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高中数学人教A版选修2-3课时训练:2.3.1离散型随机变量的均值


课时训练 11
一、选择题

离散型随机变量的均值
).

1.随机抛掷一枚骰子,则所得骰子点数 ξ 的数学期望是( A.0.6 答案:C 解析:由已知可得 ξ 的分布列为 P(ξ=k)=(k=1,2,3,4,5,6), 故 E(ξ)=1× +2× +3× +4× +5× +6× =21× =3.5. 2.已知离散型随机

变量 ξ 的分布列如下:
ξ P 0 0.3 1 3k 2 4k

B.1

C.3.5

D.2

随机变量 η=2ξ+1,则 η 的数学期望为( A.1.1 答案:B 解析:由 0.3+3k+4k=1,得 k=0.1, 故 E(ξ)=0× 0.3+1× 0.3+2× 0.4=1.1, E(η)=2E(ξ)+1=2× 1.1+1=3.2. B.3.2 C.11k

). D.22k

3.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒, 补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( A.100 答案:B 解析:1 000 粒种子的发芽数记为随机变量 η,则 η 服从二项分布,记 η~B(1 000,0.9). 则 E(η)=1 000× 0.9=900. ∵发芽种子数的数学期望为 900. ∴补种数的数学期望为 2× (1 000-900)=200. 4.设随机变量 X 的分布列如下表:
X P 0 0.1 1 a 2 b 3 0.1

). D.400

B.200

C.300

且 E(ξ)=1.6,则 a-b=(

).

A.-0.2 答案:A 解析:根据题意,有

B.-0.4

C.0.1

D.0.2

解得所以 a-b=-0.2. 5.设 10 件产品中含有 3 件次品,从中抽取 2 件进行检查,则查得次品数的数学期望为( A. 答案:B 解析:用 ξ 表示抽取 2 件产品的次品件数,则 ξ 的分布列为
ξ P 0 1 2

).

B.

C.

D.

故 E(ξ)=0× +1×+2×. 6.已知随机变量 X 的分布列如下表所示:
X P -1 0 1 2

则 E(X2)的值是( A. 答案:C

). B. C. D.

解析:随机变量 X2 的分布列如下:
X2 P 0 1 4

E(X2)=0× +1× +4× .

7.(2014 上海交大附中高三月考)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小 的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( A. C. 答案:B ). B. D.

解析:由题意知 X 可能的取值为 0,1,2,3, 故有 P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,E(X)=0× P(X=0)+1× P(X=1)+2× P(X=2)+3× P(X=3)=0× +1× +2× +3× . 二、填空题 8.同时抛掷两颗骰子,至少有一个 3 点或 6 点出现时,就说这次试验成功,则在 9 次试验中,成功次 数 ξ 的数学期望是 答案:5 解析:由已知同时抛掷两颗骰子一次,至少有一个 3 点或 6 点出现时的概率为 P=, 故 9 次试验相当于独立重复试验 9 次,则成功次数 ξ 服从二项分布,且 ξ~B. 因此 E(ξ)=9× =5. 9.(2014 上海静安、杨浦、青浦、宝山四区高考模拟)从 5 男和 3 女 8 位志愿者中任选 3 人参加 冬奥会火炬接力活动,若随机变量 ξ 表示所选 3 人中女志愿者的人数,则 ξ 的数学期望是 答案: 解析:由 8 位志愿者中任选 3 人参加冬奥会火炬接力活动共有=56 种情况.所以 P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=. 所以 ξ 的数学期望是 E(ξ)=× 2+× 3=. 10.节日期间,某种鲜花的进价是每束 2.5 元,售价是每束 5 元,节后对没有卖出的鲜花以每束 1.6 元处理.根据前 5 年节日期间对这种鲜花需求量 ξ(束)的统计(如下表),若进这种鲜花 500 束在今 年节日期间销售,则利润的均值是
ξ P 200 0.20

.

.

元.
300 0.35 400 0.30 500 0.15

答案:706 解析:节日期间这种鲜花需求量的均值为 E(ξ)=200× 0.20+300× 0.35+400× 0.30+500× 0.15=340(束). 设利润为 η,则 η=5ξ+1.6× (500-ξ)-500× 2.5 =3.4ξ-450, 所以 E(η)=3.4E(ξ)-450=3.4× 340-450=706(元). 三、解答题 11.(2014 安徽高考)甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未 出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,各局比赛结 果相互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;

(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值(数学期望). 解:用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”,Ak 表示“第 k 局甲获胜”,Bk 表示“第 k 局乙获胜”, 则 P(Ak)=,P(Bk)=,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)· P(B2)P(A3)P(A4) =. (2)X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=, P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)· P(B4)=, P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=. 故 X 的分布列为
X P 2 3 4 5

E(X)=2× +3× +4× +5× . 12.(2014 湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为.现安排甲 组研发新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业可获利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 分析:在第(1)问中,考虑到欲求概率的事件包含的互斥事件较多,因此可先求其对立事件的概率, 再根据互为对立事件的概率之和为 1,求得原事件的概率.在第(2)问中,先列出该企业所获利润的 所有可能的取值,然后用相互独立事件的概率公式求出各个概率值,列出表格即得分布列,最后利 用数学期望的定义求得期望值. 解:记 E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功}.由题设知 P(E)=,P()=,P(F)=,P()=, 且事件 E 与 F,E 与与 F,都相互独立. (1)记 H={至少有一种新产品研发成功},则,于是 P()=P()P()=, 故所求的概率为 P(H)=1-P()=1-. (2)设企业可获利润为 X(万元),则 X 的可能取值为 0,100,120,220. 因 P(X=0)=P()=,

P(X=100)=P(F)=, P(X=120)=P(E)=, P(X=220)=P(EF)=, 故所求的分布列为
X P 0 100 120 220

数学期望为 E(X)=0× +100× +120× +220× =140. 13.(2014 山东日照一中高三开学考试)计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行,每部 分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”并颁发合格证 书,甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为,在实际操作考试中“合格”的概率依次为, 所有考试是否合格相互之间没有影响. (1)假设甲、乙、丙 3 人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性大? (2)求这 3 人进行理论与实际操作两项考试后,恰有 2 人获得合格证书的概率; (3)用 X 表示甲、乙、丙 3 人计算机考试获合格证书的人数,求 X 的分布列和数学期望 EX. 解:(1)记“甲获得合格证书”为事件 A,“乙获得合格证书”为事件 B,“丙获得合格证书”为事件 C,则 P(A)=,P(B)=,P(C)= . 因 P(C)>P(B)>P(A),所以丙获得合格证书的可能性大. (2)设“3 人考试后恰有 2 人获得合格证书”为事件 D,则 P(D)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=. 故恰有 2 人获得合格证书的概率为. (3)X 的可能取值为 0,1,2,3, 且 P(X=0)=, 由(2)知 P(X=2)=P(D)=, P(X=3)=, P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)-P(X=3)=1-. 故 X 的分布列为
X P 0 1 2 3

X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× .


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