tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数的图象(1)学案 理


导数与定积分应用(尖刀班) (1)
一、 知识梳理: (阅读选修教材 2-2 第 2 页—第 21 页) 1、 导数及有关概念: 函数的平均变化率:设函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处附近有定义,当自变量在 x ? x0 处有

?y 增量 ?x 时, 则函数 y ? f ( x) 相应地有增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , 如果 ?x ? 0 时,
与 ?x 的比

?y ?y (也叫函数的平均变化率)有极限即 无限趋近于某个常数,我们把这个 ?x ?x
x ? x0

极 限 值 叫 做 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 导 数 , 记 作 y?

, 即

f ?( x0 ) ? lim

?x ? 0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

在定义式中,设 x ? x0 ? ?x ,则 ?x ? x ? x0 ,当 ?x 趋近于 0 时, x 趋近于 x0 ,因此, 导数的定义式可写成

f ?( x0 ) ? lim

?x ?o

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f ( x0 ) ? lim . x ? x0 ?x x ? x0
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 是函数 y ? f ( x) 在点 x0 的处瞬时变化率,它反 ?x

2. 导数的物理意义和几何意义:
导数 f ?( x0 ) ? lim
?x ? 0

映的函数 y ? f ( x) 在点 x0 处变化 的快慢程度. .. 它的几何意义是曲线 y ? f ( x) 上点( x0 , f ( x0 ) )处的切线的斜率. 即 k ? f ?( x0 ) , 要注意“过点 A 的曲线的切线方程”与“在点 A 处的切线方程”是不尽相同的,后者 A 必为切点,前者未必是切点. 为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) 3. 导函数(导数): 因此,如果 y ? f ( x) 在点 x0 可导,则曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )处的切线方程

如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内的每点处都有导数,此时对于每一个 x ? (a, b) , 都对应着一个确定的导数 f ?( x ) ,从而构成了一个新的函数 f ?( x ) , 称这个函数 f ?( x ) 为函 数 y ? f ( x) 在 开 区 间 内 的 导 函 数 , 简 称 导 .数 ., 也 可 记 作 y ? , 即 f ?( x ) = y ? =

?x ?0

lim

?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? lim ? x ? 0 ?x ?x
说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求

1

一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值. 函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数 y? 上导数 f ?( x ) 在 x0 处的函数值, 即 y? 作 f ?( x0 )
王新敞
奎屯 新疆

x ? x0

就是函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) ( x ? (a, b))

x ? x0

= f ?( x0 ) .所以函数 y ? f ( x) 在 x0 处的导数也记

4. 可导与连续的关系:如果函数 y ? f ( x) 在开区间 ( a, b) 内每一点都有导数,则称函数 y ? f ( x) 在开区间 (a, b) 内可导;如果函数 y ? f ( x) 在点 x0 处可导,那么函数 y ? f ( x) 在 点 x0 处连续,反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条 件. 5.求函数 y ? f ( x) 的导数的一般步骤:

?1? 求函数的改变量 ?y ?
? 2 ? 求平均变化率 ?x ? ? 3? 取极限,得导数 y? ?
6.几种常见函数的导数:

f ( x ? ?x) ? f ( x)

?y

f ( x ? ?x) ? f ( x) ; ?x

f ?( x) ? lim

?y ?x ?0 ?x

C ' ? 0 ( C 为常数); ( x n )' ? nxn?1 ( n ? Q );

(sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x ;
(ln x )? ? 1 1 ; (log a x)? ? log a e , x x

(e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a
7.求导法则: 法则 1 [u( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v?( x) . 法则 2

[u( x)v( x)]? ? u?( x)v( x) ? u( x)v?( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x)
'

? u ? u ' v ? uv ' 法则 3 : ? ? ? (v ? 0) v2 ?v?
8.复合函数的导数: (1).(理科)设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u?x ? ? ?( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 的对应 点 u 处有导数 y?u ? f ? ?u ? , 则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处也有导数, 且 y' x ? y'u ?u' x 或

f ?x (? ( x)) ? f ?(u) ? ??( x)

(理科)复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的 (2).复合函数的求导法则: 导数,乘以中间变量对自变量的导数
王新敞
奎屯 新疆

2

(3).复合函数求导的基本步骤:分解——求导——相乘——回代 9.函数的单调性与导数的关系:利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:

?1? 求 f ?( x) ; ? 2 ? 确定 f ?( x) 在 ? a, b ? 内符号; ? 3? 若 f ?( x) ? 0 在 ? a, b ? 上恒成立,则 f ( x) 在

? a, b ? 上是增函数;若 f ?( x) ? 0 在 ? a, b ? 上恒成立,则 f ( x) 在 ? a, b ? 上是减函数
① f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为增函数( f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数). ② f ( x) 在区间 ? a, b ? 上是增函数 ? f ?( x ) ≥ 0 在 ? a, b ? 上恒成立;

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

f ( x) 在区间 ? a, b ? 上为减函数 ? f ?( x) ≤ 0 在 ? a, b ? 上恒成立.
10.极值: 极大值: 一般地,设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 点. 极 小 值 : 一 般 地 ,设 函数 f ( x) 在 x0 附 近 有 定义 , 如 果对 x0 附 近 的 所 有的 点 ,都有
王新敞
奎屯 新疆

f ( x) ? f ( x0 ) ,就说 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大值,记作 y 极大值 ? f ( x0 ) , x0 是极大值

f ( x) ? f ( x0 ) 就说 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极小值,记作 y 极小值 ? f ( x0 ) ,x0 是极小值点. 极大值与极小值统称为极值 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值 请注意 以下几点: ( 1 )极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. ( 2 )函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一个. ( 3 )极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. ( 4 )函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得 最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 判别 f ( x0 ) 是极大、极小值的方法: 若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点,
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f ( x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值; 如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足 “左负右正” , 则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 )

是极小值. 求可导函数 f ( x) 的极值的步骤:

?1? 确定函数的定义区间,求导数 f ?( x) ? 2 ? 求方程 f ?( x) ? 0 的根 ? 3? 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查
王新敞
奎屯 新疆

f ?( x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f ( x) 在这个根处取得极大值;如果
左负右正,那么 f ( x) 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f ( x) 在这个根 处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点 . 11.函数的最大值和最小值: 一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最

3

大值与最小值. 说明: 如函数 f ( x) ? ?1? 在开区间 (a, b) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与最小值.

1 在 x

(0,??) 内连续,但没有最大值与最小值;

? 2 ? 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近
函数值得出的.

? 3? 函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的
充分条件而非必要条件.

? 4 ? 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一
个,也可能没有一个. 利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f ( x) 的图象可以看出, 只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数 值进行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a, b) 内可导,则求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小 值的步骤如下:

?1? 求 f ( x) 在 (a, b) 内的极值; ? 2 ? 将 f ( x) 的各极值与 f (a) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值
12.定积分(理科) (1)概念 设函数 f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<?<xi-1<xi<?xn=b 把区间[a,b] 等分成 n 个小区间, 在每个小区间[xi-1, xi]上取任一点ξ ( 2, ?n) 作和式 In= i i=1,

? f (ξ
i=1

n

i

)△x(其中△x 为小区间长度) ,把 n→∞即△x→0 时,和式 In 的极限叫做函数 f(x)在区间

[a,b]上的定积分,记作:

?

b

a

f ( x)dx ,即 ? f ( x)dx = lim ? f (ξ i)△x。
b a

n

n ??

i ?1

这里,a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 f(x)叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式: 0 dx =C ;

?

?

b a

x m dx =

b 1 1 x m ?1 ︱ b ;? dx=ln x a(m∈Q, m≠-1) m ?1 a x

x ︱ ; e dx = e

b

a

?

x

x ; a dx =

?

ax ln a

; cos xdx =sinx ; sin xdx =-cosx

?

?



(2)定积分的性质 ①

?

b

a

; kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx (k 为常数)
a

b

4

② ③

? ?

b

a b

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a

b

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx(其中 a<c<b ) 。
a c

c

b

(3)定积分求曲边梯形面积 由三条直线 x=a,x=b(a<b) ,x 轴及一条曲线 y=f(x) (f(x)≥0)围成的曲边梯的面积 S ?

?

b

a

f ( x)dx 。

如果图形由曲线 y1=f1(x), y2=f2(x) (不妨设 f1(x)≥f2(x) ≥0) ,及直线 x=a,x=b(a<b)围成,那么所求图形的面积 S=S
曲边梯形 AMNB

-S

曲边梯形 DMNC



?

b

a

f1 ( x)dx ? ? f 2 ( x)dx 。
a

b

二、

题型探究:

【探究一】 .用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。 例1:

lim ?1? 已知 △ x ?0
(-)

f ( x0 ? 2△x) ? f ( x0 ) ? 1 ,求 f ?( x0 ) 3△x

? 2 ? 设函数 f ( x) 在点 x0 处可导,求 lim h ?0
)

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) 2h

【探究二】 .导数的几何意义 例 2:已知曲线 . (1)、求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (y=4x-4) (2)、求过点 P(2,4)的曲线的切线方程; (y=x+2,y=4x-4) (3) 、求过点 P(0,0)的曲线的切线方程; (y=x) (4) 、求斜率为 1 的曲线的切线方程。

5

(y=x+2;y=x+)

【探究三】 :导数的物理意义 例 3:某市在一次降雨过程中,降雨量 y(mm)与时间 t(min)的函数关系可以近似地表示 为,则在 t=40min 的降雨强度 )=0.25) 【探究四】 :导数的运算: 例 4:求下列函数的导数 (1) 、sin2x (2) 、 (3)、 【探究五】 :求导运算后求切线方程 例 5:已知函数 (1)、若 a=1,点 P 为曲线上的一个动点,求以点 p 为切点的切线的斜率取最小值时的切线 方程;(y=x+)

(2) 、求函数在(0,+)上为单调增函数,试求满足条件的最大整数 a。 (a=1)

【探究 6】 .研究函数的图象

例 6、 ( 08 届云南平远一中五模)函数 y ? f ( x) 在定义域 ( ?

3 ,3) 内可导,其图象如图所示, 2

记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) ,则不等式 f ?( x) ? 0 的解集为(A )

1 A. [? ,1] ? ?2,3? 3

1 4 8 B. [?1, ] ? [ , ] 2 3 3
6

例 7.已知函数 y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式 xf′(x)<0 的解集为(B)

1 B.(-∞,0)∪( ,2) 2 1 D.(-∞, )∪(2,+∞) 2 1 1 解析:选 B.由 f(x)图象单调性可得 f′(x)在(-∞, )∪(2,+∞)大于 0,在( ,2) 2 2 1 上小于 0,∴xf′(x)<0 的解集为(-∞,0)∪( ,2). 2

1 1 A.(-∞, )∪( ,2) 2 2 1 1 C.(-∞, ∪( ,+∞) 2 2

7


推荐相关:

...高考数学第一轮复习 函数的图象(3)学案 理

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数的图象(3)学案 _数学_高中教育_教育专区。导数与定积分应用(尖刀班) (1)一、 知识梳理: (阅读选修...


...届高考数学第一轮复习 函数的概念及表示学案 理

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数的概念及表示学案 _数学_高中教育_教育专区。函数的概念与表示一、 知识梳理: (阅读教材必修 1 第 ...


...2016届高考数学第一轮复习 函数的奇偶性学案 理

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数的奇偶性学案 _数学_高中教育_教育专区。函数的奇偶性一、知识梳理: (阅读教材必修 1 第 33 页—第...


...高考数学第一轮复习 函数与定积分应用(4)学案 理

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数与定积分应用(4)学案 _数学_高中教育_教育专区。导数与定积分(尖刀班)(4) 【探究 11】 利用导数...


...中学2016届高考数学第一轮复习 导数的应用学案 理

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 导数的应用学案 _数学_...22 页) 1.函数的单调性与导数的关系:利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:...


吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 函...

吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 函数的图象学案 _数学_...将正确答案的代号填在题后 的括号内.) 1. 【2014 山东高考第 8 题】 ...


...2016届高考数学第一轮复习 集合及其运算学案 理

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 集合及其运算学案 _数学...[1,3),选 C, 考点:集合的运算,绝对值不等式的解法,指数函数的性质, 。 [...


...中学2016届高考数学第一轮复习 函数与方程学案 理

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数与方程学案 _数学_高中教育_教育专区。函数与方程一、 知识梳理: (阅读教材必修 1 第 85 页—第 ...


...届高考数学第一轮复习 函数的单调性与最值学案 理

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数的单调性与最值学案 _数学_高中教育_教育专区。函数的单调性与最值一、 知识梳理: (阅读教材必修 1...


...函数模型及其综合应用学案 理

吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 函数模型及其综合应用学案 _数学_高中教育_教育专区。函数模型及其综合应用一、 知识梳理: (阅读教材必修 1...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com