法. 3.探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,然后根据图 象的增减性进行研究. 特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系, 它是求解二次 函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.

课时作业
一、选择题 1.函数f(x)=2x2-6x+1在区间[-1,1]上的最小值为( A.9 答案 B 2.函数f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值,最小值分别为( ) B.-3 7 C.4 11 D. 4 )

A.f(2),f(-2) 答案 C

?1? ? B.f? ?2?,f(-1)

?1? ? 3? ? ? ? C.f? ?2?,f?-2?

?1? ? D.f? ?2?,f(0)

?2x+6, x∈[1,2], ? 3.函数f(x)=? ? ?x+7, x∈[-1,1?

则f(x)的最大值与最小值分别为(

)

A.10,6 C.8,6 答案 A 解析 画图象可知.

B.10,8 D.以上都不对

1 4.函数f(x)=1-x?1-x?的最大值是( 4 A.5 答案 D 解析 f(x)=? 1 4 ≤ 1? 3 3. ?x-2?2+4 ? ? ) 5 B.4 3 C.4

) 4 D.3

5.函数y=|x-3|-|x+1|的(

A.最小值是0,最大值是4 C.最小值是-4,最大值是4 答案 C 解析 y=|x-3|-|x+1| -4 ?x≥3? ? ? =?-2x+2 ?-1≤x<3? ? ?4 ?x<-1? 二、填空题

B.最小值是-4,最大值是0 D.没有最大值也没有最小值

作出图象可求.

6.函数y=-x2+6x+9在区间[a,b](a<b<3)有最大值9,最小值-7,则a=________, b=__________. 答案 -2 0
2 解析 y=-(x-3) +18,∵a<b<3,

∴在区间[a,b]上单调递增,即-b +6b+9=9,得b=0, -a +6a+9=-7,得a=-2. 7 .已知 f(x) = x2 + 2(a - 1)x + 2 在区间 [1 , 5] 上的最小值为 f(5) ,则 a 的取值范围为 ________. 答案 a≤-4 解析 由对称轴方程为x=1-a, ∵区间[1,5]上的最小值为f(5),∴1-a≥5,得a≤-4.
? ?b,a≥b 8.若定义运算a⊙b=? ?a,a<b ?
2

2

,则函数f(x)=x⊙(2-x)的值域是________.

答案 (-∞,1] 解析 由题意知x⊙(2-x)表示x与2-x两者中的较小者,借助y=x与y=2-x的图象,

不难得出,f(x)的值域为(-∞,1].

三、解答题 9.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 解
2 2 (1)当a=-1时,f(x)=x -2x+2=(x-1) +1,

∵x∈[-5,5],故当x=1时,f(x)的最小值为1.

当x=-5时,f(x)的最大值为37.
2 2 (2)函数f(x)=(x+a) +2-a 图象的对称轴为x=-a.

∵f(x)在[-5,5]上是单调的, ∴-a≤-5,或-a≥5. 即实数a的取值范围是a≤-5,或a≥5.

x2+2x+a 10.已知函数f(x)= ,x∈[1,+∞). x
1 (1)当a=2时,求函数f(x)的最小值; (2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. 解 1 1 (1)当a=2时,f(x)=x+2x+2

设1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2) 1 1 ? ? ? ? ? ? x + + 2 x + =? - 1 2 2x1 ? ? 2x2+2? ? ? 1? x2-x1 ?1 ? - x x =(x1-x2)+? = ( - ) + 1 2 2 x 2 x 2x1x2 2? ? 1 = ?x1-x2??2x1x2-1? , 2x1x2

∵1≤x1<x2, ∴x1-x2<0,2x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴函数f(x)在[1,+∞)上为增函数. 7 ∴f(x)min=f(1)=2.

x2+2x+a 2 (2)方法一 在区间[1,+∞)上,f(x)= >0恒成立,等价于x +2x+a>0恒成 x
立.
2 2 2 设y=x +2x+a,x∈[1,+∞),y=x +2x+a=(x+1) +a-1递增,∴当x=1时,ymin

=3+a, 于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)恒成立,故a>-3.

x2+2x+a 2 方法二 在区间[1,+∞)上f(x)= >0恒成立等价于x +2x+a>0恒成立.即a> x
2 -x -2x恒成立.

又∵x∈[1,+∞),a>-x -2x恒成立, ∴a应大于函数u=-x -2x,x∈[1,+∞)的最大值. ∴a>-x -2x=-(x+1) +1.当x=1时,u取得最大值-3,∴a>-3.
2 2 2

2



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