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2015年2月福建省漳州八校高三数学(文)联考试卷及参考答案


2014-2015 学年上学期高三数学(文科)期末八校联考试卷
一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 A={﹣1,0,1},B={1,2},则 A∩ B 等于( ) A.{﹣1,0,1} 2.设 i 为虚数单位,复数 B.{0,1} 等于( ) C.{1} D.{1,2}

r />
A.1+i

B.﹣1﹣i

C.1﹣i

D.﹣1+i

3.如图是某几何体的三视图,其中俯视图和侧视图是半径为 1 的半圆,主视图是个圆,则该几何体 的全面积是( ) A.π C.3π B.2π D.4π ) D.5040 ) D.55

4.执行如图的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( A.120 B.720 C.1440

5.已知{an}为等差数列,且 a3+a8=8,则 S10 的值为( A.40 B.45 C.50

6.双曲线

的离心率 e 为(



A.

B.

C.

D.

7.已知 sin(

+α)= ,α∈(0,

) ,则 sin(π+α)=(



A.
2

B.﹣
2

C.

D.﹣

8.圆(x﹣1) +(y﹣2) =1 关于直线 y=x 对称的圆的方程为(
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A. (x﹣2) +(y﹣1) =1 2 2 C. (x+2) +(y﹣1) =1
2 2

2

2

B. (x+1) +(y﹣2) =1 2 2 D. (x﹣1) +(y+2) =1 )

2

2

9. 双曲线 x ﹣y =4 的两条渐近线与直线 x=3 围成一个三角形区域, 表示该区域的不等式组是 (

A.

B.

C.

D.

10.已知

均为单位向量,那么



的(



A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

11.设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若函数 y=f(x)﹣g(x)在 x∈[a, b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 g(x)在[a,b]上是“关联函数”,区间[a,b]称为“关联区间”.若 2 f(x)=x ﹣3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围为( ) A. (﹣ ,﹣2] B.[﹣1,0] C. (﹣∞,﹣2] D. (﹣ ,+∞)

12.G 是一个非空集合,“0”为定义 G 中任意两个元素之间的二元代数运算,若 G 及其运算满足对于 2 任意的 a, b∈G, a0b=c, 则 c∈G, 那么就说 G 关于这个“0”运算作成一个封闭集合, 如集合 A={x|x =1}, A 对于数的乘法作成一个封闭集合.以下四个结论: ① 集合{0}对于加法作成一个封闭集合; ② 集合 B={x|x=2n,n 为整数},B 对于数的减法作成一个封闭集合; ③ 集合 C={x|0<x≤1},C 对于数的乘法作成一个封闭集合; Φ Φ ④ 令 是全体大于零的实数所成的集合,R 对于数的乘法作成一个封闭集合; 其中,正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.某学校共有师生 2400 人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为 320 的样本,已 知从学生中抽取的人数为 280,那么该学校的教师人数是 . 14.已知函数 f(x)=mx +nx﹣2(m>0,n>0)的一个零点是 2,则
2

1 2 ? 的最小值为 m n



15.如图,一个等腰直角三角形的直角边长为 2,分别以三个顶点为 圆心,l 为半径 在三角形内作圆弧,三段圆弧与斜边围成区域 M (图中白色部分) .若在此三角形内 随机取一点 P,则点 P 落在区域 M 内的概率为 .
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16.已知函数 f(x)=

,若关于 x 的不等式 f(x)≥m ﹣ m 有解,则实数 m 的取

2

值范围为



三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 17.等差数列{an}中,已知 a1=3,a4=12, (I)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ )若 a2,a4 分别为等比数列{bn}的第 1 项和第 2 项,试求数列{bn}的通项公式及前 n 项和 Sn.

18.已知锐角△ ABC 中的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,定义向量 m =(2sinB, ,且 m ⊥ , (1)求 f(x)=sin2xcosB﹣cos2xsinB 的单调减区间; (2)如果 b=4,求△ ABC 面积的最大值.

) ,

19.沙糖桔是柑桔类的名优品种,因其味甜如砂糖故名,某果农选取一片山地种植沙糖桔,收获时, 该果农随机选取果树 20 株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg) ,获得的所有数据按照 区间(40,45], (45,50], (50,55], (55,60],进行分组,得到频率分布直方图如图 3,已知样本 中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的 倍. (1)求 a,b 的值; (2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树随机抽取两株,求产 量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率.

20.如图,已知 AB⊥ 平面 ACD,DE∥ AB,△ ACD 是正三角形, AD=DE=2AB,且 F 是 CD 的中点. (Ⅰ )求证:AF∥ 平面 BCE; (Ⅱ )求证:平面 BCE⊥ 平面 CDE.

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21.已知函数 f(x)=x +bx +cx 的极值点为 x=﹣ 和 x=1 (1)求 b,c 的值与 f(x)的单调区间 (2)当 x∈[﹣1,2]时,不等式 f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

3

2

22.已知椭圆

+

=1(a>b>0)过点(1,

) ,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,且 F1、F2 距

离为 2. (1)求椭圆的标准方程. (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴上方与椭圆交于 P1,P2 两点(P1 在 P2 的左侧) ,P1F1 和 P2F2 都是圆的切线,且 P1F1⊥ P2F2?如果存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.

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2014-2015 学年上学期高三数学(文科)期末八校联考答案
一、选择题: CDCBA ADAAB AA
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二、填空题:13. 300

14. 8

15. 1 ?

? 4

? 1 ? 16. ?? ,1? ? 4 ?

三、解答题: 17. 解: (I)设数列{an}的公差为 d,
由已知有 (2 分)

解得 d=3 (4 分) ∴ an=3+(n﹣1)3=3n (6 分) (Ⅱ )由(I)得 a2=6,a4=12,则 b1=6,b2=12, (8 分) 设 bn 的公比为 q,则 从而 bn=6?2
n﹣1

, (9 分) (11 分) (12 分) ) , =(2cos
2

=3?2

n

所以数列{bn}的前 n 项和 18. 解:∵ 向量 m =(2sinB, ∴ m ? =2sinBcosB+ ∴ 2B+

﹣1,cos2B) ,且 m ⊥ , )=0, (2 分)

cos2B=sin2B+ ,k∈Z, (4 分)

cos2B=2sin(2B+

=kπ,即 B= π﹣ ,∴ B= ,

∵ 0<B<

(1)f(x)=sin2xcosB﹣cos2xsinB=sin(2x﹣B)=sin(2x﹣ 由 2x﹣ (8 分) (2)由余弦定理得:16=a +c ﹣2accos ∴ S△ABC= acsin ≤4 , . (12 分)
2 2

) ,

(6 分) ,kπ+ ],k∈Z;

∈[2kπ+

,2kπ+

],k∈Z,得函数 f(x)的单调减区间为[kπ+

=a +c ﹣ac≥ac,

2

2

(10 分)

则△ ABC 面积的最大值为 4

19. 解: (1)由题意知:

解得:



(4 分)
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(2)在(50,55]中有 4 个个体,在(55,60]中有 2 个个体,所以(50,60]中共 6 个个体. 所以从(50,60]中任意抽取 2 个个体基本事件总数为 设“至少有一个个体落在(55,60]之间”为事件 A, 则 A 包含基本事件 15﹣C 所以 P(A)= = . =9 个, (12 分) (10 分) =15 个, (8 分)

20. 证明: (Ⅰ )取 CE 中点 P,连接 FP、BP, ∵ F 为 CD 的中点, ∴ FP∥ DE,且 FP= 又 AB∥ DE,且 AB= . .

∴ AB∥ FP,且 AB=FP, ∴ ABPF 为平行四边形,∴ AF∥ BP. (4 分) 又∵ AF ? 平面 BCE,BP ? 平面 BCE, ∴ AF∥ 平面 BCE (6 分) (Ⅱ )∵ △ ACD 为正三角形,∴ AF⊥ CD ∵ AB⊥ 平面 ACD,DE∥ AB ∴ DE⊥ 平面 ACD 又 AF ? 平面 ACD ∴ DE⊥ AF 又 AF⊥ CD,CD∩ DE=D ∴ AF⊥ 平面 CDE (10 分) 又 BP∥ AF∴ BP⊥ 平面 CDE 又∵ BP ? 平面 BCE ∴ 平面 BCE⊥ 平面 CDE (12 分)
3 2 21. 解: (1)∵ f(x)=x +bx +cx,

∴ f'(x)=3x +2bx+c, ∵ f(x)的极值点为 x=﹣ 和 x=1 ∴ f'(1)=3+2b+c=0,f'( 解得,b= ,c=﹣3 )= ﹣ b+c=0, (4 分)

2

∴ f'(x)=(3x+2) (x﹣1) , 当 f'(x)>0 时,解得 x<﹣ ,或 x>1,

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当 f'(x)<0 时,解得﹣ <x<1, 故函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣ )和(1,+∞) ,单调减区间为(﹣ ,1) , (6 分) (2)有(1)知 f(x)=x ﹣ x ﹣2x,x∈[﹣1,2], 故函数在[﹣1,﹣ )和(1,2]单调递增增,在(﹣ ,1)单调递减, (8 分) 当 x=﹣ ,函数有极大值,f( )= ,f(2)=2,
3 2

所以函数的最大值为 2, (10 分) 所以不等式 f(x)<m 在 x∈[﹣1,2]时恒成立, 故 m>2 故实数 m 的取值范围为(2,+∞). (12 分)

22. 解: (1)∵ 椭圆

+

=1(a>b>0)过点(1,

) ,

F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,且 F1、F2 距离为 2,



,解得



∴ 椭圆的标准方程为

. (4 分) 相交,

(2)如图,设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0, F1P1,F2P2 是圆 C 的切线,且 F1P1⊥ F2P2, 由圆和椭圆的对称性,知 ,y1=y2,

|P1P2|=2|x1|, 由(1)知 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) , 所以 =(x1+1,y1) ,
2

=(﹣x1﹣1,y1) ,再由 F1P1⊥



得﹣(x1+1) +

=0,

由椭圆方程得 1﹣

=(x1+1) ,即

2

=0,

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解得

或 x1=0.

当 x1=0 时,P1,P2 重合,此时题设要求的圆不存在. 当 时,过 P1,P2 分别与 F1P1,F2P2 垂直的直线的交点即为圆心 C,

设 C(0,y0) ,由 CP1⊥ F1P1,得 而 y1=|x1+1|= ,故 圆 C 的半径|CP1|= 综上,存在满足条件的圆,其方程为: , = .



=



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