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第四讲 二 次 函 数


第四讲

二 次 函 数

二次函数在中学数学中起着十分重要的作用,也是初等数学中遇到比较多的函数之一,形如

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的函数,它的图象简单,性质易于掌握,又与二次方程、二次不等式有
联系,与之相关的理论如判别式,韦达定理,求根公式等又是中学教材的重点内容,因

此有必要进 一步认识二次函数的性质,研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧. 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的主要性质:
2

定义域为 R ;图象是对称轴平行于 y 轴(或与 y 轴重合)的抛物线;当 a >0 时,抛物线开口

向上方,函数的值域是 ?

? 4ac ? b 2 ? b b ,?? ? ,当 x ?(-∞, ? )时, f (x) 是减函数,当 x ?[- ,+ ? 2a 2a ? 4a ? ? ? 4ac ? b 2 ? 当 (- ? , x? 4a ?

∞]时, f (x) 是增函数; a <0 时, 当 抛物线开口向下方, 函数的值域是 ? ? ?, ? ∞, ?

b 2 )时, f (x) 是增函数,当 x ?[-,+∞)时, f (x) 是减函数.当 b ? 4ac >0 时,函数的图 2a
? b ? b 2 ? 4ac ? b ? b 2 ? 4ac ,0 ) ( ,0 ) , ; 2a 2a

象与 x 轴有两个不同的交点,它们分别是(

b 2 ? 4ac =0 时,函数的图象与 x 轴有两个重合的交点(- b 2 ? 4ac <0 时,函数的图象与 x 轴没有交点.

b ,0),这时也称抛物线与 x 轴相切, 2a

函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象是连续的.一个有用的结论是,在区间[ p, q ]端点处的
2

函数值异号,即 f ( p) ? f (q) <0 时,方程 f (x) =0 在( p, q )内恰有一个实根.抛物线的凸性也有一 定 用 途 , a > 0 时 , 函 数 的 图 象 是 下 凸 形 曲 线 , 即 对 于 任 意 x1 , x2 ? R , 有 f (

x1 ? x 2 )≤ 2

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 ; a <0 时, 函数的图象是上凸形曲线,即对于任意 x1 , x2 ? R ,有 f ( 1 )≥ 2 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 利用二次函数图象的凸性和单调性,在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免 2
使用判别式和求根公式. 一.含有参变数的二次函数 对于二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,当 a 、 b 、 c 固定时,此二次函数唯一确定,它的
2

图象是一条抛物线;若 b 、 c 固定时, a 可以在某个范围内变动,则它的图象可能是“一族”抛物 线,对于 a 、 b 、 c 的不同范围和条件,得到的抛物线族具有不同的特征,如何确定这些特征,就 因题而异了.

例题分析: 1. 集合 A ={ y | y ? x ? 2 x ? 4 }, B ={ y | y ? ax ? 2 x ? 4a }, A ? B ,求实数 a 的取值集合.
2 2

解 : A 、 B 分 别 表 示 函 数 y ? x ? 2 x ? 4 与 函 数 y ? ax ? 2 x ? 4a 的 值 域 . 由
2 2

.而 B 受参数 a 的影响,要进行讨论. x 2 ? 2 x ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? 3 ≥3 知 A =[3,+∞)

a =0 时, y ? ?2 x ,值域是 R 符合条件 A ? B .
1? ? a ≠0 时, f (x) = ax 2 ? 2 x ? 4a 是二次函数,如果 a <0,该函数的值域为 ? ? ?,4a ? ? ,这 a? ?
时 A B 不成立.如果 a >0 时,由[3,+∞] ? [ 4a ? 综上所述, a 的可取值集合为{ a |0≤ a ≤1}。 说明: 参数 a 的取值决定了函数 f (x) = ax ? 2 x ? 4a 的类别及性质, 因而对该函数的值域有影响. 为
2

?a ? 0 1 ? 1 ,+∞],得 ? 4a ? ? 3 a ? a ?



0< a ≤1

了由 A ? B 求出 a 的允许值范围,必须对参数 a 分情况讨论. 2. 考察所有可能的这样抛物线 y ? x ? ax ? b ,它们与坐标轴各有三个不同的交点,对于每一条
2 2

这样的抛物线,过其与坐标轴的三个交点作圆.证明:所有这些圆周经过一定点. 证明:设抛物线 y ? x ? ax ? b 与 x 轴的交点为( x1 ,0)( x 2 ,0) 、 .由韦达定理知 x1 ? x 2 ? ?b
2 2 2

<0

(因为 b =0,则 y ? x ? ax 与坐标轴只有两个不同的交点),故点( x1 ,0)( x 2 ,0)在坐标原 、
2 2

点的两侧. 又因为 | x1 | ? | x2 |?| ?b | ?1 , 由相交弦定理的逆定理知, ( x1 , 、 x 2 , 、 点 0)( 0)(0, b ) , ?
2

(0,1)在同一个圆周上,即过抛物线与坐标轴的三个交点( x1 ,0)( x 2 ,0)(0, ? b )的圆 、 、
2

一定过定点(0,1) .于是所有的这些圆周均经过一定点(0,1) . 3. 抛物线 y ? x ? bx ? c 的顶点位于区域 G ? {( x, y) | 0 ? x ? 1.0 ? y ? 1} 内部或边界上,求 b 、
2

c 的取值范围.
解:抛物线的顶点坐标为( ?

b 4c ? b , ) ,故 2 4
2

b ? 0 ? ? ?1 ? 2 ? 4c ? b 2 ?0 ? ?1 4 ?

?? 2 ? b ? 0 ? b2 , ? ?b 2 ? 4 ? c ? 4 ?1 ?

上式即为 b 、 c 的取值范围. 二.二次函数的最值 4. 设 x = p 时,二次函数 f (x) 有最大值 5,二次函数 g (x) 的最小值为-2,且 p >0, f (x) + g (x) = x ? 16 x ? 13 , g ( p) =25.求 g (x) 的解析式和 p 值.
2

解:由题设 f ( p) =5, g ( p) =25, f ( p) ? g ( p) = p ? 16 p ? 13 ,所以
2

p 2 ? 16 p ? 13 =30,解得

2 .由于 f (x) 在 x =1 时有最大值 5,故设 f (x) = a( x ? 1) ? 5, a ? 0 p =1 ( p = -17 舍去)

所以

g (x) = x 2 ? 16 x ? 13 - f (x) = (1 ? a) x 2 ? 2(a ? 8) x ? 8 ? a ,因 g (x) 的最小值为-2,



4(1 ? a)(8 ? a) ? 4(a ? 3) 2 ? ?2 ,所以 a ? ?2 .从而 g (x) = 3x 2 ? 12 x ? 10 . 4(1 ? a)

5. 已知 0≤ x ≤1, f (x) = x 2 ? ax ?

a (a ? 0) , f (x) 的最小值为 m . 2

(1)用 a 表示 m ; (2)求 m 的最大值及此时 a 的值.

a 2 a a2 a a a2 解: (1)把 f (x) 改写成 f (x) = ( x ? ) ? ? .于是知 f (x) 是顶点为( , ? ) ,开口向 2 2 4 2 2 4
上的抛物线.又因为 x ∈[0,1],故当 0<

a a a2 a ≤1,即 0< a ≤2 时, f (x) 的最小值为 f ( ) ? ? ; 2 2 4 2

?a a2 ? ? , (0 ? a ? 2) a a 4 当 >1,即 a >2 时, f (x) 有最小值 f (1) ? 1 ? .于是 m ? ? 2 a 2 2 ? 1? , (a ? 2) 2 ?
a a2 a 1 1 2 (2)当 a >2 时,1 ? 的值小于 0,而当 0< a ≤2 时, ? = ? (a ? 1) ? ,它的最大值为 2 4 2 4 4

1 1 (当 a =1 时取得) ,故 m 的最大值为 ,此时 a =1. 4 4
说明:对于某些在给定区间上的二次函数最值问题,往往需要把顶点和区间端点结合起来考虑. 6. 函数 f (x) = ? 3x ? 3x ? 4m ?
2 2

9 , x ∈[― m ,1― m ],该函数的最大值是 25,求该函数取最大值 4

时自变量的值. 分析:限定在区间[― m ,1― m ]上的函数的最大值要考虑到在这个区间上的单调情况.当 x 可取任 意实数时,二次函数 ? 3x ? 3x ? 4m ?
2 2

9 1 1 的图象是对称轴为 x ? ? 开口向下的抛物线, ? 与 4 2 2

区间[― m ,1― m ]的位置关系决定了已知函数的单调状况,因此要分区间讨论. 当?

1 1 3 1 2 2 ∈ [ ― m ,1 ― m ], 即 ? m ? 时 , 最 大 值 应 是 f (? ) ? 4m ? 3 . 由 4m ? 3 =25, 2 2 2 2

m 2=

11 22 1 3 1 3 得 | m |? ,不符合 ? m ? 的条件.可见 m ? [ , ] . 2 2 2 2 2 2

3 9 1 2 2 >1― m ,即 m > 时, 函数 f (x) = ? 3x ? 3x ? 4m ? ,x ∈[― m ,1― m ]是增函数, 2 4 2 15 5 23 23 3 2 可见 f (1 ? m) ? m ? 9m ? ? 25 ,解之得 m = 或 m = ? .其中 m = ? 不合 m > 的条 4 2 2 2 2 5 3 件,舍去.可见 1― m =1- =- . 2 2
当?

1 9 1 <― m ,即 m < 时,函数 f (x) = ? 3x 2 ? 3x ? 4m 2 ? 是[― m ,1― m ]是减函数,可见 2 4 2 9 7 7 1 13 f (?m) ? m 2 ? 3m ? ? 25 ,解之得 m = 或 m = ? .其中 m = 不合 m < 的条件,舍去,由此 4 2 2 2 2 3 13 13 知m=? . 综上所述,当 x =- 或 x = 时, 函数 f (x) 有最大值 25. 2 2 2 1 说明:由点 ? 与区间[― m ,1― m ]的位置关系引起的分类讨论是“形”对“数”的引导作用.本 2 题中虽然只是求函数取最大值时的自变量 x 的值,没有问 m 的值,但这个 x 值与 m 值有直接关系, 所以要先求 m 再求 x . 7. 一幢 k (>2)层楼的公寓有一部电梯,最多能容纳 k -1 个人,现有 k -1 个学生同时在第一层
当? 楼乘电梯,他们中没有两人是住同一层楼的.电梯只能停一次.停在任意选择的一层.而对每一 个学生而言,自已往下走一层感到一分不满意,而往上走一层感到 2 分不满意,问电梯停在哪一 层,可使不满意的总分达到最小? 解:设电梯停在第 x 层,则不满意的总分为 S =(1+2+?+ x -2)+2(1+2+?+ k - x )

4k ? 5 ) 时, S 最小,其中 N (a) 表示最接近于 a 的 6 4k ? 5 整数.例如 N (3) ? 3, N (3.6) ? 4, N (2.1) ? 2, N (2.5) ? 2或3 ,故当电梯停在 N ( ) 时,不满意 6
= [3x ? (4k ? 5) x] ? k ? k ? 1 ,所以当 x = N (
2 2

1 2

总分最小. 三.利用二次函数的性质 8. 已知方程 (ax ? 1) ? a (1 ? x ) ,其中 a >1,证明:方程的正根比 1 小,负根比 -1 大.
2 2 2

证明:原方程整理后,得 2a x ? 2ax ? 1 ? a =0,令 f (x) = 2a x ? 2ax ? 1 ? a ,则 f (x) 是开
2 2 2 2 2 2

口向上的抛物线,且 f (0) ? 1 ? a ? 0 ,故此二次函数 f (x) =0 有一个正根,一个负根.要证明正
2

根 比 1 小 , 只 须 证 f (1) ? 0 , 要 证 明 负 根 比

- 1 大 , 只 须 证 f (?1) > 0 . 因 为

f (1) ? 2a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? (a ? 1) 2 ? 0 f (?1) ? 2a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? (a ? 1) 2 ? 0
2

从而命题得证.

9. 若抛物线 y ? x ? ax ? 2 与连接两点 M (0,1) N (2,3)的线段(包括 M 、 N 两点)有 , 两个相异的交点,求 a 的取值范围. 解:易知过两点(0,1)(2,3)的直线方程为 y ? x ? 1 ,而抛物线 y ? x ? ax ? 2 与线段 MN 有 、
2

两 个 交 点 就 是 方 程 x ? ax ? 2 ? x ? 1 在 区 间 [0 , 2] 上 有 两 个 有 两 个 不 等 的 实 根 . 令
2

a ?1 ? 3 ?0 ? ? 2, ? ? (a ? 1) 2 ? 4 ? 0 f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? 1.则 ? 解得 a 的范围为 ? ≤ a ≤-1. 2 2 ? f (0) ? 1 ? 0, f (2) ? 2a ? 3 ? 0 ?
说明:利用二次函数来研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段. 10.设 A ? {x | 1 ? x ? 3} , 又设 X 是关于 x 的不等式组 ?

? x 2 ? 2x ? a ? 0
2 ? x ? 2bx ? 5 ? 0

的解集, 试确定 a, b 的取

值范围,使得 A ? X . 分析:本题以二次曲线为背景,它的通法是先求不等式组的解集 X ,然后再来考虑 A 与 X 的包含 关系,则必然导致浩繁的讨论,但如果由数想形,构造函数,就可简捷获解. 解 : 设 f ( x) ? x ? 2 x ? a ? ( x ? 1) ? (a ? 1), g ( x) ? x ? 2bx ? 5 ? ( x ? b) ? (5 ? b) . 要 使
2 2 2 2 2

? f (1) ? 0 ? a ? ?3 ; A ? X 时,则必使 f ( x), g ( x) 在[1,3]上的函数图象落在 x 轴下方,即 ? ? f (3) ? 0 ? g (1) ? 0 ?b?3 ? ? g (3) ? 0
☆ 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个实根为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2
2

? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ? ? x1 ? 0 ? x1 ? 0 b ? a?0 ? ?a?0 ? ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 , ? 结论 1. ? 或? ?? a ? x2 ? 0 ? x2 ? 0 ? c?0 ? ? f (0) ? c ? 0 c ? b?0 ? x ?x ? ?0 ?b?0 ? ? ? 1 2 a ? ? ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ?? ? b 2 ? 4ac ? 0 ? ? ? ? x1 ? 0 ? x1 ? 0 b ? a?0 ? ?a?0 ? ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 , ? 结论 2. ? 或? ?? a ? x2 ? 0 ? x2 ? 0 ? c?0 ? ? f (0) ? c ? 0 c ? b?0 ? x ?x ? ?0 ?b?0 ? ? ? 1 2 a ?
结论 3. x1 <0< x 2 ? af (0) ? 0 结论 4. x1 =0, x 2 >0 ? c ? 0且
2

b b ? 0 ; x1 <0, x 2 =0 ? c ? 0且 ? 0 a a

☆ 设一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个实根为 x1 , x 2 ,且 x1 ? x2 , k 为实常数.

? ? 2 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 ?? ? b ? 4ac ? 0 ? ? 结论 1. k < x1 ≤ x 2 ? ? af (k ) ? 0 ; 结论 2. x1 ≤ x 2 < k ? ? af (k ) ? 0 ? ? b b ? ? 2a ? k ? ? 2a ? k ? ?
结论 3. x1 < k < x 2 ? af (k ) ? 0 ; 结论 4.有且仅有 k1 ? x1 (或x2 ) ? k 2 ? f (k1 ) ? f (k 2 ) ? 0

a?0 a?0 ? ? ? ? 结论 5. k1 ? x1 ? k 2 ? p1 ? x 2 ? p 2 ? ? f ( k1 ) ? 0, f ( k 2 ) ? 0 或? f ( k1 ) ? 0, f ( k 2 ) ? 0 ? f ( p ) ? 0, f ( p ) ? 0 ? f ( p ) ? 0, f ( p ) ? 0 1 2 1 2 ? ?

? ? a?0 a?0 ? ? ? ? 2 结论 6. k1 ? x1 ? x 2 ? k 2 ? ? ? b ? 4ac ? 0 ? ? f (k1 ) ? 0, f (k 2 ) ? 0or ? f (k1 ) ? 0, f (k 2 ) ? 0 ? ? b b ? k1 ? ? 2a ? k 2 ? k1 ? ? 2a ? k 2 ? ?
11.设 x1 ≥ x 2 ≥ x 3 ≥ x 4 ≥2,且 x 2 + x 3 + x 4 ≥ x1 ,证明: ( x1 ? x 2 ? x3 ? x4 ) ? 4 x1 x 2 x3 x4
2

证明:令 a = x 2 + x 3 + x 4 , b ? x 2 x3 x 4 ,则原不等式为 ( x1 ? a) ? 4 x1b ,即
2

x1 ? 2(a ? 2b) x1 ? a 2 =0,令 f (x) = x
2

2

? 2(a ? 2b) x ? a 2 ,则只需证明 f ( x1 ) ≤0.因

? ? 4(a ? 2b) 2 ? 4a 2 ? 16b(b ? a) ,而

a x 2 ? x3 ? x 4 1 1 1 ? ? ? ? ≤ b x 2 x3 x 4 x 2 x3 x3 x 4 x 2 x 4

1 1 1 3 ? ? ? ? 1 ,所以 b ? a ,从而 ? >0, f (x) 与 x 轴有两个不同的交点.易知这两个交点为 4 4 4 4

u ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) v ? 2b ? a ? 2 b(b ? a)
[

,下证 x1 ∈[ u, v ].

a a ? 3x1 ? 3a, ? x1 ? [ , a] ,只需证 3

a a , a ] ? [ u, v ],即 u ? , a ? v ,由于 v ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) ? 2b ? a ? a , 3 3
a b ? b?a )2 ? ( a b b ? ? 1) 2 a a ? ( a 4 1 2 ? ) 3 3 ? a 3

u ? 2b ? a ? 2 b(b ? a) ? ( b ? b ? a ) 2 ? (

所以 x1 ∈[ u, v ],从而必有 f ( x1 ) ≤0. 解法二: 只需证明 f ( x1 ) ≤0, 而

a a 因此只需证 f (a) ? 0, f ( ) ? 0 而 f (a) ? 4a(a ? b) , ? x1 ? a , 3 3 a 4 a 3 a f ( ) ? a(4a ? 3b) ,由 ? 可证得 f (a) ? 0, f ( ) ? 0 3 9 b 4 3

说明:通过构造二次函数,然后利用二次函数的性质来证明一些不等式问题,往往会使问题简化. 12.在边长为 10 的正三角形 ABC 中,以如图所示的方式内接两个正方形 (甲、乙两个正方形有一边相重叠,都有一边落在 BC 上,甲有一顶点 在 AB 上,乙有一顶点在 AC 上) ,试求这样内接的两个正方形面积和 的最小值. 解:设甲、乙两正方形的边长分别为 x, y ,易知 BC 边上的四条线段之和 为: (1 ?

3 3 3 10 ) x ? (1 ? ) y ? 10 ,记 1 ? ? k ,则 y ? ? x ,设两 3 3 3 k
2

正方形面积之和为 S ,则有 S ? x ? (

10 5 50 5 5 ? x) 2 ? 2( x ? ) 2 ? 2 ,当 x ? ? (3 ? 3 ) ? y 时, k k k 2 k

S 取得最小值,其最小值是 S min ?

50 450 25 ? ? (3 ? 3 ) 2 . 2 2 2 k (3 ? 3 )

13.定义在 R 上的奇函数 f (x) ,当 x ≥0 时, f (x) =- x 2 ? 2 x .另一个函数 y = g (x) 的定义域为 [ a , b ],值域为[

1 1 在 问:是否存在实数 m , , ],其中 a ≠ b , a 、 ≠0. x ∈[ a , b ]上, f (x) = g (x) . b b a
2

使集合{ ( x, y) | y ? g ( x), x ? [a, b]} ? {( x, y ) | y ? x ? m} 恰含有两个元素? 分析: ( x, y ) | y ? x ? m }是以 y 轴为对称轴由 y = x 的图象平移所形成的抛物线系. { 对给定的 m
2

2

它表示一条抛物线,条件 ( x, y ) | y ? g ( x), x ? [a, b] ? {( x, y ) | y ? x ? m}恰含有两个元素的意思
2

是函数 y = g (x) , x ∈[ a , b ]的图象与抛物线 y ? x ? m 恰有两个交点.首先要弄清楚 y = g (x) ,
2

x ∈[ a , b ],进而作出它的图象.
容易求出奇函数 y = f (x) 在 x <0 时的解析式是 f (x) = x ? 2 x .即 f (x) = ?
2

?? x 2 ? 2 x ( x ? 0)
2 ? x ? 2x

( x ? 0)

函数 y = g (x) 的定义域为[ a , b ],值域为[

1 1 , ],其中 a ≠ b , a 、 b ≠0,这表明 b a

?a ? b ?1 1 ? ? ?b a ?

可见 a 、 b 同号.也就是说 y = g (x) , x ∈[ a , b ]的图象在第 一或第三象限内.根据 f (x) = g (x)( x ∈[ a , b ]以及 f (x) 的 图象可知,函数 g (x) 的图象如所示曲线的一部分. 值域与函数的单调状况有关,又与定义域有关.如果只 考虑 0< a < b <2 或-2< a < b <0 两种情况,不能准确地 用, a 、b 表示出值域区间的端点,因此要把区间(0,2)(-2,0)再分细一些,由图中看出,当 a 、 , b >0 时,考虑以下三种情况较好.0< a < b ≤1,0< a <1< b ,1≤ a < b <2.

1 1 1 >1.但是 x ∈(0,1]时, f (x) ≤1,这与 g (x) 的值域区间[ , ] a b a 的右端点大于 1 矛盾.可见不出现 0< a < b ≤1 的情形. ?1 2 ? b ? g (b) ? ?b ? 2b 如果 1≤ a < b <2,由图看出 g (x) 是减函数,可见 ? 整理得 1 ? ? g ( a ) ? ? a 2 ? 2a ?a ?a ? 1 ?(a ? 1)( a 2 ? a ? 1) ? 0 ? ,考虑到 1≤ a < b <2 的条件,解之得 ? 1? 5 . ? 2 ? (b ? 1)(b ? b ? 1) ? 0 ?b ? 2 ? 完全类似地,考虑到-1≤ a < b <0,-2< a <-1< b <0,-2< b < a ≤-1 三种情况后,
如果 0< a < b ≤1,那么 可以在-2< b < a ≤-1 的情况下通过值域条件得出

? ?a ? ? 1 ? 5 ,这就得到了函数 ? 2 ? b ? ?1 ?

? 2 ? ? x ? 2x ? g ?( x) ? ? ? x 2 ? 2x ? ?

(1 ? x ? (

?1? 5 ? x ? ?1) 2

1? 5 ) 2

对于某个 m ,抛物线与函数 g ?(x) 的图象有两个交点时,一个交点在第一象限,一个交点在第 三象限.因此, m 应当使方程 x ? m ? ? x ? 2 x ,在[1,
2 2

1? 5 ]内恰有一个实数根,并且使方程 2

x 2 ? m ? x 2 ? 2 x ,在[

?1? 5 ,?1 ]内恰有一个实数根.问题归结为求 m ,使 2

? 2 ?2 x ? 2 x ? m ? 0 ? ? ? x? 1m ? 2 ?
[1,

1? 5 ]内恰有一个实根?? (1) 2 2 由(1)得,方程 2 x ? 2 x ? m 在 ?1? 5 在[ ,?1]内恰有一个实根? (2) 2 在[1,

1? 5 1? 5 ) ? m ? h(1) 即 ? 2 ? m ? 0 ,由(2)得 ] 内恰有一根,设 h( x) ? 2 x ? 2 x 2 ,则 h( 2 2

?1? 5 1 2 ? m ? ?1, ? 1 ? 5 ? m ? ?2 , m =-2. 即 ∴ 易证, 抛物线 y ? x ? 2 与函数 g (x) 图 2 2
象恰有两个交点(―1,―1)和(

5 ?1 5 ?1 , ) 2 2

综上所述:题目条件下的实数 m =-2. 说明:解题过程可分为“求函数 y ? f (x) ” “求函数 y ? g (x) ” “求 m ”三个阶段.求函数 , ,

y ? g (x) 的关键步骤是求 a, b 的值.运用了数形结合的方法和分类讨论的运算过程,最终把求 m 的
问题化归到求一次方程和二次方程的一定范围内有解的问题. 可以看出,当 m ∈(-2,0)时,抛物线 y ? x ? m 与函数 y ? g (x) 的图象在第一象限内有一个交
2

点,当 m ∈ ? 1 ? 5 ,?2 时,在第三象限内有一个交点.

?

?


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2013年上海高一数学自主招生专题第四讲 :二次函数问题

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第四讲 二次函数的三种表示方式

第四讲 二次函数的三种表示方式第一部分:二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠...


2012年北京市中考数学第四讲一元二次方程与二次函数

中考数学重难点专题讲座 第四讲 一元二次方程与二次函数【前言】 前三讲,笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题,在这一类问题当中,尤以第三 讲涉及的动态几...


中考数学难点讲解第四讲 一元二次方程与二次函数(含答案).doc

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第一章第三讲_二次函数与一元二次不等式的解法

第三讲: 第三讲:二次函数与一元二次不等式的解法课程目标 课程重点 课程难点 教学方法建议 1、了解二次函数的图像及其性质 2、理解二次函数,二次方程,二次不...

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