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高三数学试题四川省成都外国语学校2013届高三9月月考 文


成都外国语学校高 2013 级高三第一次月考试题
数学试题(文科) 命题人:全 鑫 审题人:黎 梅 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中。只 有一项是符合题目要求的。 1. 若 集 合 A ? {? 1, 1}B ? , ( ) A.5 2.下列命题正确的是(

{0, , 则 集 合 {z |

z ? x ? y, x ? A, y ? B} 中 的 元 素 的 个 数 为 2}
B. 4 ). B. a ? b 的充要条件是 a ? b ? 0 C. 3 D. 2

? ? ? ? ? ? A.若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; ? ?

?

?

? ?

C. 若 a 与 b 的夹角是锐角的必要不充分条件是 a ? b ? 0 ; D. a // b 的充要条件是 a ? ? b 3. 已知三条不重合的直线 m、n、l ,两个不重合的平面 ?、? ,有下列命题: ①若 m ∥ n , n ? ? ,则 m ∥ ? ; ②若 l ?

? ?

? ?

?

?

? , m ? ? ,且 l ∥ m ,则 ? ∥ ?

③若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ④若 ? ? ? , ? ? ? = m , n ? ? , n ? m ,则 n ?

?

其中正确命题的个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4、如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线 的两顶点,若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的 比值是 A、3 B、2 C、 3 D、 2

5、如右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A、16 B、24 C、34 D、48 6 如果数列 a1 ,

a a a2 , 3 ,…, n ,…是首项为 1,公比为 ? 2 的 a1 a2 an ?1
) C.-32 D.-64

等比数列,则 a 5 等于( A.32 B.64

7、某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 S 的值是( ) A、-3 B、-

1 2

C、

1 3

D、2

8. 曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为( )

A. ? ? 2sin ?
x ?2

B.

? ? cos ?

C.

? 2 ? 2cos?

D. ? ? 2 cos?

9. 已 知 f ? x? ? a , g x ? log ? ? a

x a 0, a ?1, 若 f ? 4? ? g ? ? 4? ? 0, 则 y= f ? x ? , ? ? ?

y 1 o 1 2 x
C

y= g ? x ? 在同一坐标系内的大致图象是(

y 1 -1 o 1 2
A

y

y 1 -1


x

1 -1 x o 1 2
B

-1

x o 1 2

D

10.函数 f ( x) 满足 f / ( x0 ) ? 0 是函数 f ( x ) 在点 x ? x0 处存在极值的( A. 充分不必要条件

B.必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件

11. 已知 O 是正三角形 ABC 内部一点,满足 OA ? 2OB ? 4OC ? 0 ,则

??? ?

??? ?

??? ?

?

S?AOB ? S?AOC

A.

3 2

B. 5

C. 2

D.

5 3

12.设函数 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 的非负可导的函数,且满足 xf / ( x) ? f ( x) ? 0 ,对任意的正 数 a , b ,若 a ? b ,则必有( A. af (b) ? bf (a) ) C. af (a) ? f (b) D. bf (b) ? f (a)

B. bf (a) ? af (b)

二、填空题(本大题共 4 题,每小题 4,共 16 分)

11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a+b=_______. 1 ? 2i 1 1 14.已知 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? , 则 log 5 (tan ? ? tan ? ) ? _________. 3 2
13.设 a,b ? R,a+bi=
? 2 x ? y ≥ 0, 15.若实数 x,y 满足 ? y ≥ x, 且 z ? 2 x ? y 的最小值为 4,则实数 b 的值为______ ? ? y ≥ ? x ? b, ?

3 ? ?4 ? 8 | x ? 2 |,1 ? x ? 2 ? 16. 已知定义在 [1, ??) 上的函数 f ( x) ? ? ,给出下列结论: 1 x ? f ( ), x ? 2 ? ? 2 2
① 函数 f ( x ) 的值域为 [0, 4] ;② 关于 x 的方程 f ( x ) ? ( ) 有 6 个不相等的实根; ③ [1, 2] 时,函数 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 S ,则 S ? 2 ; 当 ④ 存在 x0 ? [1,8] ,使得不等式 x0 f ( x0 ) ? 6 成立。

1 2

其中你认为正确的所有结论的序号为_________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
2 17(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos

?x
2

? cos( ?x ?

?
3

), (其中 ? ? 0) 的最小正周期

为? 。

(Ⅰ )求 ? 的值,并求函数 f (x) 的单调递减区间; (Ⅱ )在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) ? ?

1 , c ? 3, 2

?ABC 的面积为 6 3 ,求 ?ABC 的外接圆面积。
18、 (本小题满分 12 分) 某研究性学习小组对昼夜温差与某种子发芽数的关系进行研究,他们分别记录了四天中 每天昼夜温差与每天 100 粒种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:

(I)求这四天浸泡种子的平均发芽率; (II) 若研究的一个项目在这四天中任选 2 天的种子发芽数来进行, 记发芽的种子数分别为 m, n(m<n) ,则(m,n)的形式列出所有的基本事件,并求“m,n 满足 ? 概率。
B1

?m ? 30 ”的事件 A 的 ?n ? 40
A1 C1

19. (本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 各棱长都为 a , P 为线段 A1 B 上的动点. (Ⅰ )试确定 A1 P : PB 的值,使得 PC ? AB ; (Ⅱ )若 A1 P : PB ? 2 : 3 ,求二面角 P ? AC ? B 的大小;
B P

A C

20.(本题满分 12 分)函数 f ( x) ? (1 ? x)2 ? ln(1 ? x)2 。 (1)求函数 f ( x) 的单调区间;
2 (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? x ? a 在 [0, 2] 上恰有两个零点,求实数 a 的取值范围。

21、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F(1,0) ,且点(-1, )在椭圆 C 2 a b 2

上。 (I)求椭圆 C 的标准方程; (II)已知动直线 l 过点 F,且与椭圆 C 交于 A,B 两点,试问 x 轴上是否存在定点 Q, 使得 QA ? QB ? ?

??? ??? ? ?

7 恒成立?若存在 ,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由。 16

22.己知函数 f ( x) ? log3 的点 P 是 M,N 的中点。

1 3x , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 是 f ( x) 图像点的两点,横坐标为 2 1? x

(1)求证: y1 ? y 2 的定值; (2)若 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 n

2 n

n ?1 )( n ? N*, n ? 2), 求S n; n

(3).设

an ?

17 1 , Tn 为数列{ an }前 n 项和,证明: Tn ? ; 52 4( Sn?1 ? 1)( Sn? 2 ? 1) ? 1

成都外国语学校高 2013 级高三第一次月考试题
数学试题(文科)参考答案: 一、选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 B 5 A 6 A 7 D 8 D 9 B 10 C 11 C 12 A

二、填空题: 13.___8____; 三、解答题:

14.____-2_____;

15._____3_______;16.____① ________ ③

?ABC 的外接圆半径等于

a 7 7 3 ? ? 2 sin A 3 3
49? 3
………(12 分)

则 ?ABC 的外接圆面积等于

19。 【法一】 (Ⅰ)当 PC ? AB 时,作 P 在 AB 上的射影 D . 连结 CD .则 AB ? 平面 PCD , ∴ AB ? CD ,∴D 是 AB 的中点,又 PD // AA1 ,∴P 也是 A B 的中点,即 A1P : PB ? 1 . 1 当 A1P : PB ? 1 时, AB 的中点 D ? , 取 连接 CD? 、PD? .∵?ABC 为正三角形, CD? ? AB . ∴ 反之 由

于 P 为 A1 B 的中点时,PD? // A1 A ∵A1 A ? 平面 ABC , PD? ? 平面 ABC , PC ? AB .……6′ ∴ ∴ (Ⅱ )当 A1 P : PB ? 2 : 3 时,作 P 在 AB 上的射影 D . 则 PD ? 底面 ABC .作 D 在 AC 上的射影

E , 连 结 PE , 则 P E ? A C.∴ ?DEP 为 二 面 角 P ? AC ? B 的 平 面 角 . 又 ∵ PD // AA1 ,


BD BP 3 PD 3 3 2 ? ? ? a , 又 ∵ , ∴ AD ? a .∴ DE ? AD ? sin60? ? , 5 DA PA1 2 AA1 5 5

∴PD ? a .∴tan?PED ?

3 5

PD 以 ? 3 ,∴P ? AC ? B 的大小为 ?PED ? 60? .…12【法二】 A 为 DE

原点,AB 为 x 轴, A 点与 AB 垂直的直线为 y 轴,AA1 为 z 轴, 过 建立空间直角坐标系 A ? xyz ,

??? ??? ? ? ? a 3a ? 如图所示,设 P ? x, 0, z? ,则 B ? a, 0, 0? 、 A1 ? 0,0, a ? 、 C ? , ,0 ? .(Ⅰ)由 CP ? AB ? 0 得 ?2 2 ? ? ?

? a? 1 a 3a ? ? , z ? ? ? a,0,0 ? ? 0 , 即 ? x ? ? ? a ? 0 , ∴ x ? a , 即 P 为 A1 B 的 中 点 , 也 即 ? x ? ,? ? ? 2? 2 2 2 ? ? ?
? 2a 3a ? ,0, ? . )当 AP :PB ? 2:3 时, P 点的坐标是 ? A1P : PB ? 1 时, PC ? AB .…………4′ (Ⅱ 1 5 ? ? 5


?? m ? 3, ? 3, ?2

?

?

.



?? ??? ? ? 2a 3a ? m ? AP ? 3, ? 3, ?2 ? ? ,0, ? ? 0 5 ? ? 5

?

?



?? ?? ???? ? a 3a ? .∴m 是平面 PAC 的一个法向量.又平面 ABC 的一个法 m ? AC ? 3, ? 3, ?2 ? ? , ? 2 2 ,0 ? ? 0 ? ? ? ?? ? ?? ? ? m?n 1 向量为 n ? ? 0,0,1? .∴cos ? m, n? ? ?? ? ? ,∴ 二面角 P ? AC ? B 的大小是 60? .…… 2 m?n

?

?



3







S n ?1 ?

n n ?1 , Sn? 2 ? 2 2









an ?

1 1 1 1 ? ? ? 4(Sn?1 ? 1)( Sn? 2 ? 1) ? 1 (n ? 2)(n ? 3) ? 1 n ? 2 n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 17 Tn ? a1 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? ? ? 4 5 5 6 n ? 2 n ? 3 13 4 n ? 3 52


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