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一元二次不等式解法(预备课)


一元二次不等式解法

引例.画出函数y=x2-x-6的图象,并根据图象回答:
(1).图象与x轴交点的坐标为 (-2, 0),(3, 0) ,该坐标与方 程 x2 -x-6=0的解有什系:交点的横坐标即为方程的根 。 (2).当x取 x= -2 或 3 时,y=0? 当x取 x<-2 或 x>3时,y>0? 当x取 -2 < x <3 时,y<0? y (3).由图象写出: 不等式x2 -x-6>0 的 y>0 y>0 解集为 ﹛x|x<-2或x>3﹜ 。 o o o o x 0 -2 3 2 不等式x -x-6<0 的 y<0 ﹛ x| -2 <x <3 ﹜ 解集为 。

一元二次不等式的解集如下表
⊿=b2-4ac
二次函数

⊿> 0
Y

⊿=0
Y

⊿< 0
Y

y=ax2+bx+c
(a >0)的图象

0 x1 x2

X

0 x1=x2

X

0

X

方程

ax2+bx+c=0
的根

有两个不等 实根 x1、x2

有两个相 等实根 x1=x2 = -b/2a

无实根

ax2+bx+c>0
的解集

﹛x|x<x1或 x>x2﹜
{x|x1<x<x2}

{x|x≠-b/2a}
Φ

R

ax2+bx+c<0
的解集

Φ

例1、解不等式: x2-2x-15≥0 解:∵ ⊿= 22 +4× 15 > 0 ∴方程x2-2x-15=0
y

的两根为: x=-3 或 x=5
∴ 不等式的解集为: {x│ x ≤-3 或x ≥5}。

-3 0




5 x

练习:对应学案练习

解一元二次不等式的方法步骤是: 方法:数形结合

步骤: (1)化成标准形式 (a>0):
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 (2)求⊿,解方程,画图象; (3)根据图象写出解集 。

例2. 已知一元二次不等式 ax ? bx ? 6 ? 0 的解集 为{x │- 2 <x<3}, 求 a ? b的值.
2

分析:二次不等式的解是通过二次方程的根 2 来确定的, 由此可以理解为 ax ? bx ? 6 ? 0 的根为 - 2 , 3。

解法一:由条件可知方程 ax ? bx ? 6=0 的根 为-2,3由根与系数之间的关系得
2
?1 ? ?b a ? 6 ??6 ?a

a ? ?1 则 a ? b ? ?2 解方程组得: b ?1

?

例2、 已知一元二次不等式a x2 +bx+6>0的解 集为{x │- 2 <x<3}, 求a-b的值. 解法二:由条件可知 : 方程 a x2 +bx+6=0的根-2、3 , 代入方程可得:
4a-2b+6=0 9a+3b+6=0 解方程组得: a=-1 b=1 则a-b=-2

练习:已知一元二次不等式 x ? ax ? b ? 0 的解 2 集为{x │2 <x<3}, 求 bx ? ax ? 1 ? 0 的值.
2

? 1 1? ?x ? ? x ? ? ? 2 3? ?

解一元二次不等式的方法步骤是: 方法:数形结合

步骤: (1)化成标准形式 (a>0):
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0 (2)求⊿,解方程,画图象; (3)根据图象写出解集 。


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