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安徽省2013年高二优质数学同步课程课件:《空间向量运算的坐标表示》(北师大版选修2-1)


理解 教材新知

第 二 章

§ 3
3.3

考点一 把握 热点考向
考点二 考点三 应用创新演练

3.3

空间向量运算的坐标表示

2012 年 3 月,济青高速临沂段发生交通事故,一辆中型车严 重变形,驾驶员被困车内,消防

官兵紧急破拆施救.为防止救援 造成的二次伤害,现从 3 个方向用力拉动驾驶室门,这 3 个力两 两垂直,其大小分别为|F1|=300 N,|F2|=200 N,|F3|=200 3 N. 问题 1:若以 F1、F2、F3 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的 正半轴建立空间直角坐标系,驾驶室门受到的力的坐标是什么?

提示:(300,200,200 3).

问题2:驾驶室门受到的合力有多大?
提示:|F|=500 N.

空间向量的坐标运算:
若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)则: (x1+x2,y1+y2,z1+z2) (1)a+b= ; (x1-x2,y1-y2,z1-z2) (2)a-b= ; (3)λa= (λx1,λy1,λz1) ;

(4)a· b= x1x2+y1y2+z1z2 ; (5)a∥b?a=λb? x1=λx2 , y1=λy2 , z1=λz2 (λ∈R); (6)a⊥b?a· b=0? x1x2+y1y2+z1z2=0 ;

2 2 (7)|a|= a· a= x1+y1+z2 ; 1

a· b (8)cos〈a,b〉= = |a||b|

x1x2+y1y2+z1z2 2 x2+y2+z2 x2+y2+z2 ; 1 1 1 2 2

(9)若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),

??? ? 则 AB =(x2-x1,y2-y1,z2-z1).

1.空间向量的加、减、数乘的坐标运算仍是坐
标,数量积的运算是实数.

2.利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹
角、向量的平行与垂直等问题.

[例1]

已知a=(3,5,-4),b=(2,2,8),求2a+3b,3a-2b,

a· b.
[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的

加、减、数乘运算方法类似,向量的数量积等于它们对应坐标 乘积的和. [精解详析] 2a+3b=(6,10,-8)+(6,6,24)=(12,16,16),

3a-2b=(9,15,-12)-(4,4,16)=(5,11,-28),
a· b=3×2+5×2-4×8=-16.

[一点通]

空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运

算类似,两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、 纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算;空间两个向 量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.

1.已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1), 那么向量a-b+2c等于 A.(0,1,2) C.(-4,8,-5) ( B.(4,-5,5) D.(2,-5,4) )

解析:a-b+2c=(1-1-2×2,0+2+6,-1-2-2)= (-4,8,-5).

答案:C

2.已知 A,B,C 三点的坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1), ? ??? 1 ??? ??? ? ? (-2,2,3),求 P 点坐标,使(1) OP = ( AB - AC ); 2 ??? 1 ??? ??? ? ? ? (2) AP = ( AB - AC ). 2 ??? ? 解: AB =(2,6,-3),=(-4,3,1). ??? 1 ? ? ? ? ? 3 3 (1) OP = (6,3,-4)=?3,2,-2?,则 P 点坐标为?3,2,-2?; 2 ? ? ? ? ??? ? (2)设 P 为(x,y,z),则 AP =(x-2,y+1,z-2) ? 1 ??? 3 1 = ( AB -)=(3, ,-2),所以 x=5,y= ,z=0, 2 2 2 1 即 P 点坐标为(5, ,0). 2

3.已知向量a=(1,-2,4),求同时满足以下三个条件的 向量c:①a· c=0;②|c|=10;③c与向量b=(1,0,0)垂直.

解:设 c=(x,y,z), ?x-2y+4z=0, ? 2 2 2 由三个条件得?x +y +z =100, ?x=0, ? ?x=0, ? 解得?y=4 5, ? ?z=2 5 ?x=0, ? 或?y=-4 5, ? ?z=-2 5.

∴c=(0,4 5,2 5)或(0,-4 5,-2 5).

[例2]

如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-

A1B1C1D1中,以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系.过B作BM⊥AC1于M,求点 M的坐标.

[思路点拨]

写出A,B,C1的坐标,设出M的坐标,

利用条件BM⊥AC1及M在AC1上建立方程组,求解.

[精解详析]

法一:设 M(x,y,z),由图可知:A(a,0,0),

B(a,a,0),C1(0,a,a),则 ???? ? ???? ???? ? AC1 =(-a,a,a), AM =(x-a,y,z), BM = (x-a,y-a,z). ???? ???? ???? ???? ? ? ∵ BM ⊥ AC1 ,∴ BM · 1 =0, AC ∴-a(x-a)+a(y-a)+az=0,即 x-y-z=0. ? ???? ???? ? 又∵ AC1 ∥ AM ,∴x-a=-λa,y=λa,z=λa, 即 x=a-λa,y=λa,z=λa.
?2a a a? 2a a a 由①②得 x= ,y= ,z= .∴M? 3 ,3,3?. 3 3 3 ? ?





???? ? ???? ? 法二:设 AM =λ AC1 =(-aλ,aλ,aλ), ???? ??? ???? ? ? ∴ BM = BA + AM =(0,-a,0)+(-aλ,aλ,aλ)=
(-aλ,aλ-a,aλ).∵BM⊥AC1, ???? ???? ? AC ∴ BM · 1 =0 1 即 a λ+a λ-a +a λ=0,解得 λ= , 3
2 2 2 2

???? ? a a a? ???? ??? ???? ?2a a a? ? ? ? ? ∴ AM =?-3,3,3?, DM = DA + AM =? 3 ,3,3?.
? ? ? ?

2a a a ∴M 点坐标( , , ). 3 3 3

[一点通]

用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题,

要注意以下两个等价关系的应用: (1)若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),(b为非零向量), 则a∥b?x1=λx2,且y1=λy2且z1=λz2(λ∈R).若b=0时,必 有a∥b,必要时应对b是否为0进行讨论. (2)a⊥b?x1x2+y1y2+z1z2=0.

4.已知a=(1,-5,6),b=(0,6,5),则a与b

(

)

A.垂直
C.平行且同向

B.不垂直也不平行
D.平行且反向

解析:a· b=0-30+30=0,∴a⊥b.
答案:A

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是DC的中点,求证:

AD⊥D1F.
证明:建立空间直角坐标系如图,不妨设 正方体的棱长为 1, 则有 D(0,0,0), A(1,0,0),
? ? 1 D1(0,0,1),F?0,2,0?. ? ?

??? ? ???? ? ? ? 1 ∴ AD =(-1,0,0), D1 F =?0,2,-1?.
? ?

??? ???? ? ? ? ? 1 ?0, ∴ AD · 1 F =(-1,0,0)· 2,-1?=0. D
? ?

∴AD⊥D1F.

6.已知a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满 足下列条件时,实数x的值.

(1)a∥b;(2)a⊥b.
解:(1)①当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b, ∴x=0,满足a∥b; ②当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),

此时a不平行b,∴x≠1.
③当x≠0且x≠1时,

?1-x2=-3, 1-x2 -3x x+1 ? 由 a∥b? = x = ??x+1 1 1-x ? =-3 1-x ? 综上所述,当 x=0 或 2 时,a∥b. (2)∵a⊥b?a· b=0 ?(1,x,1-x)· (1-x2,-3x,x+1)=0 10 ?1-x -3x +1-x =0,解得 x=± . 5
2 2 2

?x=2.

[例 3]

(12 分)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB=1,

∠BCA=90° ,棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点. ???? (1)求 BN 的长; ???? ???? (2)求 cos〈 BA1 , CB1 〉的值. [思路点拨] CA,CB,CC1 两两垂直,可由此建立空间直 角坐标系,利用坐标运算求解向量的模及夹角.

??? ??? ???? ? [精解详析] 以 C 为原点,以 CA 、 CB 、 CC1 为 x
轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系.

???? (1)依题意,得 B(0,1,0),N(1,0,1), BN =(1,-1,1), ???? ∴| BN |= 3.
(4 分) (6 分) (8 分) (9 分)

(2 分)

(2)依题意,得 A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).

???? ???? ∴ BA1 =(1,-1,2), CB1 =(0,1,2),

???? ???? ???? ???? ∴ BA1 · 1 =3,| BA1 |= 6,|CB1 |= 5. CB ???? ???? ???? ???? BA1 · 1 CB ???? ???? = 30. ∴cos〈 BA1 , CB1 〉= | BA1 || CB1 | 10

(10 分) (12 分)

[一点通] 在几何体中建立空间直角坐标系时,要充分利用几何 体本身的特点,以使各点的坐标易求.利用向量的坐标运算, 可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单.

??? ? 7.已知空间三点,A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),求 AB 与 ??? CA 的夹角. ??? ? ??? 解: AB =(-2,-1,3), CA =(-1,3,-2), ??? ? ??? | AB |= 4+1+9= 14,|CA |= 1+9+4= 14, ??? ??? ? AB · =2-3-6=-7, CA ??? ??? ? ??? ??? ? -7 1 AB ·??? ??? CA = ? ∴cos〈 AB , CA 〉= =- . 2 14× 14 | AB || CA |

??? ??? ? ??? ??? ? 2π ∵〈 AB , CA 〉∈[0,π],∴〈 AB , CA 〉= . 3

8.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3),B(2,-1,
5),C(3,2,-5).求△ABC的面积.
??? ? 解:由已知得=(1,-3,2), AC =(2,0,-8), ??? ? ∴| AB |= 1+9+4= 14, ??? ? | AC |= 4+0+64=2 17, ??? ??? ? ? AB · =1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14, AC ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB AC ? ??? · ??? ? cos〈 AB , AC 〉= | AB |·AC | |

-14 - 14 = = , 14×2 17 2 17

??? ??? ? ? sin〈 AB , AC 〉=

14 1- = 68

27 . 34

? ??? ??? ? ? ? 1 ??? ??? ∴S△ABC= | AB |·AC |· | sin〈 AB , AC 〉 2
1 = × 14×2 17× 2 27 =3 21. 34

1.空间向量加法、减法、数乘、数量积、平行、垂直、 夹角的坐标表示都类似于平面向量,要类比记忆与理解.

2.空间向量的坐标运算,关键是要建立恰当的空间直
角坐标系,然后利用有关公式求解.要注意总结在长方体、 直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体中建立空间直 角坐标系的规律. 3.利用向量的坐标运算可证明向量的垂直与平行问题,

利用向量的夹角公式和距离公式可求解空间两条直线的夹角
和两点间距离的问题.


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