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高中数学必修1函数的应用练习题+答案


函数的应用练习题
1、函数零点的求法: ① (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② ( 几 何 法 ) 对 于 不 能 用 求 根 公 式 的 方 程 , 可 以 将 它 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 联 系 起 来 , 并利用函数的性质找出零点. 2、基本初等函数的零点: ①正比例函数 y ? kx(k ? 0) 仅有一个零点。

/>
k (k ? 0) 没有零点。 x ③一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) 仅有一个零点。
②反比例函数 y ? ④二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二 次函数有两个零点.
2

(2)△=0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二 次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. ⑤指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 没有零点。 ⑥对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 仅有一个零点 1. ⑦幂函数 y ? x? ,当 n ? 0 时,仅有一个零点 0,当 n ? 0 时,没有零点。 3、选择题判断区间 ? a, b ? 上是否含有零点,只需满足 f ? a ? f ? b ? ? 0 4、确定零点在某区间 ? a, b ? 个数是唯一的条件是:① f ? x ? 在区间上连续,且 f ? a ? f ? b ? ? 0 ②在区间 ? a, b ? 上单调。 5、函数的模型:根据散点图设想比较接近的可能的函数模型: 一次函数模型: f ( x) ? kx ? b(k ? 0); 二次函数模型: g ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0);
2

幂函数模型: h( x) ? ax 2 ? b(a ? 0); 指数函数模型: l ( x) ? ab
x

1

? c ( a ? 0, b >0, b ? 1 )

利用待定系数法求出各解析式,并对各模型进行分析评价,选出合适的函数模型 6、二次函数的表达式

一般式:y ? ax2 ? bx ? c?a, b, c为常数,a ? 0?

? b 4ac ? b 2 ? 定点坐标? ? ? 2a , 4a ? ? ? ?
2

对称轴:x ? ?

b 2a

顶点式: y ? a?x ? h? ? k ?a, h, k为常数, a ? 0? 两根式:y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ??a, x1 , x2为常数, a ? 0?

一、选择题 1.y=x-2 的图象与 x 轴的交点坐标及其零点分别是( A.2;2 C.-2;-2 B.(2,0);2 D.(-2,0);-2 ) )

2.函数 f(x)=x2+4x+a 没有零点,则实数 a 的取值范围是( A.a<4 B.a>4 C.a≤4 ) D .3 D.a≥4

3.函数 f(x)=x2+x+3 的零点的个数是( A.0 B. 1 C .2

4.函数 f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点是-3,则它的另一个零 点是( A.-1 ) B.1 C.-2 ) D.2

5.下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( A.f(x)=3x2-4x+5 C.f(x)=lnx-3x+6

B.f(x)=x3-5x-5 D.f(x)=ex+3x-6

6.若函数 f(x)=ax+b 的零点是 2,则函数 g(x)=bx2-ax 的零点是 A.0,2 7.函数 B.0, 1 2 C.0,- 1 2 D.2,- ) D.3 ) 1 2

2 ? ?x +2x-3,x≤0, f(x)=? ? ?-2+lnx,x>0

的零点个数为( C .2

A.0 8. 函数 y=x
3

B.1
1? 与 y?? ? ? ?2?
x

的图象的交点为(x0, y0), 则 x0 所在区间为( B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

A.(-2,-1)

9.若函数 f(x)=x2-ax+b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2- ax-1 的零点是( A.-1 和 1 6 ) B.1 和- 1 6 C. 1 1 1 1 和 D.- 和- 2 3 2 3

10.某工厂生产甲、乙两种成本不同的产品,原来按成本价出售,由 于市场销售发生变化,甲产品连续两次提价,每次提价都是 20%; 同时乙产品连续两次降价,每次降价都是 20%,结果都以 92.16 元出 售,此时厂家同时出售甲、乙产品各一件,盈亏的情况是( A.不亏不盈 C.赚 47.32 元 二、填空题 1.函数 f(x)=x2-4x-5 的零点是________. 2. 已知对于任意实数 x,函数 f(x)满足 f(-x)=f(x).若 f(x)有 2 009 个零点,则这 2 009 个零点之和为________. 6.方程 2 x+x2=3 的实数解的个数为_______.


)

B.赚 23.68 元 D.亏 23.68 元

7. 英语老师准备存款 5000 元. 银行的定期存款中存期为 1 年的年利 率 1.98%.试计算五年后本金和利息共有________元.(列算式即可) 三、解答题 1. 已知函数 f(x)=2x-x2, 问方程 f(x)=0 在区间[-1, 0]内是否有解, 为什么?

2.函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,求函数 g(x)=bx2-ax -1 的零点.

3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的零点是-2 和 3,当 x∈(-2,3)时, f(x)<0,且 f(-6)=36,求二次函数的解析式.

4.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在(-∞,0]上递增,函数 f(x)的一个 1 零点为- ,求满足 f(log1x)≥0 的 x 的取值集合. 2 4

必修 1 函数的应用复习题答案
一、选择题 1—5 BCCBA 6—10 CDABD 11—12 BC 二、填空题 13. 充分不必要条件 14. 0<m≤1 15. 2 16. 250 三、解答题 17. 【解】 1 ∵ 是函数 f(x)的零点, 3 1 1 ∴f( )=0,即 b+2=0,解得 b=-6. 3 3 2 ∴g(x)=x +5x-6, 由 x2+5x-6=0,得 x=1 或 x=-6, ∴g(x)的零点为 1 和-6. 18. 【解】 (1)当 x∈(0,1)时,g(x)=log2x<0, 1 1 f(x)=( )|x-1|=( )1-x>0, 2 2 ∴方程 f(x)=g(x)在(0,1)内无实根, ∴φ (x)=f(x)-g(x)在(0,1)内无零点. 1 (2)当 x∈[1,2]时,f(x)=( )x-1, 2 1 ∴φ (x)=f(x)-g(x)=( )x-1-log2x 在[1,2]上是减函数, 2 且 φ (x)的图象连续不间断, 1 1 又 φ (1)=1-0=1>0,φ (2)= -1=- <0, 2 2 ∴φ (1)·φ (2)<0, 因此 φ (x)在(0,2)内有唯一零点, 根据(1)、(2)知,φ (x)=f(x)-g(x)在(0,2]内有唯一的零点. 19. 【解】 取价格区间[500,1 000]的中点 750,如果主持人说低了,就再取 [750,1 000]的中点 875;否则取另一个区间(500,750)的中点; 若遇到小数取整数.照这样的方案, 游戏过程猜测价如下:750,875,812,843,859,851, 经过 6 次可猜中价格. 20. 【解】 (1)当 a=1,b=-2 时,f(x)=x 2 -2x-3, 令 f(x)=0,得 x=3 或 x=-1. ∴函数 f(x)的零点为 3 或-1. (2)依题意,f(x)=ax 2 +bx+b-1=0 有两个不同实根, 300

∴b 2 -4a(b-1)>0 恒成立, 即对于任意 b∈R,b 2 -4ab+4a>0 恒成立, 所以有(-4a) 2 -4(4a)<0?a 2 -a<0, ∴a 2 -a<0,解之得 0<a<1, 因此实数 a 的取值范围是(0,1). 21. 【解】 (1)由题意,得 x∈[1,100],且 x∈N*. P(x)=R(x)-C(x) 2 =(3000x-20x )-(500x+4000) =-20x2+2 500x-4000, MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000] -(-20x2+2500x-4000)=2480-40x. 125 2 (2)P(x)=-20(x- ) +74 125, 2 当 x=62 或 x=63 时,P(x)取得最大值 74120; 因为 MP(x)=2480-40x 是减函数, 所以当 x=1 时,MP(x)取得最大值 2440. 故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 71680.

(1)因为 x =5 时,y=11,所以 +10 =11,a=2. 2 2 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6) . x -3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 2 2 2 f(x)=(x-3)[ +10(x-6) ]=2+10(x-3)(x-6) ,3<x<6. x-3 2 从而,f ′(x)=10[(x-6) +2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 【解】

a

x f′(x) f(x)

(3,4) +

4 0

(4,6) -

单调递增 极大值 42 单调递减

由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大


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