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2016届(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第八章 解析几何 第二节 两直线的位置关系


第二节

两直线的位置关系

基础盘查一

两直线平行与垂直

(一)循纲忆知
能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.

(二)小题查验
1.判断正误

(1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时,一定有 k1=k2?l1∥l2

( × )

(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1 ( × )
(3)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1, C1,A2,B2,C2 为常数),若直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0( √ )

2. (人教 B 版教材习题改编)过点(1,2)与直线 2x+y-10=0 垂直的

x-2y+3=0 . 直线方程为____________

基础盘查二

两直线的交点

(一)循纲忆知
能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

(二)小题查验
1.判断正误
(1)l1: y=k1x+b1, l2: y=k2x+b2, 当 k1≠k2 时, l1 与 l2 相交( √ )

(2)过 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直 线方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R) ( × )

2.(人教 A 版教材习题改编)经过两直线 2x+y-8=0 与 x-2y +1=0 的交点,且平行于直线 4x-3y-7=0 的直线方程为

4x-3y-6=0 . _____________

基础盘查三

距离公式

(一)循纲忆知
掌握两点间的距离公式、 点到直线的距离公式, 会求两条平 行直线间的距离.

(二)小题查验
1.判断正误
|kx0+b| (1)点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 1+k2 ( × )

(2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距 离 ( √ )

(3)若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的 1 斜率等于-k,且线段 AB 的中点在直线 l 上 (√ )

2.(北师大版教材习题改编 )两平行直线 l1,l2 分别过 A(1,0), B(0,5),若 l1 与 l2 的距离为 5,则 l1 与 l2 的方程分别为 l1:

y=5 或 5x-12y+60=0 y=0 或 5x-12y-5=0 ,l2:_______________________. _______________________

考点一

两直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)

[必备知识]
1.判定两直线平行的方法 (1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截 式,若k1=k2,且b1≠b2,则两直线平行;若斜率都不存在,还 要判定是否重合.

(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0.

2.判定两直线垂直的方法
(1)判定两直线的斜率是否存在, 若存在, 可先化成斜截式, 若 k1· k2=-1,则两直线垂直;若一条直线的斜率不存在,另 一条直线的斜率为 0,则两直线也垂直.

(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: 设直线 l1:A1x+B1y+C1= 0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1⊥l2 ?A1A2+B1B2=0.

3.求两条直线的交点

对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,它
? ?A1x+B1y+C1=0, 们的交点可由? ? ?A2x+B2y+C2=0

求解.

[题组练透]
1.(2015· 北京海淀区期末)已知直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:mx -y=0 平行,则实数 m 的取值为( 1 A.- 2 C.2 1 B. 2 D.-2 )

解析:因为直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:mx-y=0 平行, m -1 1 所以 = ≠0,解得 m=- ,故选 A. 1 2 2

2.(2015· 浙江名校联考)已知直线 l1:x+(a-2)y-2=0,l2:(a-2)x +ay-1=0,则“a=-1”是“l1⊥l2”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若 a=-1,则 l1:x-3y-2=0,l2:-3x-y-1=0, 显然两条直线垂直;若 l1⊥l2,则(a-2)+a(a-2)=0,∴a= -1 或 a=2,因此,“a=-1”是“l1⊥l2”的充分不必要条 件,故选 A.

3.(2015· 浙江温州十校联考)过两直线 2x-y-5=0 和 x+y+2=0

3x+y=0 . 的交点且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程为___________
解析:
? ?2x-y-5=0, 联立? ? ?x+y+2=0,

得交点 P(1,-3).

设过点 P 且与直线 3x+y-1=0 平行的直线方程为 3x+y+m =0,则 3×1-3+m=0,解得 m=0.

[类题通法]

1. 充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键, 对于斜率都存在且不重合的两条直线 l1 和 l2,l1∥l2?k1=k2,l1 ⊥l2?k1· k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线 的斜率是多少一定要特别注意.

2.两直线交点的求法
求两直线交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以 方程组的解为坐标的点即为交点.

3.常见的三大直线系方程

(1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m =0(m∈R 且 m≠C). (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+m =0(m∈R).
(3)过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的 交点的直线系方程为 A1x + B1y + C1 + λ(A2x+ B2y + C2) = 0(λ ∈ R),但不包括 l2.

考点二

距离问题 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
1.两点间的距离公式 平面上任意两点 P1(x1,y1), P2(x2,y2)间的距离公式为 |P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2.

2.点到直线的距离公式 |Ax0+By0+C| 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d= . 2 2 A +B
3.两平行直线间的距离公式 两条平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离为 |C1-C2| d= 2 . A +B2

[提醒]

在解题过程中, 易忽略点到直线与两平行直线间的距

离公式中要求直线方程必须是一般式,导致出现错解.特别是两 平行直线间的距离公式中,两直线方程的一般式中的 x,y 的系数 要对应相等.

[典题例析]
已知点P(2,-1). (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程. (2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程,最大距离是多 少? (3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方 程;若不存在,请说明理由.

解:(1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2,而点 P 的坐标为 (2,-1),显然,过 P(2,-1)且垂直于 x 轴的直线满足条件, 此时 l 的斜率不存在,其方程为 x=2. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0. |-2k-1| 3 由已知得 =2,解得 k= . 2 4 k +1 此时 l 的方程为 3x-4y-10=0. 综上,可得直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0.

(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线,如图.

1 由 l⊥OP,得 klkOP=-1,所以 kl=-k =2. OP 由直线方程的点斜式得 y+1=2(x-2), 即 2x-y-5=0. 所以直线 2x-y-5=0 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线, |-5| 最大距离为 = 5. 5 (3)由(2)可知,过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线,因 此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线.

[类题通法]

解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离 公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率 法,此时必须讨论斜率是否存在.

[演练冲关]

已知 l1,l2 是分别经过 A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当

x+2y-3=0 . l1,l2 间的距离最大时,则直线 l1 的方程是______________
解析: 当直线 AB 与 l1, l2 垂直时, l1, l2 间的距离最大. 因为 A(1,1), -1-1 B(0,-1),所以 kAB= =2,所以两平行直线的斜率为 k 0-1 1 1 =- ,所以直线 l1 的方程是 y-1=- (x-1),即 x+2y-3=0. 2 2

考点三

对称问题 (常考常新型考点——多角探明)
[必备知识]

1.中心对称
(1)点关于点对称: 若点 M(x1,y1)与 N(x,y)关于 P(a,b)对
? ?x=2a-x1, 称,则由中点坐标公式得? ? ?y=2b-y1,

进而求解.

(2)直线关于点对称问题的主要解法:在已知直线上取两点,
利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两 点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 l1∥l2,由点 斜式得到所求的直线方程.

2.轴对称
(1)点关于直线的对称 若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对 称,则线段P1P2的中点在对称轴l上,且连接P1P2的直线垂直于 对称轴l,
?y1+y2? x1+x2? ? ? ? ? ? ? ? A? + B ? ? 2 ?+C=0, 2 ? ? ? 由方程组? ? ? ?A?y1-y2?=B?x1-x2?,

可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中A≠0, x1≠x2).

特别地,若直线 l:Ax+By+C=0 满足|A|=|B|,则 P1(x1,y1) 与
? ?Ax1+By2+C=0, P2(x2,y2)坐标关系为? ? ?Ax2+By1+C=0.

(2)直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情 况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.

[多角探明]

对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能
力的一种常见题型.归纳起来常见的命题角度有:
(1)点关于点对称;

(2)点关于线对称; (3)线关于线对称; (4)对称问题的应用.

角度一:点关于点的对称
1.过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x- 3y+10=0 截得的线段被点 P 平分,求直线 l 的方程.
解:设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a), 则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6)在 l2 上, 代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0, 解得 a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上, 所以由两点式得直线 l 的方程为 x+4y-4=0.

角度二:点关于线对称
2.已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2),求点 A 关于 直线 l 的对称点 A′的坐标.

解:设 A′(x,y), ? ?y+2×2=-1, ?x+1 3 再由已知得? x-1 y-2 ? 2× -3× +1=0, ? 2 2 ? 33 ? ?x=-13, 解得? ?y= 4 , ? 13
? 33 4? A′?-13,13?. ? ?



角度三:线关于线对称
3.在[角度二]的条件下,求直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的 对称直线 m′的方程.

解:在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的 对称点 M′必在直线 m′上. 设对称点 M′(a,b),则
? ? ? ? ? ?2×?a+2?-3×?b+0?+1=0, ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?b-0 2 × =-1, ? 3 a - 2 ?



?6 30? M′?13,13?. ? ?

设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则
? ?2x-3y+1=0, 由? ? ?3x-2y-6=0,

得 N(4,3).

又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0.

角度四:对称问题的应用
4.已知光线从 A(-4,-2)点射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直 线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰 好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程.
解:作出草图,如图所示,设 A 关于直线 y =x 的对称点为 A′,D 关于 y 轴的对称点 为 D′, 则易得 A′(-2, -4), D′(1,6). 由 入射角等于反射角可得 A′D′所在直线经 过点 B 与 C. y- 6 x- 1 故 BC 所在的直线方程为 = ,即 10x-3y+8=0. -4-6 -2-1

[类题通法]

对称问题的解题策略 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴 对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键 是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点 的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个 方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.

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