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全国高中数学联赛江苏赛区2006年初赛试题


全国高中数学联赛江苏赛区 2006 年初赛试题
班级 __________ 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知数列 {an } 的通项公式 an ? A、 a1 2.函数 y ? 3
log3 x

姓名 __________

2 ,则 {an } 的最大项是 ________ n2 ? 4n

? 5
C、 a 3 D、 a 4

B、 a 2 的图象是 ________

A

B

C

D

3.已知抛物线 y 2 ? 2 px , O 是坐标原点, F 是焦点, P 是抛物线上的点,使得 ?POF 是直角三角 形,则这样的点 P 共有 ________ A、0 个 B、2 个 C、4 个 D、6 个

4.设 f ( x) 是定义在 R 上单调减的奇函数.若 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 ,则 ________ A、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 C、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 B、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? 0 D、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )

5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 12 条棱所在直线都成等角的直线一共 有 ________ A、0 条 6.在 ?ABC 中, tan A ?
4 5 5

B、1 条

C、4 条

D、无数条

3 10 1 , cos B ? ,若 ?ABC 的最长边为 1,则最短边的长为 ________ 10 2 3 5 5

A、

B、

C、

2 5 5

D、

5 5

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.集合 A ? {x x ? 3n , n ? N ,0 ? n ? 10} , B ? { y y ? 5m, m ? N ,0 ? m ? 6} ,则集合 A ? B 的所有元素 之和为 ________ 8.设 cos 2? ?
2 ,则 cos 4 ? ? sin 4 ? 的值是 ________ 3
1

9. ( x ? 3x 2 )3 的展开式中, x 5 的系数为 ________
?y ? 0 ? 10.已知 ?3 x ? y ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值是 ________ ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?

1 11.等比数列 {an } 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? .设 f (n) 表示这个数列的前 n 项的积, 2
则当 n ? ________ 时, f (n) 有最大值. 12.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,已知 AB1 ? 4 , AD1 ? 3 ,则对角线 AC1 的取值范围是 ________ 三、解答题(本题满分 60 分,第 13 题、第 14 题各 12 分,第 15 题 16 分,第 16 题 20 分)

? ? ? 2a ? ? ? ? 1? .若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. 13.设集合 A ? ? x log 1 ? 3 ? x ? ? ?2? , B ? ? x ? x?a ? ? ? 2 ? ?

14.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F , P , P2 ,? , P24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点,其中 P1 1 9 4

是椭圆的右顶点,并且 ?P FP2 ? ?P2 FP3 ? ?P3 FP4 ? ? ? ?P24 FP .若这 24 个点到右准线的距离 1 1 的倒数和为 S ,求 S 2 的值.

15. ?ABC 中, AB ? AC , AD 、 AE 分别是 BC 边上的高和中线,且 ?BAD ? ?EAC ; 证明 ?BAC 是直角.

A

B

D

E

C

16.设 p 是质数,且 p 2 ? 71 的不同正因数的个数不超过 10 个.求 p .

2


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