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近五年高考分类汇编——数列与数学归纳法


近五年上海高考汇编——数列与数学归纳
一、填空题 1.(2009 年上海高考文 13)已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?a n ? 满足 a n ? ? ? 差 d ? 0 . 若 f (a1 ) ? f (a 2 ) ? ? ? f (a 27 ) ? 0 ,则当 k =_____时, f (ak ) ? 0 . 答

案:14.

? ? ?? , ? ,且公 ? 2 2?

n ? ? 1 2 3 ??? n ? 2 n ? 1 ? ? n 1 ? ? 2 3 4 ??? n ? 1 2.( 2010 年上海高考文 12) 在 n 行 m 列矩阵 ? 3 4 5 ??? n 1 2 ? 中, ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ? n 1 2 ??? n ? 3 n ? 2 n ? 1? ? ? 记位于第 i 行第 j 列的数为 aij (i, j ? 1, 2 ???, n) ,当 n ? 9 时, a11 ? a22 ? a33 ? ??? ? a99 ?
答案:45

.

* 3. (2010 年上海高考文 14)将直线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 、 l2 : nx ? y ? n ? 0 、 l3 : x ? ny ? n ? 0 ( n ? N , n ? 2 )

围成的三角形面积记为 S n ,则 lim S n ?
n ??

答案:

1 2
*

4.(2010 年上海高考理 11)将直线 l2 : nx ? y ? n ? 0 、 l3 : x ? ny ? n ? 0 ( n ? N , n ? 2 ) x 轴、 y 轴围成的 封 闭图形的面积记为 S n ,则 lim S n ?
n ??

答案:1 5.(2011 年上海高考文 2) lim(1 ?
n ??

答案: ?2 6.(2011 年上海高考理 14)已知点 O(0,0) 、Q0 (0,1) 和 R0 (3,1) ,记 Q0 R0 的中点为 P 1 ,取 Q0 P 1和P 1 R0 中的一条, 记其端点为 Q1 、 R1 ,使之满足 (| OQ1 | ?2)(| OR1 | ?2) ? 0 ;记 Q1 R1 的中点为 P2 ,取 Q1 P2 和 P2 R1 中的一条,记

3n )? n?3

| ? 其端点为 Q2 、 R2 ,使之满足 (| OQ2 | ?2)(| OR2 | ?2) ? 0 ;依次下去,得到点 P n 1, P 2 ,? , P n ,? ,则 lim| Q0 P
n ??

答案: 3 7.(2012 年上海高考理 6/文 7)有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、

V1,V2, ?,Vn, ? ,则 lim (V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ?
n ??

1 为公比的等比数列,体积分别记为 2

.

答案:

8 7

8. ( 2012 年上海高考文 14 )已知 f ( x) ?

a2010 ? a 2012 ,则 a20 ? a11 的值是
答案:

1 ,各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 2 ? f (an ) ,若 1? x
.

3+13 5 26

9. (2013 年上海高考理 1)计算: lim

n ? 20 ? n ?? 3n ? 13
1



答案:

10. ( 2013 年上海高考理 10 )设非零常数 d 是等差数列 x1 , x2 , x3 ,? , x19 的公差,随机变量 ? 等可能地取值

1 3

x1 , x2 , x3 ,?, x19 ,则方差 D? ?
答案: 30d 2 答案:15

. .

11.(2013 年上海高考文 2)在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30 ,则 a2 ? a3 ?

二、选择题 12.(2011 年上海高考理 18)设 {an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩形面积( i ? 1, 2,? ) ,则

{ An } 为等比数列的充要条件为 (
A B C D 答案:D 13.(2012 年上海高考文 18)若 Sn ? sin 是( A.16 答案:C ) B.72



{an } 是等比数列 a1 , a3 ,? , a2 n ?1 ,? 或 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 是等比数列 a1 , a3 ,? , a2 n ?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 均是等比数列 a1 , a3 ,? , a2 n ?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 均是等比数列,且公比相同

?
7

?sin

2? ? ... ? sin 7

n ? ? ( n? N ) ,则在 S1 , S2 ,..., S100 中,正数的个数 7
D.100 )

C.86

14. (2012 年上海高考理 18) 设 an ? A.25 答案:D B.50

1 n? S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , , 在 S1 , S 2 , ?, S0 正数的个数是 ( sin 0 1 中, n 25
C.75
n

D.100

15. ( 2013 年上海高考理 17 )在数列 {an } 中, an ? 2 ? 1 .若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素

ci , j ? ai ? a j ? ai ? a j ( i ? 1, 2,?,7 ; j ? 1, 2,?,12 ) ,则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为(
A.18 答案:A B. 28 C. 48 D. 63

) .

16.(2013 年上海高考文 18)记椭圆

x2 ny 2 ? ? 1 围成的区域(含边界)为 ?n (n ? 1, 2,?) ,当点 ( x, y) 分别 4 4n ? 1 在 ?1 , ?2 ,? 上时, x ? y 的最大值分别是 M 1 , M 2 ,? ,则 lim M n ? ( ) .
n ??

A. 0 答案:D

B.

1 4

C. 2

D. 2 2

三、解答题 17.(2009 年上海高考文 23)已知{an}是公差为 d 的等差数列,{bn}是公比为 q 的等比数列 (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N * ,有 am ? am?1 ? ak ? 请说明理由; (2)若 bn=aqn(a、q 为常数,且 aq≠0) ,对任意 m 存在 k,有 bm· bm+1=bk,试求 a、q 满足的充要条件; (3)若 an=2n+1,bn=3n,试确定所有的 p,使数列{bn}中存在某个连续 p 项的和是{an}中的一项,请证明. 解: (1)由 am ? am ?1 ? ak , 得 6m ? 6 ? 3k ? 1,整理后,可得 k ? 2m ?

4 , 3

2

? m 、 k ? N ,?k ? 2m 为整数?不存在 n 、 k ? N ? ,使等式成立。
(2)当 m ? 1 时,则 b1 ? b2 ? bk ,? a ? q ? aq
2 3 k

? a ? q k ?3 , 即 a ? q c ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数
反之当 a ? q 时,其中 c 是大于等于 ?2 的整数,则 bn ? q
c
n ?c



显然 bm ? bm?1 ? q

m?c

? qm?1?c ? q 2 m?1?2 c ? bk ,其中 k ? 2m ? 1 ? c

? a 、 q 满足的充要条件是 a ? qc ,其中 c 是大于等于 ?2 的整数
(3)设 bm ?1 ? bm ? 2 ? ? ? bm ? p ? ak 当 p 为偶数时, (*) 式左边为偶数,右边为奇数, 当 p 为偶数时, (*) 式不成立。

由 (*) 式得

3m ?1 (1 ? 3 p ) ? 2k ? 1 ,整理得 3m?1 (3 p ? 1) ? 4k ? 2 1? 3

当 p ? 1 时,符合题意。当 p ? 3 , p 为奇数时,

3 p ? 1 ? (1 ? 2) p ? 1
0 1 2 2 p p ? Cp ? C1 p ? 2 ? Cp ? 2 ? ? ? Cp ? 2 ? 1 1 2 2 p p ? C1 p ? 2 ? Cp ? 2 ? ? ? Cp ? 2 2 p p ?1 ? 2 ? C1 ? p ? Cp ? 2 ? ? ? Cp ? 2 2 2 2 p p ?2 ? ? 2? ?2 ?C p ? C p ? 2 ? ? ? C p ? 2 ? ? p ?

?

由3

m ?1

(3 p ? 1) ? 4k ? 2 ,得

2 2 2 p p ?2 ? 3m ?1 ? ? 2 ? C p ? C p ? 2 ? ? ? C p ? 2 ? ? p ? ? 2k ? 1

?当 p 为奇数时,此时,一定有 m 和 k 使上式一定成立。

?当 p 为奇数时,命题都成立。
18.(2009 年上海高考理 23)已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列 (1)若 an ? 3n ? 1 ,是否存在 m、k ? N * ,有 am ? am?1 ? ak ? 说明理由; (2)找出所有数列 ?an ? 和 ?bn ? ,使对一切 n ? N * ,

an ?1 ? bn ,并说明理由; an
3

(3)若 a1 ? 5, d ? 4, b1 ? q ? 3, 试确定所有的 p ,使数列 ?an ? 中存在某个连续 p 项的和是数列 ?bn ? 中的一项, 请证明 解(1) am ? am?1 ? ak , 得6m ? 5 ? 3k ? 1 , 整理后,可得 k ? 2m ? ……2 分

4 ? m、k ? N * ,? k ? 2m 为整数, 3
……5 分 (*)

?不存在 m、k ? N * ,使等式成立。
(2)解法一 (i)若 d ? 0, 则1 ? b1q 若

a1 ? nd an ?1 ? b1q n ?1 ? bn , 即 , a1 ? (n ? 1)d an
? bn ,

n ?1

当 ?a n ? 为非零常数列, ?bn ? 为恒等于 1 的常数列,满足要求。……7 分 (ii)若 d ? 0 , (*)式等号左边取极限得(*)式等号 右只边只有当 q ? 1 时,才可能等于 1,此时等号左边是

lim
n ??

a1 ? nd ? 1, a1 ? ( n ? 1)d 常数, d ? 0 ,矛盾。

综上所述,只有当 ?a n ? 为非零常数列, ?bn ? 为恒等于 1 的常数列,满足要求。……10 分 解法二 设 an ? nd ? c ,若

a a an ?1 ? bn ,对 n ? ?? 都成立,且 ?bn ? 为等比数列,则 n ? 2 / n ?1 ? q ,对 n ? ?? an an ?1 an
2

都成立,即 an an ? 2 ? qan ?1 ,

? (d n?

c )(dn ? 2 d ?

c )?

2 q ( d ?n ? d ) c n ? ?? 都成立,? d 2 ? qd 2 ……7 分 ,对

? (i)若 d ? 0, 则an ? c ? 0 ,? bn ? 1, n ? ? .

(ii)若 d ? 0 ,则 q ? 1,? bn ? m(常数),即

dn ? d ? c ? m, 则d ? 0, 矛盾. dn ? c
?

综上所述, 有an ? c ? 0,bn ? 1 ,使对一切 n ? ? , (3) an ? 4n ? 1, bn ? 3 , n ? N ,
n *

an ?1 ? bn . ……10 分 an

设 am?1 ? am? 2 ? ? ? am? p ? bk ? 3 , p、k ? N , m ? ??
k *

4(m ? 1) ? 1 ? 4(m ? p) ? 1 p ? 3k , 2
3k ? 4m ? 2 p ? 3 ? ,? p、k ? N * ,? p ? 3s , s ? N p
……13 分

4

取 k ? 3s ? 2, 4m ? 3

2s?2

2s+2 ? 2 ? ?s ? 3 ? (4-1) ? 2 ??? ???s ? 3 ? 0 ,……15 分
2s+2

(4-1) =4M1 +1, 由二项展开式可得整数 M1、M 2 ,使得
s 2? (4-1) ? 8M 2 ? (?1) S 2

? 4m ? 4(M1 ? 2M 2 ) ? ((?1) S ? 1)2, ?存在整数 m 满足要求。
故当且仅当 p ? 3 , s ? N ,命题成立。
s

……18 分

说明:第(3)题若学生从以下角度解题,可分别得部分分(即分步得分) 若 p 为偶数,则 am?1 ? am? 2 ? ? ? am? p 为偶数,但 3 为奇数。
k

故此等式不成立,? p 一定为奇数。 当 p ? 1时,则 am ?1 ? bk , 即4m ? 5 ? 3 ,
k

……1 分

而 3 ? (4 ? 1)
k

k

0 k ?1 k ?1 k ? ck ? 4k ? c1 ? (?1) ? ? ? ck ? 4 ? (?1) k ?1 ? ck ? (?1) k ? 4M ? (?1) k , M ? ?? k ?4

当 k 为偶数时,存在 m ,使 4m ? 5 ? 3 成立,
k

……1 分

当 p ? 3时,则 am?1 ? am? 2 ? am?3 ? bk ,即3am? 2 ? bk , 也即 3(4m ? 9) ? 3 ,? 4m ? 9 ? 3
k k ?1

, 4(m ? 1) ? 5 ? 3k ?1 ,
k

由已证可知,当 k ? 1为偶数即 k 为奇数时,存在 m , 4m ? 9 ? 3 成立,……2 分 当 p ? 5时,则 am?1 ? am? 2 ? ? ? am?5 ? bk ,即5am?3 ? bk , 也即 5(4m ? 13) ? 3 ,而 3 不是 5 的倍数,?当 p ? 5时,所要求的 m 不存在,
k

k

故不是所有奇数都成立.
* 19.(2010 年上海高考文 21)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N

(1)证明: ?an ? 1? 是等比数列; (2)求数列 ? S n ? 的通项公式,并求出使得 Sn ?1 ? Sn 成立的最小正整数 n . 解:(1)由 Sn ? n ? 5an ? 85, n ? N
*

(1)

可得: a1 ? S1 ? 1 ? 5a1 ? 85 ,即 a1 ? ?14 . 同时

Sn?1 ? (n ? 1) ? 5an ?1 ? 85

(2)
5

从而由 (2) ? (1) 可得: an ?1 ? 1 ? 5(an ?1 ? an )

5 5 (an ? 1)n , ? N * , 从 而 {an ? 1} 为 等 比 数 列 , 首 项 a1 ? 1 ? ?15 , 公 比 为 , 通 项 公 式 为 6 6 5 5 an ? 1 ? ?15 ? ( )n ?1 ,从而 an ? ?15 ? ( )n ?1 ? 1 6 6 5 n 5 1 (2) Sn ?1 ? Sn 即 an ?1 ? 0 , ?15*( ) ? 1 ? 0 , ( )n ? , 6 6 15
即 : an ?1 ? 1 ? 解得 n ?

? log(15) ? 14.8532 ,从而 nmin ? 15 . log(5) ? log(6)

* 20.(2010 年上海高考理 20)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N

(1)证明: ?an ? 1? 是等比数列; (2)求数列 ? S n ? 的通项公式,并求出 n 为何值时, S n 取得最小值,并说明理由. 解: (1)略 (2) S n ? n ? 75( )

5 6

n ?1

? 90 , n ? 15 取得最小值

* 21.(2011 年上海高考文 23)已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N ) ,将集

合 {x | x ? an , n ? N } ? {x | x ? bn , n ? N } 中的元素从小到大依次排列,构成数列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? 。
* *

(1)求三个最小的数,使它们既是数列 {an } 中的项,又是数列 {bn } 中的项; (2) c1 , c2 , c3 ,? , c40 中有多少项不是数列 {bn } 中的项?说明理由; (3)求数列 {cn } 的前 4n 项和 S 4 n ( n ? N )
*

解: (1) 三项分别为 9,15,21 . (2) c1 , c2 , c3 ,?, c40 分别为

9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,25,27,29,30,31,33,35,36,37, 39,41,42,43,45,47,48,49,51,53,54,55,57,59,60,61,63,65,66,67
(3) b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2 k ?1 , b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2 k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7 ∵

6k ? 3 ? 6 k ? 5? 6 k ? 6? k 6 ?7

? 6k ? 3 ( n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 ( n ? 4k ? 2) ? , k ? N * . c4 k ?3 ? c4 k ?2 ? c4 k ?1 ? c4 k ? 24k ? 21 ∴ cn ? ? ? 6k ? 6 ( n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4 k )

n(n ? 1) ? 21n ? 12n 2 ? 33n 2 * 22.(2011 年上海高考理 22)已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别为 an ? 3n ? 6 , bn ? 2n ? 7 ( n ? N ) ,将集 S4 n ? (c1 ? c2 ? c3 ? c4 ) ? ? ? (c4 n ?3 ? c4 n ?2 ? c4 n ?1 ? c4 n ) ? 24 ?
6

合 {x | x ? an , n ? N } ? {x | x ? bn , n ? N } 中的元素从小到大依次排列,构成数列 c1 , c2 , c3 ,?, cn ,? 。
* *

(1)求 c1 , c2 , c3 , c4 ; (2)求证:在数列 {cn } 中、但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? ; (3)求数列 {cn } 的通项公式 解: (1) c1 ? 9, c2 ? 11, c3 ? 12, c4 ? 13 ;
* (2)① 任意 n ? N ,设 a2 n ?1 ? 3(2n ? 1) ? 6 ? 6n ? 3 ? bk ? 2k ? 7 ,则 k ? 3n ? 2 ,即 a2 n ?1 ? b3n ?2

② 假设 a2 n ? 6n ? 6 ? bk ? 2k ? 7 ? k ? 3n ?

1 ,∴ ? N * (矛盾) 2

a2 n ? {bn }

∴ 在数列 {cn } 中、但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,?, a2 n ,? 。 (3) b3k ?2 ? 2(3k ? 2) ? 7 ? 6k ? 3 ? a2 k ?1 , b3k ?1 ? 6k ? 5 , a2 k ? 6k ? 6 , b3k ? 6k ? 7 ∵

6k ? 3 ? 6 k ? 5? 6 k ? 6? k 6 ?7

∴ 当 k ? 1 时,依次有 b1 ? a1 ? c1 , b2 ? c2 , a2 ? c3 , b3 ? c4 ,……

? 6k ? 3 ( n ? 4k ? 3) ?6k ? 5 ( n ? 4k ? 2) ? ,k ? N* . ∴ cn ? ? ? 6k ? 6 ( n ? 4k ? 1) ? ? 6k ? 7 ( n ? 4 k )

{ a1 , a2 , ?, ak }(k=1,2,…,m) 23.(2012 年上海高考文 23)对于项数为 m 的有穷数列数集 {an } ,记 bk ? max ,即 bk 为 a1 , a2 , ?, ak 中的最大值,并称数列 {bn } 是 {an } 的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5.
(1)若各项均为正整数的数列 {an } 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 {an } ; (4 分) (2)设 {bn } 是 {an } 的控制数列,满足 ak ? bm ? k ?1 ? C (C 为常数,k=1,2,…,m). 求证: bk ? ak (k=1,2,…,m) ; (6 分)

, 1) .若 an ? an2 ? (?1) (3)设 m=100,常数 a ? ( 1 2
求 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) .

n ( n ?1 ) 2

n , {bn } 是 {an } 的控制数列,

解: (1)数列 {an } 为:2, 3, 4, 5, 1;2, 3, 4, 5, 2;2, 3, 4, 5, 3; 2, 3, 4, 5, 4;2, 3, 4, 5, 5. ……4 分

(2)因为 bk ? max{ a1 , a2 , ?, ak } , bk ?1 ? max{ a1 , a2 , ?, ak , ak ?1} , 所以 bk ?1 ? bk . 因为 ak ? bm ? k ?1 ? C , ak ?1 ? bm ? k ? C , 所以 ak ?1 ? ak ? bm ? k ?1 ? bm ? k ? 0 ,即 ak ?1 ? ak .
7

……6 分

……8 分

因此, bk ? ak .
2

……10 分
2

(3)对 k ? 1, 2, ?, 25 , a4 k ? 3 ? a(4k ? 3) ? (4k ? 3) ; a4 k ? 2 ? a(4k ? 2) ? (4k ? 2) ;

a4 k ?1 ? a(4k ? 1) 2 ? (4k ? 1) ; a4 k ? a(4k ) 2 ? (4k ) .
比较大小,可得 a4 k ? 2 ? a4 k ? 3 . ……12 分

? a ? 1 ,所以 a4 k ?1 ? a4 k ? 2 ? (a ? 1)(8k ? 3) ? 0 ,即 a4 k ? 2 ? a4 k ?1 ; 因为 1 2 a4 k ? a4 k ? 2 ? 2(2a ? 1)( 4k ? 1) ? 0 ,即 a4 k ? a4 k ? 2 .
又 a4 k ?1 ? a4 k , 从而 b4 k ? 3 ? a4 k ? 3 , b4 k ? 2 ? a4 k ? 2 , b4 k ?1 ? a4 k ? 2 , b4 k ? a4 k . 因此 (b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ? ? (b100 ? a100 ) = (b3 ? a3 ) ? (b7 ? a7 ) ? (b10 ? a10 ) ? ? ? (b4 k ?1 ? a4 k ?1 ) ? ? ? (b99 ? a99 ) = (a2 ? a3 ) ? (a6 ? a7 ) ? (a9 ? a10 ) ? ? ? (a4 k ? 2 ? a4 k ?1 ) ? ? ? (a98 ? a99 ) = ……15 分

? (a
k ?1

25

4k ?2

? a4 k ?1 ) = (1 ? a )? (8k ? 3) = 2525 (1 ? a) .
k ?1

25

……18 分

24.(2012 年上海高考理 23)对于数集 X ? {?1, x1 , x2 , ?, xn } ,其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集

Y ? {a | a ? ( s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P. (1)若 x>2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值;
(2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1; ) (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数) ,求有穷数列 x1 , x2 , ?, xn 的通项公式. 解: (1)选取 a1 ? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) . 所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 a1 ? ( x1 , x1 ) ? Y .设 a2 ? ( s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X. 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 2,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾.
8

……2 分 ……4 分

……7 分

选取 a1 ? ( x1 , xn ) ? Y ,并设 a2 ? ( s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 ,

所以 x1=1. (3)[解法一]猜测 xi ? q
i ?1

……10 分 ,i=1, 2, …, n. ……12 分

记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, …, n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 ? ( s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a 2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? ( s1 , t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1. 假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 ( s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与 s ? Ak 矛盾.所以

t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P.
现用数学归纳法证明: xi ? q 当 n=2 时,结论显然成立;
i ?1

……15 分 ,i=1, 2, …, n.
i ?1

假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? q 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, q
k ?1

,i=1, 2, …, k;

当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk }

, xk ?1} .

取 a1 ? ( xk ?1 , q) ,并设 a2 ? ( s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t 中有且只有一个为 -1. 若 t ? ?1,则 1,不可能; 所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? q 综上所述, xi ? q
i ?1
k ?1

? q k ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k .
……18 分
s1 t1

xi ? q i ?1 ,i=1, 2, …, n.

[解法二]设 a1 ? ( s1 , t1 ) , a2 ? ( s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于

? ? s22
t

.

| s ? X , t ? X , | s |?| t |} ,则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于 记 B ? {s t
原点对称. ……14 分 注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn } 共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn xn?1

?

xn xn?2

???

xn x2

?

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

xn x n ?1
x n ?1 x n?2

?
?

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

xn x2
x n ?1 x1

?

xn x1

……
x2 x1

注意到

xn x1

?
x

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为 ……18 分

2 k ?1 xk ? x1 ( x1 ) ? q k ?1 ,k=1, 2, …, n.

25.(2013 年上海高考文 22)已知函数 f ( x) ? 2 ? x ,无穷数列 ? an ? 满足 an ?1 ? f (an ) , n ? N * . (1)若 a1 ? 0 ,求 a2 , a3 , a4 ; (2)若 a1 ? 0 ,且 a1 , a2 , a3 成等比数列,求 a1 的值; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,?, an ,? 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ;若不存在,说明理由.
9

解(1) a2 ? 2 , a3 ? 0 , a4 ? 2 . (2) a2 ? 2 ? a1 ? 2 ? a1 , a3 ? 2 ? a2 ? 2 ? 2 ? a1 . ① 当 0 ? a1 ? 2 时, a3 ? 2 ? ? 2 ? a1 ? ? a1 ,所以 a1 ? ? 2 ? a1 ? ,得 a1 ? 1 .
2 2

② 当 a1 ? 2 时 , a3 ? 2 ?? a1 ?2? ? 4 ?a1, 所 以 a1 ? 4 ? a1 ? ? ? 2 ? a1 ? , 得 a1 ? 2 ? 2 ( 舍 去 ) 或
2

a1 ? 2 ? 2 .
综合①②得 a1 ? 1 或 a1 ? 2 ? 2 . (3)假设这样的等差数列存在,那么 a2 ? 2 ? a1 , a3 ? 2 ? 2 ? a1 . 由 2a2 ? a1 ? a3 得 2 ? a1 ? 2 ? a1 ? 2 a1 ( ? ) . 以下分情况讨论: ① 当 a1 ? 2 时,由( ? )得 a1 ? 0 ,与 a1 ? 2 矛盾; ② 当 0 ? a1 ? 2 时,由( ? )得 a1 ? 1 ,从而 an ? 1 所以 ?an ? 是一个等差数列; ③ 当 a1 ? 0 时,则公差 d ? a2 ? a1 ? ? a1 ? 2 ? ? a1 ? 2 ? 0 ,因此存在 m ? 2 使得

? n ? 1, 2,?? ,

am ? a1 ? 2 ? m ? 1? ? 2 .此时 d ? am?1 ? am ? 2 ? am ? am ? 0 ,矛盾.
综合①②③可知,当且仅当 a1 ? 1 时, a1 , a2 , a3 ? 构成等差数列.

26. ( 2013 年上海高考理 23 )给定常数 c ? 0 ,定义函数 f ( x) ? 2 x ? c ? 4 ? x ? c .数列 a1 , a2 , a3 ,? 满足

an ?1 ? f (an ) , n ? N * .
(1)若 a1 ? ?c ? 2 ,求 a2 及 a3 ; (2)求证:对任意 n ? N * , an ?1 ? an ? c ; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 ,?, an ,? 成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ;若不存在,说明理由. 解(1) a2 ? 2, a3 ? c ? 10 .

? x ? c ? 8, x ? ?c, ? (2) f ? x ? ? ?3 x ? 3c +8, ?c ? 4 ? x ? ?c, ? ? x ? c ? 8, x ? ?c ? 4. ?
当 an ? ?c 时, an ?1 ? an ? c ? 8 ? c ;
10

当 ?c ? 4 ? an ? ?c 时, an ?1 ? an ? 2an ? 3c ? 8 ? 2 ? ?c ? 4 ? ? 3c ? 8 ? c ; 当 an ? ?c ? 4 时, an ?1 ? an ? ?2an ? c ? 8 ? ?2 ? ?c ? 4 ? ? c ? 8 ? c . 所以,对任意 n ? N , an ?1 ? an ? c . (3)由(2) ,结合 c ? 0 得 an ?1 ? an ,即 ?an ? 为无穷递增数列. 又 ?an ? 为等差数列,所以存在正数 M ,当 n ? M 时, an ? ?c , 从而, an ?1 ? f (an ) ? an ? c ? 8 . 由于 ?an ? 为等差数列,因此其公差 d ? c ? 8 . ① 若 a1 ? ?c ? 4 ,则 a2 ? f (a1 ) ? ?a1 ? c ? 8 , 又 a2 ? a1 ? d ? a1 ? c ? 8 ,故 ?a1 ? c ? 8 ? a1 ? c ? 8 ,即 a1 ? ?c ? 8 ,从而 a2 ? 0 . 当 n ? 2 时,由于 ?an ? 为递增数列,故 an ? a2 ? 0 ? ?c , 所以, an ?1 ? f (an ) ? an ? c ? 8 ,而 a2 ? a1 ? c ? 8 , 故当 a1 ? ?c ? 8 时, ?an ? 为无穷等差数列,符合要求; ② 若 ?c ? 4 ? a1 ? ?c ,则 a2 ? f (a1 ) ? 3a1 ? 3c ? 8 ,又 a2 ? a1 ? d ? a1 ? c ? 8 , 所以, 3a1 ? 3c ? 8 ? a1 ? c ? 8 ,得 a1 ? ?c ,舍去; ③ 若 a1 ? ?c ,则由 an ? a1 得到 an ?1 ? f (an ) ? an ? c ? 8 , 从而 ?an ? 为无穷等差数列,符合要求. 综上, a1 的取值集合为 ? ?c, ?? ? ? ??c ? 8? .
?

11


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