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2016-2017 智高点 学校模拟考试8


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校:___________ 姓名:____________班级:____________考号:____________

.........o.............o..........................o.............内.............o.............o............. o...........装.............o.............o............. o............订.............o.............o............. o............线.............o.............o............. o............. o............. o............. o........ A. 1 A. {0,1} 评卷人

A. 得
则集合 M∩N=

绝密★启用前

1. 设 i 为虚数单位,z 为复数,若|z|=

( +1)( +2) 6

B. 2
得分 题号



(

B. {2,3}

学校:

B. C. 3
) 一

一、选择题

( -1)( -2) 6 1-i 1+i

姓名:

D. 4

C. {0,2,3}
2



C. D. {3}

班级:

试卷副标题

,则|z-2i|的最大值为

2. 设全集 U={x∈Z||x-1|<3},集合?UM={x|x =1},N={0,1,2,3},

2016-2017 智高点学校模拟考试 8

考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx

3. 如图是某同学绘制的一个算法的程序框图,图中 n 为大于 2 的偶数,那么输出的 P 为 ( )

第 1 页共 12 页
( )



( +1)(2 +1) -1 6

考号:

D.

总分

( -1)(2 -1) -1 6

4. 已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,下列命题正确的是: ①若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β; ②若 m∥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β; ③若 m⊥α,n∥β,m⊥n,则 α∥β; ④若 m⊥α,n∥β,α∥β,则 m⊥n. A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②③

(

)

6. 实数 a,b,c,d 满足 a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|,则有 A. ad=bc B. ad<bc C. ad>bc

(

)

D. ad 与 bc 的大小关系不确定

≥ 1 + ≤ 4,则目标函数 z=2x+y 的最大、最小值分别为 7. 设实数 x,y 满足条件 --2 ≤ 0 A. 5,1 B. 4,7
(
2

(

)

C. 1,8
)
2

D. 7,1

8. 下列说法错误的是

A. 已知命题 P 为“若 a>b,则 a >b ”,则非 P 为“若 a>b,则 a ≤b ” B. 若 p∨q 为假命题,则 p,q 均为假命题 2 C. ? x∈R,x -2x-3>0 D. “全等三角形的面积相等”的否命题是假命题 9. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的图象如图,则 S=f(0)+f(1)+…+f(2 011) 等于 ( )

2

2

A. 0

B. 503 +
1 2
4

C. 1 006


D. 2 012

10. 在二项式

的展开式中,所有偶数项的二项式系数之和为 128,把展开式中所有 ( )

的项重新排成一排,则有理项互不相邻的排法种数为
3 A. 5 5 6 2 B. 6 6 7 5 3 C. 5 6 2 D. 7 7 8

11. 已知平面向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,且<a,c>=60° ,|b|= 3|a|,则 cos<a,b>等于 A.
3 2

(

)

B. 2

1

C. -2

1

D. - 2

3

第 2 页共 12 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※

A. 15

B. 30

C. 20

D. 10

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5. 记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a5+3=2a4,则 S5 的值为

(

)

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12. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且函数 f(x+2)也是偶函数,当 x∈[-2,0]时,f(x)=2 -1,若在 区间(-2,6]内关于 x 的方程 f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实数根,则 a 的取值范围是 ( ) A. (1,2) 评卷人 得 B. (2,+∞) 分 二、填空题 13. 在三棱锥 P-ABC 中,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60° ,AP=3,· = 2,设 M 是底面 ABC 内一 点, 定义 f(M)=(m,n,p)其中 m,n,p 分别是三棱锥 M-PAB、三棱锥 M-PBC、三棱锥 M-PCA 的体
积.若 f(M)=
1 ,, 2

-x

C. (1, 4)

3

D. ( 4,2)

3

,且 + ≥8 恒成立,则正实数 a 的最小值为

1

.

14. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为 .

15. 在区间[0,1]上任意取两个实数 a,b,则函数 f(x)=2x +ax-b 在区间[-1,1]上有且仅有一个零点
的概率为
2 2

1

3

.
2

16. 已知双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)与抛物线 y =8x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个交点为
P,若|PF|=5,则双曲线方程为 .

校:___________ 姓名:____________班级:____________考号:____________

评卷人



分 三、解答题

17. (本小题满分 12 分)
已知 a=

3sin,cos ,b =(cos x,-cos x),m∈R,函数 f(x)=a· b +m 的图象过点 M

π ,0 12

.

(1)求 m 的值,并求 x∈[0,π]上的单调区间; (2)在△ ABC 中角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 ccos B+bcos C=2acos B,求 f(A)的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后 驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q(简称血酒含量,单位是毫克 /100 毫升),当 20≤Q≤80 时,为酒后驾车;当 Q>80 时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于 2012 年 2 月的某天晚上 8 点至 11 点在市区设点进行一次拦查行动,共依法查出了 60 名饮酒后 违法驾驶机动车者,如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中 第 3 页共 12 页

Q≥140 的人数计入 120≤Q<140 人数之内).

(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数; (2)从违法驾车的 60 人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究,再从 抽取的 8 人中任取 3 人,求 3 人中含有醉酒驾车人数 X 的分布列和期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图,已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M 是 CC1 的中点,N
是 BC 的中点,点 P 满足1 =λ1 1 (λ∈R).

(1)证明:PN⊥AM; (2)当 λ 取何值时,直线 PN 与平面 ABC 所成的角 θ 最大?并求该角最大值时的正切值; (3)是否存在点 P 使平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45° ? 20. (本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)= +
1

lnx+ -x,其中常数 m>0.

1

(1)当 m=2 时,求函数 f(x)的极大值; (2)讨论函数 f(x)在区间(0,1)上的单调性; (3)当 m∈[3,+∞)时,曲线 y=f(x)上总存在相异的两点 P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线 y=f(x)在点
P,Q 处的切线互相平行,求 x1+x2 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)
已知椭圆
2 2 +y =1 的两个焦点是 +1

F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).

(1)设 E 是直线 y=x+2 与椭圆的一个公共点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程; (2)已知点 N(0,-1),斜率为 k(k≠0)的直线 l 与条件(Ⅰ)下的椭圆交于不同的两点 A,B,点 Q 满足 =,且· =0,求直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围. 第 4 页共 12 页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※

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校:___________ 姓名:____________班级:____________考号:____________

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|z|=
1-i 1+i

(2)解关于 x 的不等式 f(x)≥0.

(2)若 AD=2 3,AE=6,求 EC 的长.

(1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最大值;

(1)求证:AC 是△ BDE 的外接圆的切线;

=
2

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x-a|-2|x-1|(a∈R).

【失分警示】集合运算失误、审题失误. 参考答案

1. 【答案】C【解析】本题考查复数的运算、复数的几何意义.

|1-i| =1,利用复数的几何意义可知|z-2i|的最大值为 |1+i|

【失分警示】不能灵活使用复数的运算性质、复数的几何意义.

2. 【答案】C【解析】本题考查集合的运算. 全集 U={-1,0,1,2,3},?UM={-1,1},则 M={0,2,3},故 M∩N={0,2,3}.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90° ,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,点 D 在 AB 上,DE⊥EB.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 = 1 + 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数,a∈R),点 P 的坐标为(1,0), = 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,

曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ=4cosθ,设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,若· =-8,求直线 l 的普通方程.

第 5 页共 12 页
3.

3. 【答案】A【解析】本题考查算法中的程序框图问题及合情推理. 2 2 2 利用程序框图可以得到 P=2 +4 +…+n . 【失分警示】循环结果误以为是 n+2,不能利用特殊值进行不完全归纳.

5. 【答案】A【解析】本题考查数列的基本运算及性质.
S5=
5( 1 + 5 ) =5a3,由 2

a5+3=2a4 得 a3=3 所以 S5=15.

【失分警示】数列的运算不灵活.

6. 【答案】C【解析】本题考查不等式比较大小的基本方法. 将 a+d=b+c,且|a-d|<|b-c|同时平方,再将等式代入不等式中即可得. 【失分警示】不能灵活处理等式及绝对值不等式.

7. 【答案】D【解析】本题考查线性规划的基本问题.

作出不等式组对应的可行域(图中阴影部分),直线 l:z=2x+y 经过点 A(3,1)时取得最大值 7,经过 点 C(1,-1)时取得最小值 1. 【失分警示】作图出现失误.

8. 【答案】A【解析】本题考查命题的相关知识. 可用排除法,B,C,D 都正确. 【失分警示】A 中不能读出是全称命题.

9. 【答案】D【解析】本题考查三角函数的图象和性质.
利用图象可知最大值为 ,最小值为 ,则 A= ,b=1,周期为 4,
3 2 1 2 1 2

则 ω= ,φ=π,S=f(0)+f(1)+…+f(2 011)=2 012.

π 2

第 6 页共 12 页

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4. 【答案】C【解析】本题考查空间线面的位置关系.利用排除法. 【失分警示】对于空间中基本的位置关系不能给出判断. ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※

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校:___________ 姓名:____________班级:____________考号:____________

.........o.............o..........................o.............内.............o.............o............. o...........装.............o.............o............. o............订.............o.............o............. o............线.............o.............o............. o............. o............. o............. o........ 13. 【答案】1
2 则利用插空法可得A6 6 A7 .

14. 【答案】17π
【失分警示】数形结合能力弱. 【失分警示】数形结合能力不强. 【失分警示】平面向量的几何运算不熟练. 利用几何图形,设 a=,c= ,则=-b,根据已知易得.

11. 【答案】D【解析】本题考查平面向量的几何运算.

10. 【答案】B【解析】本题考查二项式性质及排列、组合问题.

12. 【答案】D【解析】本题考查函数性质的综合运用、数学思想的灵活应用. 利用已知作函数的简图,将方程转化为 f(x)=loga(x+2),利用图象观察.

【解析】本题考查三棱锥体积、均值不等式. 利用已知三棱锥的体积得 x,y 的关系,再利用均值不等式. 【失分警示】审题失误,找不到 x,y 的关系.

利用二项式系数的性质可得 n=8,由通项公式 Tr+1=6 ( )

【失分警示】二项式性质不清楚,不能灵活利用插空法处理不相邻问题.

【解析】本题考查三视图、组合体问题、球的表面积. 由三视图可知该几何体为直三棱柱,则利用直三棱柱构造长方体,那么该三棱柱外接球的半径 2 2 2 2 为 R 满足(2R) =2 +2 +3 =17,故该几何体外接球的表面积为 17π. 【失分警示】不能正确识别三视图,不能灵活构造长方体找到球的半径.

第 7 页共 12 页

6-r

2

4

1

可知当 r=0,4 时为有理项,

15. 【答案】

7 8 1 2 7 8

【解析】本题考查几何概型、函数的零点问题.
由已知可得 f(-1)· f(1)<0,得 a-b+ >0,利用几何概型得概率为 .

16. 【答案】x - =1 【解析】本题考查圆锥曲线的定义、几何性质.
焦点 F(2,0),则 c=2,|PF|=5 得 P(3, 24),则双曲线的方程为 x - =1.
2

2

2 3

2 3

【失分警示】不能利用抛物线的定义求出点 P 的坐标.

17. (1) 【答案】由 f(x)= sin2x- (cos2x+1)+m=sin 2因为点 M
1 2 π ,0 12 3 2 1 2 π 6

- +m

1 2

在函数 f(x)的图象上,所以 sin 2 ×
π 6

m= ,∴ f(x)=sin 2-

.∵ x∈[0,π],∴ 增区间为

π π 1 - - +m=0 解得 12 6 2 π 5π 0, ∪ ,π . 3 6

(2) 【答案】因为 ccos B+bcos C=2acos B,所以 sin Ccos B+sin Bcos C=2sin Acos B sin(B+C)=2sin Acos B,即 sin A=2sin Acos B.
又因为 A∈(0,π),所以 sin A≠0,所以 cos B= .
1 2

又因为 B∈(0,π),所以 B= ,A+C= .

π 3

2π 3

所以 0<A< ,- <2A- < ,所以 sin 2-

2π π 3 6

π 7π 6 6

π 6

∈ - ,1 ,所以 f(A)的取值范围是 - ,1 .

1 2

1 2

18. (1) 【答案】(0.0 032+0.0 043+0.0 050)×20=0.25,0.25×60=15, 所以此次拦查中醉酒驾车的人数为 15 人. (2) 【答案】易知利用分层抽样抽取 8 人中含有醉酒驾车者为 2 人,酒后驾车者为 6 人;所以 X
的所有可能取值为 0,1,2.P(X=0)= 6 3 = ,P(X=1)= P(X=2)=
1 2 6 3 2 3 =28 ,X 的分布列为 8

3 5 8 14

2 1 15 6 2 3 =28 , 8

X 0 P 5

15 3 14 28 28 第 8 页共 12 页

1

2

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【失分警示】不能转化为几何概型.

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※

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校:___________ 姓名:____________班级:____________考号:____________

.........o.............o..........................o.............内.............o.............o............. o...........装.............o.............o............. o............订.............o.............o............. o............线.............o.............o............. o............. o............. o............. o........ 19. =
|

· |= | |· ||

而 θ∈ 0,

则 sinθ=|sin

1 π 2 λ1 1 2 π 2

1

(1) 【答案】

1 1 -, 2 ,-1 2 1 · = - 2

所以 PN⊥AM.

1

∴ |cos<m,n>|=|
1 2 5 + 2 4

- 2 - 2 + = 0,

- + 2 = 0.

,= 0,1,

由①式,当 λ= 时,(sin θ)max=

1 . 2 1 1 ×0+ ×1-1× =0, 2 2

,当 sinθ 最大时,θ 最大,

< , > |=|cos<,n>|=

∵ 平面 PMN 与平面 ABC 所成的二面角为 45° , ①
2 5 ,此时 5

· |= ||· ||

|2(1- )|

令 x=3,得 m=(3,2λ+1,2(1-λ)).

9+(2 +1)2 +4(1- )2

tan θ=2.

= ,

2 2

(2) 【答案】易知平面 ABC 的一个法向量为 n=(0,0,1).

AB,AC,AA1 分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 A-xyz.则 P(λ,0,1),N

设平面 PMN 的一个法向量为 m=(x,y,z).由(Ⅰ)得 = ,-1,

(3) 【答案】假设存在点 P 满足条件,∵平面 ABC 的一个法向量为 n=1 =(0,0,1).

由 AA1⊥平面 ABC 得 AA1⊥AB,AA1⊥AC,又 AB⊥AC,以

第 9 页共 12 页
1 2

,由

1 1 , ,0 2 2

· = 0, 得 · = 0

,M 0,1,
1 2

,从而

解得 λ=- .故存在点 P 在 B1A1 的延长线上,且 A1P= .

1 2

1 2

20. .............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o....................... (1) 【答案】当 m=2 时,f(x)= lnx+ -x ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※
∵f'(x)= - 2 -1=5 1 2 ( -2)(2 -1) (x>0),当 2 2 5 2 1

0<x< 或 x>2 时 f'(x)<0;当 <x<2 时 f'(x)>0,

1 2

1 2

∴函数 f(x)在 0,
3 . 2

1 2

和(2,+∞)上单调递减,在
1

1 ,2 2

上单调递增.故函数 f(x)的极大值为 f(2)= ln21

5 2

(2) 【答案】由题意知 f'(x)=
①当
1 0<m<1 时, >1,故当

+

- 2 -1=-

1

2 - +

1 2

+1

=-

( - ) 2

(x>0,m>0)

x∈(0,m)时,f'(x)<0,当 x∈(m,1)时,f'(x)>0.此时函数 f(x)在(0,m)上单调

递减,在(m,1)上单调递增.

②当 m=1 时 =1,故当 x∈(0,1)时,f'(x)=-

1

( -1)2 <0 恒成立,此时函数 2

f(x)在(0,1)上单调递减.

③当 m>1 时,0< <1,故当 x∈ 0,

1

1

时,f'(x)<0,当 x∈

1

,1 时,f'(x)>0.此时函数 f(x)在区间
1 1

0, 上单调递减,在区间

1

1

,1 上单调递增.
+ 1 1 -1= - 2 -1,整理得 2 1 1 2 2 1 + 2 2 恒成立,又 2 2 4 +

(3) 【答案】由题意得 f'(x1)=f'(x2)(x1,x2>0 且 x1≠x2)即
x1+x2= +
1

-

x1x2.∵x1≠x2,由基本不等式可得,x1x2<
1

x1,x2>0,m>0,∴x1+x2= +
1

x1x2< +

1

1 + 2 2

即 x1+x2>

+

1

对 m∈[3,+∞)恒成立.

令 g(m)=m+ (m≥3),则 g'(x)=1-

1 ( +1)( -1) = >0 对 2 2

m∈[3,+∞)恒成立,

∴ g(m)在[3,+∞)上单调递增 ∴g(m)≥g(3)=

10 3

,



4
1 +



4 6 4 = 从而“x1+x2> 1 对 (3) 5 +


m∈[3,+∞)恒成立”等价于“x1+x2>

4 6 = 恒成立”∴x1+x2 的 (3) 5

取值范围为

6 , 5

+∞ .

21.

第 10 页共 12 页

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(1) 【答案】由题意,知 m+1>1,即 m>0, = + 2 由 2 , + 2 = 1
+1

得(m+2)x +4(m+1)x+3(m+1)=0, 又 Δ=16(m+1) -12(m+2)(m+1)=4(m+1)(m-2)≥0,解得 m≥2 或 m≤-1(舍去),∴ m≥2. 此时,|EF1|+|EF2|=2 + 1≥2 3.当且仅当 m=2 时,|EF1|+|EF2|取值最小值 2 3,此时椭圆的方 程为 +y =1.
2 3
2 2

2

(2) 【答案】设直线 l 的方程为 y=kx+t,由方程组
3=0,∵ 直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B, ∴ Δ=(6kt) -4(1+3k )(3t -3)>0,即 t <1+3k .①, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=3 ,y =kxQ+t= 1+3 2 Q 1+3 2 6 ,由=得 1+3 2
2 2 2 2 2

2 + 3 2 = 3 2 2 2 ,消去 y 得(1+3k )x +6ktx+3t = +

Q 为线段 AB 的中点,则 xQ=

1 + 2 =2

∵ · =0,∴ 直线 AB 的斜率 kAB 与直线 QN 的斜率 kQN 乘积为-1,即 kQN· kAB=-1,



∴ 1+33 · k=-1,化简得 1+3k =2t,代入①式得 t <2t 解得,0<t<2.

2 +1

2

2

-

1+3 2

又 k≠0 即 3k >0,故 2t=1+3k >1 得 t> .综上直线 l 在 y 轴上的截距 t 的取值范围是

2

2

1 2

1 ,2 2

.

22. (1) 【答案】取 BD 的中点 O,接 OE.∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠CBE=∠OBE,又 ∵ OB=OE,∴ ∠OBE=∠BEO,∴ ∠CBE=∠BEO,∴ BC∥OE. ∵ ∠C=90° ,∴ OE⊥AC,∴ AC 是△ BDE 的外接圆的切线. (2) 【答案】设⊙O 的半径为 r,在△ AOE 中 OA =OE +AE ,解得 r=2 3, ∴ OA=2OE,∴ ∠A=30° ,∠AOE=60° ,
∴ ∠CBE=∠OBE=30° ,∴ EC= BE= × 3r= × 3×2 3=3.
1 2 1 2 1 2
2 2 2

校:___________ 姓名:____________班级:____________考号:____________

23. 【答案】曲线 C 的普通方程为 y =4x 与
2

= 1 + 2 2 消 x,y 得 a t -4t-4=0 (1) =

∵直线 l 与曲线 C 有两个交点 ,∴a≠0. 设 A,B 两点对应的参数为 t1,t2,则 t1,t2 为方程(1)的根 由 t1· t2= 2 <0 知,点 P 在线段 AB 上,
-4

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故· =-||· ||=- 1 + 2 |t1|· 1 + 2 |t2|=-(1+a )· 2 =-8 得 a=± 1,

2

4

故 l 的普通方程为 y=x-1 或 y=-x+1.

-,( ≥ 2) (1) 【答案】当 a=2 时,f(x)=|x-2|-2|x-1|= -3 + 4,(1 < < 2) ,( ≤ 1) 所以当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值 1. 2 2 (2) 【答案】由 f(x)≥0 得|x-a|≥2|x-1|,两边平方得:(x-a) ≥4(x-1) , 即得[x-(2-a)][3x-(2+a)]≤0
①当 a>1 时,不等式的解集为 x∈ 2-,
2+ 3

;

②当 a=1 时,不等式的解集为{x|x=1}; ③当 a<1 时,不等式的解集为 x∈
2+ 3

,2- .

第 12 页共 12 页

※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※※※※※※※※※※※※※※※※

24.

.............o.............o.............外.............o.............o.............装.............o.............o.............订.............o.............o.............线.............o.............o..............o..............o..............o.......................


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