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高三数学二轮复习精品课件(课标版)专题2 第7讲 平面向量


第7讲

平面向量

第7讲

平面向量

第7讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1.平面向量的基本概念 2.共线向量定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ, 使 b=λ· a.如果向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条

件 是 x1y2=x2y1 或者 x1y2-x2y1=0,即用坐标表示的两个向量平行的 充要条件是它们坐标的交叉之积相等.当其中一个向量的坐标都 x2 y2 不是零时,这个充要条件也可以写为x =y ,即对应坐标的比值相 1 1 等. 3.平面向量基本定理 对于任意 a,若以不共线的向量 e1,e2 作为基底,则存在唯一 的一组实数对 λ,μ,使 a=λe1+μe2.

第7讲 │ 主干知识整合
4.向量的坐标运算 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b= (x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1). 5.数量积 (1)已知 a,b 的夹角为〈a,b〉=θ(θ∈[0,π]),则它们的数量 积为 a· b=|a|· |b|cosθ,其中|b|cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影, 向量的数量积满足交换律、 数乘结合律和分配律, 但不满足结合律, 即 a· c)≠(a· c; (b· b)· (2)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a· b=x1x2+y1y2; a· b (3) 两 非 零 向 量 a , b 的 夹 角 公 式 为 cosθ = = |a||b| x1x2+y1y2 2; x2+y2 x2+y2 1 1 2 (4)|a|2=a· a. (5)两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零.

第7讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ? 探究点一 平面向量的概念及线性运算
→ → 例 1 (1)a,b 是不共线的向量,若AB=λ1a+b,AC=a+λ2b(λ1,λ2∈ R),则 A,B,C 三点共线的充要条件为( ) A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1 C.λ1·2+1=0 λ D.λ1λ2-1=0 (2)[2011· 山东卷] 设 A1,A2,A3,A4 是平面直角坐标系中两两不同的 1 1 四点,若A→ 3=λA→ 2(λ∈R),A→ 4=μA→ 2(μ∈R),且λ+μ=2,则称 A3, A A A A 1 1 1 1 A4 调和分割 A1,A2,已知点 C(c,0),D(d,0)(c,d∈R)调和分割点 A(0,0), B(1,0),则下面说法正确的是( ) A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C、D 可能同时在线段 AB 上 D.C、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

第7讲 │ 要点热点探究

→ → 【分析】 (1)由于向量AC,AB有公共起点,因此三点 A,B, → → C 共线只要AC,AB共线即可,根据向量共线的条件即存在实数 λ → → 使得AC=λAB,然后根据平面向量基本定理得到两个方程,消掉 λ 即得结论;(2)根据各点的坐标以及向量的共线的关系,找出 c, d 所满足的关系式,再根据各个选项进行分析判断.

第7讲 │ 要点热点探究
→ → 【解析】 (1)只要AC,AB共线即可,根据向量 → → 共线的条件即存在实数 λ 使得AC=λAB,即 a+λ2b=λ(λ1a+b), (1)D (2)D 由于 a,b 不共线,根据平面向量基本定理得 1=λλ1 且 λ2=λ,消 掉 λ 得 λ1λ2=1. → 即(c,0)=λ(1,0), → (2)由新定义知,→ =λAB, AC ∴λ=c.同理AD= 1 1 1 1 → μAB,即(d,0)=μ(1,0),∴μ=d,又 λ +μ=2,∴ c +d=2.若点 C 1 1 1 为线段 AB 中点,则 λ=2,与 λ+μ=2 矛盾,所以 C 不为线段 AB 中点,同理 D 不为线段 AB 中点.若点 C,D 同在线段 AB 上, 1 1 则 c+d>2, ∴只能一个点在线段 AB 上, 另一个点在线段 AB 的延 长线上.

第7讲 │ 要点热点探究

【点评】 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中 的两个带有根本意义的定理.平面向量基本定理是平面内任意一 个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示,这个定理的一 个极为重要的导出结果是, 如果 a, 不共线, b 那么 λ1a+λ2b=μ1a +μ2b 的充要条件是 λ1=μ1 且 λ2=μ2.共线向量定理有一个直接的 → → → 导出结论,即如果OA=xOB+yOC,则 A,B,C 三点共线的充 要条件是 x+y=1.

第7讲 │ 要点热点探究
(1)如图 7-1,在△ABC 中,点 O 是 BC 的中点,过 → 点 O 的直线分别交直线 AB,AC 于不同的两点 M,N,若AB= → ,AC=nAN(m,n>0),则 1 + 4的最小值为( → mAM → ) m n

图 7-1 9 A.2 B.4 C.2 D.9 (2)[2011· 湖南卷] 设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________.

第7讲 │ 要点热点探究
(1)C → → → =AO-AM=AB+AC- 1 AB= → → → (2)(-4, -2) 【解析】 (1)MO 2 m
?1 1?→ 1→ ? - ?AB+ AC, 2 ?2 m? ? ? ? ? → =?1-1?AC+1AB, O, 三点共线, ?1- 1 ?AB+1AC= → → M, N 同理NO 2 n 故 2 m → 2→ 2 ? ? ? ? ??1 1 ? ? ? ? ? ? → +1AB?,即?1- 1 - λ?AB+?1-λ+ λ ?AC=0. → → → λ??2-n?AC 2 ? ?2 m 2? ?2 2 n? ?? ?

1 1 λ 1 λ λ → AC → 由于AB, 不共线, 根据平面向量基本定理2-m-2=0 且2-2+n= 0,消掉 λ 即得 m+n=2, ?1 4? 1? n 4m? 1 1 4 1 9 ? + ?= ?5+ + ?≥ (5+4)= .正确选项为 C. 故m+n=2(m+n) m n 2 m n? 2 2 ? ? ? (2)因为 a 与 b 的方向相反,根据共线向量定义有:a=λb(λ<0), 所以 a=(2λ,λ). 由?a?=2 5,得 ?2λ?2+λ2=2 5?λ=-2 或 λ=2(舍去), ? ? 故 a=(-4,-2).

第7讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 平面向量的数量积

→ 例 2 如图 7-2, 为△AOB 所在平面内一点, P 向量OA=a, → → OB=b,且 P 在线段 AB 的垂直平分线上,向量OP=c.若|a|=3, |b|=2,则 c· (a-b)的值为( )

A.5

B.3

图 7-2 5 C.2

3 D.2

第7讲 │ 要点热点探究
→ 【分析】 求解的数量积中,a-b=BA,设 AB 中点为 D,则 → → → → BA → c=OP=OD+DP,其中DP· =0,这样就把求解的数量积转化
→ BA → 为OD· ,问题就归结为关于 a,b 的数量积上.
→ → → 【解析】 设 AB 中点为 D,c=OP=OD+DP,所 → → BA → BA → BA → BA → → → → 以 c· (a-b)=(OD+DP)· =OD· +DP· =OD· = 1 1 5 (a+b)· (a-b)=2(|a|2-|b|2)=2. 2 C

【点评】 平面向量问题的难点就是把平面向量的几何 运算与数量积运算的结合,这里要充分利用平面向量的几何 运算法则、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以 及平面向量数量积的运算法则,探究解题的思想.

第7讲 │ 要点热点探究
(1)[2011· 课标全国卷] 已知 a 与 b 均为单位向量, 其夹角为 θ,有下列四个命题: ? 2π? ?0, ? p1:|a+b|>1?θ∈ 3 ?; ? ?2π ? p2:|a+b|>1?θ∈? 3 ,π?; ? ? ? π? ?0, ?; p3:|a-b|>1?θ∈ 3? ? ?π ? p4:|a-b|>1?θ∈?3,π?. ? ? 其中的真命题是( ) A.p1,p4 B.p1,p3 C.p2,p3 D.p2,p4 → → (2)在△OAB 中,设OA=a,OB=b,则 OA 边上的高等于 ________.

第7讲 │ 要点热点探究
(1)A |a|2|b|2-?a· 2 b? (2) |a|

1 ? ? 【解析】 (1)因为?a+b?>1??a?2+2a· ?b?2>1?a· b+? ? b>-2? ? ? ? ?
? ?

? 2π? 1 a??b?cosθ=cosθ>- ?θ∈?0, ?, ?? ? 3? 2 ? 所以 p1 为真命题,p2 为假命题.

1 ? ? 又因为 ?a-b? >1? ?a? 2 -2a· ?b? 2>1?a· 2 ? ?a? ?b? cosθ= b+ ? ? b< ? ? ? ?? ? ? ?
?π ? 1 ? ,π?,所以 p4 为真命题,p3 为假命题. cosθ<2?θ∈ 3 ? ? a· b (2)设∠AOB=θ,那么 cosθ=|a||b|,则 sinθ= 1-cos2θ= |a|2|b|2-?a· 2 b? |a|2|b|2-?a· 2 b? → |sinθ=|b| ,OA 边上的高等于|OB |a||b| |a||b| |a|2|b|2-?a· 2 b? = . |a|

第7讲 │ 要点热点探究
? 探究点三 平面向量的共线与垂直的综合运用
x2 y2 例 3 已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2, 1 左顶点为 A,若|F1F2|=2,椭圆的离心率为 e=2. (1)求椭圆的标准方程; → PA → (2)若 P 是椭圆上的任意一点,求PF1· 的取值范围; (3)已知直线 l: y=kx+m 与椭圆相交于不同的两点 M, N(均不 → → HN 是长轴的端点),AH⊥MN,垂足为 H 且AH2=MH·→ ,求证:直 线 l 恒过定点.

第7讲 │ 要点热点探究
【分析】 (1)待定系数法;(2)用椭圆上点 P 的坐标表示出数量 → PA → 积PF1· ,根据椭圆上点的坐标的范围求解;(3)根据已知的垂直关 → AN → 系和向量等式,求出AM· ,然后使用韦达定理代入,得出直线方 程中的参数 k,m 的关系,再根据这个关系确定直线系过的定点.
x2 y2 【解答】 (1)由已知得 c=1,a=2,b= 3,∴所求椭圆方程为 + 4 3 =1. (2)设 P(x0,y0),又 A(-2,0),F1(-1,0), →1· =(-1-x0)(-2-x0)+y2=1x2+3x0+5. → ∴PF PA 0 4 0 1 由于 P(x0,y0)在椭圆上,∴-2≤x0≤2,可知 f(x0)= x2+3x0+5 在区 4 0 间[-2,2]上单调递增,∴当 x0=-2 时,f(x0)取最小值为 0;当 → PA → x0=2 时,f(x0)取最大值为 12,∴PF1· 的取值范围是[0,12].

第7讲 │ 要点热点探究
?y=kx+m, ? 2 2 (3)由?x y 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, ? 4 + 3 =1 ? 由 Δ>0 得 4k2+3>m2. -8km 4m2-12 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= , 3+4k2 3+4k2 → AN → → → (AH → → → HN → AH → AM · =(AH +HM )· → +HN )=AH 2 +AH ·→ +HM · + → HN → HM· =0,∴(x1+2)(x2+2)+y1y2=0, 即(1+k2)x1x2+(2+km)(x1+x2)+4+m2=0, 1 7 2 2 ∴4k -16km+7m =0,∴k= m 或 k= m,均适合. 2 2 1 当 k= m 时,直线过 A 点,舍去. 2 ? 2 ? 7 2 当 k= m 时,直线 y=kx+ k 过定点?-7,0?. 2 7 ? ?

第7讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题是以考查解析几何基本问题为主的试题, 但平面向 量在其中起着关键作用.本题的难点是第三问,即把已知的垂直关系 → AN → 和向量等式转化为AM· =0,从而达到使用韦达定理建立直线中参 数 k,m 的方程,确定 k,m 的关系,把双参数直线系方程化为单参数 直线系方程,实现了证明直线系过定点的目的.

第7讲 │ 要点热点探究

已知双曲线的中心在原点,坐标轴为对称轴,一条渐 4 近线方程为 y=3x,右焦点 F(5,0),双曲线的实轴为 A1A2,P 为双 9 曲线上一点(不同于 A1,A2),直线 A1P、A2P 分别与直线 l:x=5交 于 M、N 两点. (1)求双曲线的方程; → FN → (2)求证:FM· 为定值.

第7讲 │ 要点热点探究
x2 y2 【解答】 (1)依题意可设双曲线方程为a2-b2=1,则 ?b 4 ? = , ?a=3, ?a 3 ? x2 y2 ?c=5, ?? ∴所求双曲线方程为 9 -16=1. ?b=4, ? ? ?c2=a2+b2 ? (2)A1(-3,0)、A2(3,0)、F(5,0), ?9 ? ?24 ? → → 设 P(x,y),M?5,y0?,A1P=(x+3,y),A1M=? 5 ,y0?, ? ? ? ? 24 ∵A1、P、M 三点共线,∴(x+3)y0- 5 y=0, ?9 ?9 24y ? 6y ? 24y ? ? ? ∴y0= ,即 M?5,5?x+3??. 同理得 N?5,-5?x-3??. ? 5?x+3? ? ? ? ? ? ? 16 24y ? 16 6y ? ? ? → =?- , → =?- ,- ∴FM ? ?,FN ? 5 5 5?x+3?? 5?x-3??, ? ? ? 2 2 2 256 144 y x y y2 16 → FN → ∴FM· = 25 - 25 · 2 . ∵ 9 -16=1,∴ 2 =9, x -9 x -9 → FN 256 144 16 256 256 → → FN → ∴FM· = 25 - 25 · = 25 - 25 =0,即FM· =0 为定值. 9

第7讲 │ 要点热点探究
? 创新链接4 平面向量中的最值、范围问题

平面向量中的最值和范围问题, 是一个热点问题, 也是难点问题, 这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如一 个向量模的最值、两个向量夹角的范围等. 最值和范围问题都是在变动的情况下, 某个量在一个特殊情况上 取得极端值,也就是在动态的情况下确定一个静态的情况,使得这个 情况下某个量具有特殊的性质(如最大、最小、其余情况下都比这个 量大等).在数学上解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数 关系,通过函数的值域解决问题,这个思想在平面向量的最值、范围 问题中也是适用的,但平面向量兼具“数”与“形”的双重身份,解 决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合.

第7讲 │ 要点热点探究
例 4 [2011· 辽宁卷] 若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a- c)· (b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( ) A. 2-1 B.1 C. 2 D.2

【分析】 向量的模与向量的关系是解决此类问题的关键.

第7讲 │ 要点热点探究
【 解 析 】 B |a + b - c| = ?a+b-c?2 =

a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c, 由于 a· b=0,所以上式= 3-2c· ?a+b?. 又由于(a-c)· (b-c)≤0,得(a+b)· 2=1, c≥c 所以|a+b-c|= 3-2c· ?a+b?≤1,故选 B.

【点评】 本题的易错点是忽视向量的数量积是常数.

第7讲 │ 要点热点探究

→ → → 已知OB=(2,0),OC=(2,2),CA=( 2cosα, → → 2sinα),则OA与OB夹角的取值范围是( )
?π π? A.?12,3 ? ? ? ?π 5π? C.?12,12 ? ? ? ?π 5π? B.?4,12 ? ? ? ?5π π? D.?12,2 ? ? ?

第7讲 │ 要点热点探究
→ → → C 【解析】OA=OC+CA=(2+ 2cosα,2+ 2sinα),设 A(x,y), ?x=2+ 2cosα, ? 则? 其中 α 是参数,消掉 α 即(x-2)2+(y-2)2=2,这 ?y=2+ 2sinα, ? 是一个以点(2,2)为圆心、 2为半径的圆,作出图象如图,从图中可知两 ? ? → 与OB夹角的取值范围是? π ,5π?. → 向量OA ?12 12 ?

第7讲 │ 要点热点探究

第7讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼

1.当向量以几何图形的形式出现时,要把这个几何图形中的一个向 量用其余的向量线性表示,就要根据向量加减法的法则进行,特别是减法 → → → 法则很容易使用错误, 向量MN=ON-OM(其中 O 为我们所需要的任何一 个点),这个法则就是终点向量减去起点向量. 2.根据平行四边形法则,对于非零向量 a,b,当|a+b|=|a-b|时, 平行四边形的两条对角线长度相等,此时平行四边形是矩形,条件|a+b| =|a-b|等价于向量 a,b 互相垂直,反之也成立.

第7讲 │ 规律技巧提炼

3.两个向量夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特 别注意两个向量夹角可能是 0 或 π 的情况, 如已知两个向量的夹角为钝角 时,不单纯就是其数量积小于零,还要求不能反向共线. 4.平面向量的综合运用主要体现在三角函数和平面解析几何中.在 三角函数问题中平面向量的知识主要是给出三角函数之间的一些关系, 解 题的关键还是三角函数问题, 这类问题可以和三角函数中的一些题型相互 对比;解析几何中向量知识只要是给出一些几何量的位置和数量关系,在 解题中要善于根据向量知识分析解析几何中的几何量之间的关系, 最后的 解题还得落实到解析几何方面.

第7讲 │ 教师备用例题

教师备用例题
备选理由: 虽然平面向量在高考中可能出现在解答 题中, 但是平面向量难点并不是在解析几何和三角函数 的综合解答题中, 在这类试题中平面向量往往是一些最 基本和简单的问题, 平面向量的难点在于其必须从代数 与几何的两个方面同时进行才能解答的问题, 为此我们 提供下面的三个备用例题. 1 和例 2 与三角形的四心 例 有关,这是一个难点;例 3 为 2010 年全国卷的高考试 题,是解法思路较广的一个最值问题.

第7讲 │ 教师备用例题
已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面 → → 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足 OP = OA +
? → → ? AB AC ? ? + λ? ?,λ∈[0,+∞),则 → → ?|AB|sinB |AC|sinC?

例1

P 点的轨迹

一定通过△ABC 的( ) A.重心 B.垂心 C.内心

D.外心

→ 【分析】 设△ABC 中,BC 边上的高为 h,则|AB|sinB → =|AC|sinC=h,这样就简化了已知的向量关系式,只要根据 平面向量加法的几何意义即可作出判断.

第7讲 │ 教师备用例题
【解析】 A → =OA+ λ (AB+AC), 根据分析, OP → h → →

→ 所以OP=OA → → 设 D 为 BC 的中点, → +AC=2AD, 则AB → 2λ → + h AD,即点 P 在△ABC 的边 BC 的中线所在的直 线上,所以点 P 的轨迹过△ABC 的重心.
【点评】 本题中根据几何图形和三角函数的概念,发现 → sinB=|AC|sinC=h 是解题的关键. → |AB|·

第7讲 │ 教师备用例题
例 2
? → →? → 与AC 满足 ? AB + AC ? · → 已知非零向量AB → BC ? → →? |AB| |AC|? ?

→ → AB AC 1 =0,且 · =-2,则△ABC 的形状为( ) → → |AB| |AC| A.等腰非等边三角形 B.等边三角形 C.三边均不相等的三角形 D.直角三角形

→ → AB AC 【分析】 根据平面向量加法的几何意义,向量 + 的 → | |AC| → |AB ? → →? AB AC ? → ? + 中点在角 A 的内角平分线上,? · =0 说明,角 A 的 BC → | |AC|? →? ?|AB → → AB AC 1 内角平分线垂直于对边,根据数量积的定义 · =-2,说 → | |AC| |AB → 明 A=120° .

第7讲 │ 教师备用例题
【解析】 A
? → →? AB AC ? → ? + 根据? BC ?· =0,知角 → → ?|AB| |AC|?

A的

内角平分线和 BC 边的高线重合, 说明三角形是等腰三 → → AB AC 1 角形; 根据数量积的定义 · =-2, 说明 A=120° . → | |AC| → |AB 故三角形是等腰非等边的三角形.
→ → AB AC 【点评】 解答本题的关键是注意到向量 , 分别是与 → → |AB| |AC| → → 向量AB,AC同方向的单位向量,两个单位向量的和一定在角 A 的内角平分线上.

第7讲 │ 教师备用例题

[2010· 全国卷Ⅰ] 已知圆 O 的半径为 1,PA、 → PB → PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么PA· 的 最小值为( ) A.-4+ 2 C.-4+2 2 B.-3+ 2 D.-3+2 2

例3

第7讲 │ 教师备用例题
→ → 【解析】 D 方法 1:设|PA|=|PB|=x,∠APB=θ, x2-1 θ 1 则 tan2=x,cosθ= 2 , x +1 x2-1 x4-x2 ?x2+1?2-3?x2+1?+2 → PB → 则PA· =x2× 2 = = x +1 x2+1 x2+1 2 2 =x +1+ 2 -3≥2 2-3,当且仅当 x2+1= 2, x +1 即 x2= 2-1 时,取“=”, → PB → 故PA· 的最小值为 2 2-3.

第7讲 │ 教师备用例题
→ |=|PB|= 1 . → 方法 2:设∠APB=θ,0<θ<π,则|PA θ tan2 θ 1 ? cos22 ? ? 2θ? → · =|PA ||PB |cosθ= ? θ? 2cosθ= → → → ?1-2sin ? = PA PB 2? θ· ?tan2? ? 2 ? ? sin 2 ? 2θ?? 2θ? ?1-sin ??1-2sin ? 2 ?? 2? ? . θ sin22 2θ → · =?1-x??1-2x?= → 换元:令 x=sin 2,0<x≤1,PA PB x 1 2x+x-3≥2 2-3.

第7讲 │ 教师备用例题

方法 3: 建立平面直角坐标系. 设圆的方程为 x2+y2=1, A(x1,y1),B(x1,-y1),P(x0,0), → PB → PA· =(x1-x0, 1)· 1-x0, 1)=x2-2x1x0+x2-y2, y (x -y 1 0 1
2 → → OA⊥PA?(x1,y1)· 1-x0,y1)=0?x2-x1x0+y1=0? (x 1 x1x0=1, 2 2 → PB → PA · =x 2 -2x1x0 +x 2 -y 1 =x 2 -2+x 0 -(1-x 2 )=2x 2 1 0 1 1 1

+x2-3≥2 2-3. 0

第7讲 │ 教师备用例题
??高考命题者说 【考查目标】 本题考查函数最小值的概念和求解方法, 考查圆的切线及其性质、向量数量积的概念和运算,综合考 查考生应用数学知识解决实际问题的能力. 【命制过程】 “从一点出发到圆的切线,求切线长”, 这个问题对考生来讲并不陌生.本题把求切线长的问题设计 → PB → 在求PA· 的最小值的过程中, 对考生的能力提出了比较高的 要求. 【试题评价】 试题通过求数量积的最小值问题,将几何 问题和代数计算巧妙结合,使对数学基础知识的考查达到必 要的探究. (引自高等教育出版社 2011 年大纲版的 《高考理科试题分 析》第 101 页第 11 题)


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历届高考数学真题汇编专题7_平面向量_理(2000-2006)

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