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2012年国家公务员考试三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题


三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题 2011-03-21
对于容斥原理类的题目,近年来在公务员行政职业能力测验中考的不少。纵观历年真题,我们 可以发现:2006 年国家公务员考试考了一道三集合图示标数型;2007 年国家公务员考试考了 两道两集合型题目;2009 年国家公务员考试考了一道三集合的题目,可以直接套用三集合标准 型核心公式;2010 年和 2011 年国家公务员考试连续两年考了三集合整体重复型。因此,熟练 掌握三集合整体重复型公式成为了做题关键。 一、介绍三集合整体重复型核心公式 在三集合题型中,假设满足三个条件的元素数量分别是 A、B 和 C,而至少满足三个条件之 一的元素的总量为 W。其中,满足一个条件的元素数量为 x,满足两个条件的元素数量为 y,满 足三个条件的元素数量为 z,根据下图可以得到以下两个等式:

W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 二、典型的三集合整体重复型的题目讲解 例 1、某班有 35 个学生,每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外 、 活动。现已知参加英语小组的有 17 人,参加语文小组的有 30 人,参加数学小组的有 13 人。 如果有 5 个学生三个小组全参加了, 问有多少个学生只参加了一个小组?(2004 年浙江公务员考 试行测第 20 题) A. 15 人 【答案】A B.16 人 C.17 人 D.18 人

解析:此题有两种解法可以解出:

解一:如图,分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为 x、y、z,则 只参加英语小组的人为 17-5-x-y,只参加语文小组的人有 30-5-x-z,只参加数学小组的人有 13-5-y-z,则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参加 的人的总和为总人数,即 17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。则求 x+y+z=15,所以只参加一个小组的人数的和为 15。 解二:套用三集合整体重复型公式: W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 35=x+y+5 17+30+13=x×1+y×2+5×3 解得:x= 15,y=15 例 2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向 125 人进行调查,有 89 人看过甲 、 片,有 47 人看过乙片,有 63 人看过丙片,其中有 24 人三部电影全看过,20 人一部也没有看 过,则只看过其中两部电影的人数是( )(2009 年江苏公务员考试行测 A 类试卷第 19 题) A. 69 【答案】D 型公式: W=x+y+z A+B+C=x×1+y×2+z×3 B.65 C.57 D.46

解析:本题也是一道典型的三集合整体重复型题目,直接套用三集合整体重复

这里需要注意的是 W=105,而非 125, 105=x+y+24 89+47+63=x×1+y×2+24×3 两个方程,两个未知数,解出 y=46,这里 y 表示只看过两部电影的人数,即所求。 例 3、某高校对一些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中,准备参加注册会计师考试的 、 有 63 人,准备参加英语六级考试的有 89 人,准备参加计算机考试的有 47 人,三种考试都准 备参加的有 24 人,准备选择两种考试参加的有 46 人,不参加其中任何一种考试的有 15 人。 问接受调查的学生共有多少人?(2010 年国家公务员考试行测第 47 题) A. 120 【答案】A 人, W=x+46+24 63+89+47=x×1+46×2+24×3 通过解方程,可以求出 W=105,这只是至少准备参加一种考试的人数,所以接受调查的总 人数为 105+15=120。 例 4、某市对 52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检,其中有 8 种产品的低温柔度不合格, 、 10 种产品的可溶物含量不达标,9 种产品的接缝剪切性能不合格,同时两项不合格的有 7 种, 有 1 种产品这三项都不合格, 则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?(2011 年国家公务 员考试行测试卷第 74 题) A. 37 【答案】D W=x+7+1 8+10+9=x×1+7×2+1×3 可以解除 W=18,所以至少有一项不合格的有 18 种,则三项全部合格的建筑防水卷材产 品有 52-18=34。 在三集合整体重复型的题目中,我们需要辨认 A、B、C,x、y、z 具体指代什么,特别是 需要搞清 W 是哪个量,这里再强调一遍,至少满足三个条件之一的元素的总量为 W,而并非题 目总量即为 W,只要掌握这一点,这类题目即可迎刃而解。 B.36 C.35 D.34 B.144 C.177 D.192

解析:本题的特征也很明显,直接套用公式,只是要注意的是,题目中最后问

的是接受调查的总人数,我们求出 W 之后,还需要再加上不参加其中任何一种考试的那 15 个

解析:本题属于典型的三集合整体重复,直接套用公式:



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