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陕西省西藏民族学院附属中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷


西藏民族学院附中 2015-2016 学年上学期期末考试高一数学试卷 第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.设集合 A ? ? x || x ? 2 |? 2, x ? R? , B ? y | y ? ? x , ?1 ? x ? 2 ,则 CR ?

A ? B ? 等于

?

?

( A.R

) B. ?x | x ? R, x ? 0? C.{0} ) C. f ? x ? ? x ? 1 ) D.c>b>a ) D. f ? x ? ? ? x D. ?

2.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A. f ? x ? ?| x | B. f ? x ? ? x? | x |

3. a ? log0.7 0.8, b ? log1.1 0.9, c ? 1.10.9 的大小关系是( A.c>a>b B.a>b>c C.b>c>a

4.已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面( A.若 m//n 且 m ? ? , n ? ? ,则α 与β 不会垂直;

B.若 m,n 是异面直线,且 m⊥α ,n⊥β ,则α 与β 不会平行; C.若 m,n 是相交直线且不垂直, m ? ? , n ? ? ,则α 与β 不会垂直; D.若 m,n 是异面直线,且 m//α ,n//β ,则α 与β 不会平行 5.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的表面积为( )

A. 48 ? 12 2

B. 48 ? 24 2

C. 72 ? 12 2

D. 72 ? 24 2 )

2x 1 ? ,若表示不超过 x 的最大整数,则函数 y ? ? 6.设 f ? x ? ? ? f ? x ?? ? 的值域是( x 2 1? 2
A.{0,1} B.{0,-1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}

? 2 1 ? x ? ax ? 2, x ? 1 7.若函数 f ? x ? ? ? 在(0,+∞)上是增函数,则 a 的范围是( 2 ? a x ? a, x ? 1 ?
A.(1,2] B. D.(1,+∞)



9.已知异面直线 a 和 b 所成的角为 50°, P 为空间一定点, 则过点 P 且与 a, b 所成角都是 30° 的直线有且仅有( A.1 条 B.2 条 ) C.3 条 D.4 条
2

10.已知 f(x)为偶函数,当 x≥0 时, f ? x ? ? ? ? x ? 1? ? 1 ,则满足 f [ f ? a ?] ? 的个数为( A.2 ) B.4 C.6 第Ⅱ卷(共 1000 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.计算: 2 lg 5 ? D.8

1 的实数 a 2

2 2 lg 8 ? lg 5 ? lg 20 ? ? lg 2 ? ? 3

12.定义在 R 上的函数 f ? x ? ? ?

? ?lg | x ? 4 | ? x ? 4 ? 2 ,若关于的方程 f ? x ? ? bf ? x ? ? c ? 0 有 ? ?1, ? x ? 4 ?
.

5 个不同的实根 x1 , x 2 , x3 , x4 , x5 ,则 f ? x1 ? x 2 ? x3 ? x4 ? x5 ? ? 13.已知函数 f ? x ? ?

1 mx 2 ? mx ? 1

的定义域是 R,则实数 m 的取值范围是

.

14.如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 的棱长为 1,E,F分别为棱 DD 1 ,AB 上的点,下列说 法正确的是 .(填上所有正确命题的序号)

① AC1 ? 平面 B1 EF ;

② 在平面 A 1B 1C1 D 1 内总存在与平面 B 1 EF 平行的直线; ③ △ B1 EF 在侧面 BCC1 B1 上的正投影是面积为定值的三角形; ④ 当 E,F 为中点时,平面 B1 EF 截该正方体所得的截面图形是五边形. 15.已知 f ? x ? 为 R 上的偶函数,对任意 x∈R 都有 f ? x ? 6? ? f ? x ? ? f ? 3? 且当 有 x1 , x2 ??0,3? ,x1 ? x2 时,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ? x2

给出四个命题: ① f ?3? ? 0 ; ② 直 ? 0 成立,

线 x ? ?6 是函数 y ? f ? x ? 的图像的一条对称轴;③ 函数 y ? f ? x ? 在上为增函数;④ 函数

y ? f ? x ? 在上有四个零点,其中所有正确命题的序号为

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? lg ? 2x ? 3? 的定义域为集合 M,函数 g ? x ? ? 定义域为集合 N.求: (1)集合 M,N; (2)集合 M ? N , CR N .
2 17. (本小题满分 12 分)已知集合 A ? x ? R | x ? 4 x ? 0 ,

x ?3 的 x ?1

?

?

B ? ? x ? R | x 2 ? 2 ? a ? 1? x ? a 2 ? 1 ? 0? ,如果 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围.
18. (本小题满分 12 分)四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 8 的菱形,∠BAD=60°,若 PA=PD=5,平面 PAD⊥平面 ABCD.

(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)求证:AD⊥PB 19. (本小题满分 13 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 AA 1C1C 是边长为 4 的正

方形,平面 ABC⊥平面 AA 1C1C ,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证: AA1 ? 平面 ABC; (Ⅱ)若点 D 是线段 BC 的中点,请问在线段 AB1 是否存在点 E,使得 DE//面 AA 1C1C ?若存 在,请说明点 E 的位置,若不存在,请说明理由; (Ⅲ)求二面角 C ? A 1B 1 ? C1 的大小.

20. (本小题满分 13 分)对于定义域为 D 的函数 y ? f ? x ? ,若同时满足下列条件:① f ? x ? 在 D 内单调递增或单调递减;②存在区间 [a, b] ? D ,使 f ? x ? 在上的值域为;那么把 y ? f ? x ? (x∈D)叫闭函数. (1)求闭函数 y ? ? x3 符合条件②的区间; (2)判断函数 f ? x ? ? (3)判断函数 y ? k ?

3 1 x ? ? x ? 0 ? 是否为闭函数?并说明理由; 4 x

x ? 2 是否为闭函数?若是闭函数,求实数 k 的取值范围.
x x?1

21. (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? 9 ? 3

? c (其中 c 是常数).

(1)若当 x ? ?0,1? 时,恒有 f ? x ? ? 0 成立,求实数 c 的取值范围; (2)若存在 x0 ? ?0,1? ,使 f ? x0 ? ? 0 成立,求实数 c 的取值范围; (3)若方程 f ? x ? ? c ? 3 在上有唯一实数解,求实数 c 的取值范围.
x

高一期末数学答案 11. 3 12. lg16 13. 0 ? m ? 4 14.②③④ 15.①②④

16. (本小题满分 12 分)(1) M ? ? x | x ?

? ?

3? (3 分) ?; 2?

N ? ?x | x ? 3或x<1?
? ? 3? 2?

(6 分)

(2) M ? N ? ? x | x ? 1或x> ? .(9 分)

CR N ? ?x |1 ? x ? 3? (12 分)
17.(本小题满分 12 分)解:∵ A ? B ? B ,∴ B ? A ,………………………………1 分 ∵A={0,4},∴ B ? ? ,或 B={0}或 B={4},或 B={0,-4},……………………………3 分

②当 a=-1 时,△=0,此时 B={0} ? A ;……………………………………9 分
2 2 ③当 a>-1 时,△>0,要使 B ? A ,则 A=B,∴0,-4 是方程 x ? 2 ? a ? 1? x ? a ? 1 ? 0 的两

根,∴ ?

??2 ? a ? 1? ? ?4 ? ,解之得 a=1,………………………………11 分 2 a ? 1 ? 0 ? ?

综上可得 a≤-1 或 a=1.……………………………………………12 分 18.(本小题满分 12 分)(1)过 P 作 PM⊥AD 于 M,∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD, PM ? 面 PAD,∴PM⊥面 ABCD,…………………………2 分 又 PA=PD=5,AD=8,∴M 为 AD 的中点且 PM ? 52 ? 42 ? 3 ,……………………3 分

? ,AD=8,∴菱形 ABCD 的面积 S ? 32 3 ,………………………………5 分 3 1 ∴ VP ? ABCD ? S ? PM ? 32 3 ,……………………………………6 分 3
∵∠BAD= (2)证明:连接 BM……………………………………………………7 分 ∵BD=BA=8,AM=DM,∠BAD=

? ,∴AD⊥BM,……………………9 分 3

又 AD⊥PM,且 BM∩PM=M,…………………………………………11 分 ∴AD⊥平面 PMB.………………………………………………12 分 19. (本小题满分 13 分)(Ⅰ)因为四边形 AA 1C1C 为正方形,所以 AA 1 ? AC ,因为平面 ABC ⊥平面 AA 且平面 ABC∩平面 AA 所以 AA1 ? 平面 ABC.………………………… 1C1C , 1C1C =AC, 4分

(Ⅱ)当点 E 是线段 AB1 的中点时,有 DE//面 AA 1C1C .连结 A 1 B 交 AB1 于点 E,连结 DE.因 为点 E 是 A 点 D 是线段 BC 的中点, 所以 DE// A1C , 又因为 DE ? 面 AA 1 B 中点, 1C1C ,A 1C ? 面 AA 1C1C ,所以 DE//面 AA 1C1C .………………………………………………8 分 (Ⅲ) 因为 AA1 ? 平面 ABC, 所以 AA1 ? AB.又因为 AC⊥AB, 所以 AB⊥面 AA1C1C , 所以 A1 B1 ? 面 AA 1C1C ,所以 A 1 B1 ? A 1 B1 ? A 1B 1 ? C1 的平面 1C1 , A 1C ,所以 ?C1 A 1C 是二面角 C ? A 角,………………11 分 易得 tan ?C1 A1C ?

C1C ? 1 ,所以二面角 C ? A1 B1 ? C1 的平面角为 C1 A1

45°.…………………………13 分

?b ? ?a3 ? ?a ? ?1 3 20. (本小题满分 13 分)解: (1)由题意, y ? ? x3 在上递减,则 ?a ? ?b 解得 ? ,所 b ? 1 ? ?b ? a ?
以,所求的区间为。……………………4 分

7 76 ? ? f ? x2 ? ,即 f ? x ? 不是(0,+∞)上的减函数, 4 10 1 1 3 3 , x2 ? , f ? x3 ? ? ? 10 ? ? 100 ? f ? x2 ? ,即 f ? x ? 不是(0,+∞)上的 取 x1 ? 10 100 40 400
(2)取 x1 ? 1, x2 ? 10 ,则 f ? x1 ? ? 增函数,所以函数在定义域内不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函 数.…………………………8 分 (3)若 y ? k ?

x ? 2 是闭函数,则存在区间,在区间上,函数 f ? x ? 的值域为,即

? ?a ? k ? a ? 2 ,∴a,b 为方程 x ? k ? x ? 2 的两个实根,即方程 ? b ? k ? b ? 2 ? ?

x2 ? ? 2k ? 1? x ? k 2 ? 2 ? 0 ? x ? ?2, x ? k ? 有两个不等的实根,当 k≤-2 时,有
? ? ?? ? 0 ?? ? 0 ? ? 9 ? f ? ?2 ? ? 0 ,解得 ? ? k ? ?2 ,当 k>-2 时,有 ? f ? k ? ? 0 ,无解,综上所述, 4 ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 ? ? ? ?2 ?k ? 2 ? 2
? 9 ? k ? ? ? , ?2? .………13 分 ? 4 ?
21. (本小题满分 13 分)解: (1)f ? x ? ? 3
2

? ?

x 2

x ? 3 ? 3x ? c , 令3 ? t , 当 x ? ?0,1? 时, t ? ?1,3? ,

问题转化为当 t ? ?1,3? 时, g ? x ? ? t ? 3t ? c ? 0 恒成立.…………2 分
2 于是,只需 g ? t ? 在上的最大值 g ? 3? ? 0 ,即 3 ? 3 ? 3 ? c ? 0 ,解得 c ? 0 ,∴实数 c 的取值

范围是(-∞,0).……………………4 分 (2)若存在 x0 ? [0,1] ,使 f ? x0 ? ? 0 ,则存在 t ? ?1,3? ,使 g ? x ? ? t ? 3t ? c ? 0 ,……5 分
2

9 3 ?3? ?3? 于是,只需 g ? t ? 在上的最小值 g ? ? ? 0 ,即 ? ? -3 ? ? c ? 0 ,解得 c ? ,∴实数 C 4 2 ?2? ?2?
的取值范围是(-∞,

2

9 ).…………………………8 分 4
x 2

(3)若方程 f ? x ? ? c ? 3 在上有唯一实数解,则方程 t ? ? 3 ? c ? t ? c ? 0 在上有唯一实数 解.………………9 分
2 因 ? ? ? 3 ? c ? ? 4c ? ? c ? 1? ? 8 ? 0 ,故 t ? ? 3 ? c ? t ? c ? 0 在上不可能有两个相等的实
2 2

数解.………………11 分
2 令 h ?t ? ? t ? ? 3 ? c ? t ? c ,因 h ?1? ? ?2 ? 0 ,故只需 h ? 3? ? ?2c ? 0 ,解得 c ? 0 ,∴实数

c 的取值范围是(-∞,0].…………………………13 分


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