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2015-2016学年高中数学 2.1比较法练习 新人教A版选修4-5


第二讲 证明不等式的基本方法 1.回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式,通过综合应用加深对不等式基本性质 基本定理的理解. 2.通过一些 简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、 放缩法., 利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法,例如,比较法、综合 法、分析法、反证法、放缩法等,在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧,对于专门 从事某些数学领域研究的人们而言,掌握这些技巧是极为重要的.但是,对大多数学习不等 式的人来说, 常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质, 对他们更为重要的是 理解这些不等式的数学思想和背景. 所以, 本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等 式,使 学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想,不对恒等变换的难度特别是 一些技巧做更多的要求,不希望不 等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧 之中.

2.1

比 较



1.了解用作差比较法证明不等式. 2.了解用作商比较法证明不等式. 3.提高综合应用知识解决问题的能力.

1.作差法: 要比较两个实数的大 小,只要考查它们的差的符号即可,即利用不等式的性质: a>b?a-b________0 a=b?a-b________0 a<b?a-b________0 答案:> = < 思考 1 比较两个代数式值的大小:x 与 x -x+1. 2 2 2 2 2 2 解析:当 x=1 时,x =x -x+1;当 x>1 时,x >x -x+1;当 x<1 时,x <x -x+ 1.
2 2

1

2.作商法: 由于当 b>0 时, a>b? >1, 因此要证明 a>b(b>0), 可以转化为证明与之等价的 > 1(b>0),这种证明方法即为作商法. 18 16. 思考 2 求证:16 >18
7 8 18 56 8 16 2 ?2 ? ?128? 证明:∵ 16= 32=? 4? =? ? >1, 18 3 ?3 ? ? 81 ?

a b

a b

∴16 >18 .

18

16

一 层 练 习 1.设 m=a+2b,n=a+b +1,则( ) A.m>n B.m≥n C.m<n D.m≤n 答案:D 2 2 2.已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a ,c-b=4-4a+a ,则 a,b,c 的大小关 系是( ) A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b 答案:A 3.已知下列不等式:①x +3>2x(x∈R);②a +b >a b +a b (a,b∈R);③a +b ≥ 2(a-b-1).其中正确的个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 答案:C 2a 2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”). 1+a
2 5 5 3 2 2 3 2 2 2

4.

答案:≤

二 层 练 习 5.若 a>b,则代数式 a +a b 与 ab +b 的大小关系是( 3 2 2 3 A.a +a b<ab +b 3 2 2 3 B.a +a b≥ab +b 3 2 2 3 C.a +a b=ab +b D.不能确定
3 2 2 3

)

2

解析:∵a>b,∴(a +a b)-(ab +b )=(a -b )+(a b-ab )=(a-b)(a +ab+b )+ ab (a-b)=(a-b)·(a+b)2≥0,∴a3+a2b≥ab2+b3. 答案:B 1 1 2 2 6.设 0<2a<1,M=1-a ,N=1+a ,P= ,Q= ,那么( 1-a 1+a A.Q<P<M<N B.M<N<Q<P C.Q<M<N<P D.M<Q<P<N 答案:C 7.若 a>b>0,下列各式中恒成立的是( A. 2a+b a b +1 b > B. 2 > 2 a+2b b a +1 a
2 2

3

2

2

3

3

3

2

2

2

2

)

)

1 1 C. a+ >b+

a

b

D.a <a

a

b

答案:B 8.设 a,b 均为正数,且 a≠b,则 a b 与 a b 的大小关系是______________. a b b a 答案:a b >a b 9. 6 - 2 2 与 5 - 7 的 大 小 关 系 ________________________________________________________________________. 答案:( 6-2 2)>( 5- 7) 10.设 P=a b +5,Q=2ab-a -4a,若 P>Q,则实数 a,b 满足的条件为________. 2 2 2 2 2 解析:P-Q=a b +5-2ab+a +4a=(ab-1) +(a+2) .∵P>Q,P-Q>0.∴ab≠1 或 a≠-2. 答案:ab≠1 或 a≠-2
2 1 2 1 ?a ? ?b ? 11.若 a,b 均为正数,求证:? ?2+? ?2≥ a+ b. 2 2 2

a b

b a



?b?

?a?

证明:证法一 左边-右边=
3 3

a b + -( a+ b) b a



( a) +( b) -( a+ b) ab

ab
( a+ b)[( a) -2 ab+( b) ]
2 2



ab
( a+ b)( a- b)
2



ab


2

因为 a+ b>0, ab>0,( a- b) ≥0,
3

a + b a 所以 + b
所以 证法二

b -( a+ b)≥0, a b ≥ a+ b . a a b ?a ? ?b ? a-b b-a + -( a+ b)=? - b?+? - a?= + = ? b ? ? a ? b a b a
2

左边-右边=

(a-b)( a- b)

ab
所以

( a+ b)( a- b) = ≥0,

ab

a b + ≥ b a

a + b.

a b + 2 b a ( a)3+( b)3 a+b- ab 左边 ( a- b) 证法三 = = = =1+ ≥1, 右边 a+ b ab( a+ b) ab ab a b 所以 + ≥ a+ b. b a

三 层 练 习 12.已知 a≥b>0,求证:2a -b ≥2ab -a b. 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 证明:∵2a -b -(2ab -a b)=(2a -2ab )+(a b-b )=2a(a -b )+b(a -b )=(a 2 -b )(2a+b)=(a+b)(a-b)(2a+b). 又∵a≥b>0,∴a+b>0,a-b≥0,2a+b>0, ∴(a+b)(a-b)(2a+b)≥0, 3 3 2 2 ∴2a -b -2ab -a b≥0, 3 3 2 2 ∴2a -b ≥2ab -a b.
3 3 2 2

13.设不等式|2x-1|<1 的解集为 M. (1)求集合 M; (2)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小. 解析:(1) 由|2x -1|<1 得-1<2x-1<1, 解得 0<x<1. 所以 M={x|0<x<1}. (2)由(1)和 a,b∈M 可知 0<a<1,0<b<1, 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. 故 ab+1>a+b. 14.设 a,b 是非负实数,求证:a +b ≥ ab(a +b ). 证明:由 a,b 是非负实数,作差得
3 3 2 2

4

a3+b3- ab(a2+b2)=a2 a( a- b)+b2 b( b- a)=( a- b)[( a)5-( b)5]. 5 5 5 5 当 a≥b 时, a≥ b,从而( a) ≥( b) ,得( a- b)·[( a) -( b) ]≥0; 5 5 5 5 当 a<b 时, a< b,从而( a) <( b) ,得( a- b)·[( a) -( b) ]>0. 3 3 2 2 所以 a +b ≥ ab(a +b ).

比较法是证明不等式的一种最基本、 最常用的方法, 比较法除了课本中介绍的作差比较 法(即利用 a>b?a-b>0), 还有作商比较法(即要证明 a>b, 而 b>0, 只要证明 >1).作 差比较法的基本步骤是:作差、变形、判断符号.变形是关键,目的在于能判断差的符号, 而不必考虑差的具体值是多少. 为便于判断差式的符号, 通常将差式变形为常数或几个因式 的积、商形式或平方和形式.当所得的差式是某个字母的二次三项式时,则常用判别式法判 断符号.变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等.多项式不等式、分式不等式 或 对数不等式常用作差比较法证明.作商比较法的基本步骤是:作商、变形、判断商值与 1 的大小,适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式.其中判断差值的正负及商值与 1 的大小是用比较法证明不等式的难点.判断过程应详细叙述.用比较法证明不等式时,当差 式或商式中含有字母时,一般需对字母的取值进行分类讨论.

a b

5


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