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广东省“六校教研协作体”2013届高三第二次(11月)联考数学(文科)试题


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广东省“六校教研协作体”2013 届高三联考 文科数学试题
参考学校:阳春一中 肇庆一中 真光中学 深圳二高 珠海二中

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试时间 120 分钟



1 参考公式:柱体、锥体的体积公式分别为 V ? Sh 、 V ? Sh ,其中 S 是底面积, h 是高. 3

一、选择题 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
? 1? i ? 1. 计算 ? ? ? 1? i ?
A. i
2013

( i 是虚数单位)得 B. ?i C. 1 ? i D.1 ? i

2.已知集合 M ? x ? N + 1 ? x ? 4 , N ? x ? N + 1 ? x ? 4 ,则 A. M ? N B. N ? M C. M ? N ? ?2,3? D. M ? N ? ?1, 4? )

?

?

?

?

3.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 6 ,前三项和 S3 ? 18 ,则公比 q 的值为( A.1 B. ?

1 2

C.-1 或 ?

1 2

D.1 或 ?

1 2
开始

?x ? y ? 5 ? 4.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则目标函数 ?x ? 0 ?

z ? 4 x ? 2 y 的最大值是
A. 0 B. 10 C. 15 D. 20

输入 x

y?

1 x ?1 2

x? y


5.执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 4 ,则输出 y 的值为 A. ?

5 4

B.

5 4

C. ?

1 2

D.

1 2

y ? x ? 1?
是 输出 y

6.已知圆 C 的圆心在射线 y ? 2 x ? x ? 0 ? 上,且与 x 轴相切, 被 y 轴所截得的弦长为 2 3 ,则圆 C 的方程是 A. ? x ? 2 ? ? ( y ? 4) ? 20
2 2

结束

第 5 题图

B.

? x ? 2?

2

? ( y ? 4) 2 ? 16

?
2

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2

C. ? x ? 1? ? ( y ? 2) ? 1

D.

? x ? 1?

? ( y ? 2) 2 ? 4

7.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , A1 A ? AC ? 2,

BC ? 1, AB ? 5 ,则此三棱柱的侧(左)视图的面积为
A.

2

B. 4

C.

4 5 5

D. 2 5

8.已知 p: ?

1 x

1 , q: ? 2 ,则 p 是 q 的 x 2
B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

第 7 题图

A.充分非必要条件 C.充要条件

9.比较 sin 2013? , cos 2013? , tan 2013? 的大小,正确的是 A. sin 2013? ? cos 2013? ? tan 2013? C. tan 2013? ? cos 2013? ? sin 2013? B. tan 2013? ? sin 2013? ? cos 2013? D. cos 2013? ? sin 2013? ? tan 2013?

10.如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O ,对于平面上任意一点 M ,若 p 、 q 分别是 M 到直 线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对 ? p, q ? 是点 M 的“距离坐标” .已知常数 p ? 0 , q ? 0 ,给 出下列命题: ①若 p ? q ? 0 ,则“距离坐标”为 (0, 0) 的点有且仅有1 个; ②若 p ? 0, q ? 1 ,则“距离坐标”为 (0,1) 的点有且仅有 2 个; ③若 p ? 1, q ? 2 ,则“距离坐标”为 ?1, 2 ? 的点有且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

l1
M( p , q )

l2
O

第 10 题图

二、填空题 本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
(一)必做题(11~13 题) 11.函数 y ?

ln x 的定义域为________________________. 1? x
?
?
? ?

12.已知向量 a ? 1 , b ? 2 , a ? b ?

? ? 7 ,则 a 与 b 的夹角为_____________.

13.随机抽取某中学 10 位高三同学,调查他们春节期间购书费 用(单位:元) ,获得数据的茎叶图如右图,这 10 位同学购书的 平均费用是_____________元.

11 12 13

3 5 7 2 2 4 6 1 5 5 第 13 题图

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(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图, AB 为⊙ O 的直径, AC 切⊙ O 于点 A , 且 AC ? 2 2cm ,过 C 的割线 CMN 交 AB 的延长线于点 D ,
O B D N M 第 14 题图 C A

CM ? MN ? ND . AD 的长等于_____

__ cm .

15. (坐标系与参数方程选做题)已知直线 l 的方程为 ?

?x ? 1? t (t为参数) , ? y ? 1? t

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 1 , 则圆 C 上的点到直线 l 的最短距离等于 .

三、解答题 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
16. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? cos x ? sin x .
2 2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)在 ?ABC 中,角 A、B、C 对应的三边为 a、b、c ,若 f ( A) ? 1, a ? 2 7, b ? 4 , 求 c 的值及 ?ABC 的面积.

17. (本题满分 13 分)某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定: 大于或等于 120 分为优秀, 分以下为非优秀.统计成绩后, 120 得到如下的 2 ? 2 列联表,且已知在甲、 乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 优秀 甲班 乙班 合计 10 30 110 非优秀

3 . 11
合计

(1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号, 先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 9 号或 10 号的概 率. 参考公式与临界值表: K ?
2

n( ad ? bc) 2 . ( a ? b)( c ? d )( a ? c )( b ? d )
0.050 0.025 0.010 0.001

P( K 2 ? k )

0.100

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2.706 3.841

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k

5.024

6.635

10.828

18. (本题满分13分)三棱锥 P ? ABC 中,

P

PA ? AC ? BC ? 2, PA ? 平面 ABC ,

BC ? AC , D 、 E 分别是 PC 、 PB 的中点.
(1)求证: DE ? 平面 ABC ; (2 )求证: AD ? 平面 PBC ; (3)求四棱锥 A ? BCDE 的体积.

D E A B
第 18 题图

C

19. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 3Sn ? 4an ? 8 . (1)求数列 ?an ? 通项公式; (2)若数列{ bn }满足 bn ? log 2 an ,若 Tn 是数列{ bn }的前 n 项和,求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和. ? Tn ?

20. (本题满分 14 分)已知椭圆 (1)求该椭圆的标准方程;

2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,离心率为 的椭圆经过点 2 2 a b

? 6 ,1? .

(2)过椭圆的一个焦点且互相垂直的直线 l1 , l 2 分别与椭圆交于 A, B 和 C, D ,是否存在常数 ? ,使 得 AB ? CD ? ? AB ? CD ?若存在,求出实数 ? 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本题满分 14 分)已知

f ( x) ? ln x ?

a . x

(1)当 a ? 0 时,判断 f ( x) 在定义域上的单调性; (2)若 f ( x) 在 ?1, e ? 上的最小值为
2

3 ,求 a 的值; 2

(3)若 f ( x) ? x 在(1,+ ? )上恒成立,试求 a 的取值范围.

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2013 届高三第二次联考文科数学参考答案及评分标准
一、选择题 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 C 5 A 6 D 7 C 8 B 9 B 10 A

二、填空题 本大题共 4 小题, 每小题 5 分,满分 20 分.
11.

? x 0 ? x ? 1?

12. .

? 3

13. 124 .

14. 2 7 .

15.

2 ?1

三、解答题 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
? 3 ? 1 16.解: ? ? f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? ?1 ? 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? ????? 2分 ? ? ?

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ?????????????????????????????????????? ????????????????????????3分 6? ? ?T ? ? ????????????????????????????????????? ?????????????????????????5分

? 2 ? ? f ( A) ? 2sin ? 2 A ? ?

?? 1 ? ? ? =1, sin ? 2 A ? ? = ????????????????????????????????????????????? 7分 6? 6? 2 ? ? ? ? 13? ? 5? ? 又 ? 0 ? A ? ? ,? ? 2 A ? ? ,? 2 A ? ? ,? A ? ??????????????????????????8分 6 6 6 6 6 3
1 1 ? bc sin A ? ? 4 ? 6 ? sin ? 6 3 ?????????????????????12分 2 2 3

??

由余弦定理a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A得,c 2 ? 4c ? 12 ? 0, 解得c ? 6 ?????????10分 ??ABC的面积 S=

17.解: ⑴?????????3分 优秀 甲班 乙班 合计
2 (2)假设成绩与班级无关,则 K ?

非优秀

合计

10 20 30

50 30 80

60 50 110
2

110 ?10 ? 30 ? 20 ? 50 ? n(ad ? bc ) 2 ? ? 7.5 (a ? b)(c ? d )(a ? c )(b ? d ) 30 ? 80 ? 50 ? 60

则查表得相关的概率为99%,故没达到可靠性要求。?????????8分

(3)设“抽到 9 或 10 号”为事件 A ,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为 ( x, y ) .

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所有的基本事件有: (1,1) 、 (1,2) 、 (1,3) 、 ?、 (6,6) 共 36 个. ?????????10分

事件 A 包含的基本事件有: (3,6) 、 4,5) 、 5,4) 、 6,3) 、 5,5) 、 4,6) 、 6,4) 共7个??????? ? ( ( ( ( ( ( 12分 所以 P ( A) ?

7 7 ,即抽到9号或 10 号的概率为 . 36 36

?????????13分

18.解: (1)证明:∵ D 、 E 分别是 PC 、 PB 的中点,∴ DE ? BC .???????2分 而 DE 在平面 ABC 外,∴ DE ? 平面 ABC .?????????4分 (2)证明:∵ PA ? 平面 ABC ,∴ PA ? BC . 又∵ BC ? AC, PA ? AC ? A ,∴ BC ? 平面 PAC . ∴ AD ? BC . ???????????6分

P

D E A B
C

∵ ! PAC 中, PA ? AC , D 是 PC 的中点,∴ AD ? PC . ∵ PC ? BC ? C ,∴ AD ? 平面 PBC . ?????????8分

(3)解:由(2)知: AD ? 平面 PBC .∴ AD 是四棱锥 A ? BCDE 的高.???9分

Rt! PAC 中, PA ? AC ? 2 .∴ AD ? 2 .???????????10分
由 (2) 知四边形 BCDE 是直角梯形. DE ? 且 11分 ∴ S! BCDE ? ∴ VA? BCDE

1 1 ??????? BC ? 1 , ? PC ? 2 . DC 2 2

1 3 2 .????????????12分 ? (1 ? 2) ? 2 ? 2 2 1 3 2 ? ? ? 2 ? 1 .??????????13分 3 2

19.解: (1)∵ 3Sn ? 4an ? 8 ∴ 3Sn ?1 ? 4an ?1 ? 8

?1? , ? 2?

3a ∴ ? 2 ? ? ?1? 得: n ?1 ? 4an ?1 ? 4an
∴ an ?1 ? 4an ∴ ?an ? 是公比为4的等比数列。 --------------------4 分

? ∵ 3Sn ? 4an ? 8 , 令n ? 1 得,a1 =8 ,---------------------6 分
∴ an ? a1q
n ?1

? 8 ? 4n ?1 ? 22 n ?1 ---------------------7 分 ? 2n ? 1 -----------------9 分 (1 ? 2n ? 1)n ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? n(n ? 2) -------10 分 2
2 n ?1

(2)∴ bn ? log 2 an = log 2 2

? bn ? 2n ? 1

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∵,

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ,-----------12 分 Tn n ? n ? 2 ? 2 ? n n ? 2 ?



1 ? ?1 1 ?? 1 1 1 1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ?? T1 T2 T3 Tn 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n ?1 n ?1 ? ? n n ? 2 ??
1? 1 1 1 ? 3 1? 1 1 ? ? ? ?1 ? ? ?? ? ? ? . -------------------14 分 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? 4 2 ? n ?1 n ? 2 ?



20. (1) 解: 设椭圆方程为 2分

c 2 x2 y2 a2 ? b2 1 则 ? , 即 ????????? ? 2 ? 1?a ? b ? 0? , ? , a 2 a2 b a2 2

由此得 a ? 2b ,故椭圆方程是
2 2

x2 y2 ? 2 ?1, 2b 2 b

将点

? 6 ,1?的坐标代入,得 26 b

2

?

1 ? 1 ,解得 b 2 ? 4 ,?????????4分 2 b

故椭圆方程是

x2 y2 ? ? 1 .?????????6分 8 4
1 1 1 1 ? ? ? ,即 ? 是否是定值问题. AB CD AB CD

(2)问题等价于

椭圆的焦点坐标是 ?? 2,0? ,不妨取焦点 ?2,0 ? ,当直线 AB 的斜率存在且不等于零时, 设直线 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程是 y ? k ?x ? 2? ,?????????8分 代入椭圆方程并整理得 1 ? 2k x ? 8k x ? 8k ? 8 ? 0 .?????????9分
2 2 2 2

?

?

设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ?

8k 2 8k 2 ? 8 , x1 ? x2 ? .?????????10分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
2

根据弦长公式, AB ? 1 ? k

2

?x1 ? x2 ?

? 4 x1 x2

? 8k 2 ? 8k 2 ? 8 ? ? 4? = 1? k ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? ?
2

2

= 1? k 2 ?

32 k 2 ? 1

?1 ? 2k ?

?

2 2

? = 4 2 ?k

2

?1
2

1 ? 2k

? ?????????11分

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1 ? ? 4 2 ?1 ? 2 ? 2 1 ? k ? ? 4 2 k ? 1 ?????????12 分 以 ? 代换 k ,得 CD ? 2 k k2 ? 2 1? 2 k

?

?

所以

1 1 1 ? 2k 2 k2 ? 2 3 k 2 ?1 3 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 AB CD 4 2 k ? 1 4 2 k ? 1 4 2 k ? 1 8

?

?

?

?

?

?

?

?

即 AB ? CD ?

3 2 AB ? CD .?????????13 分 8

当直线 AB 的斜率不存在或等于零时, AB , CD 一个是椭圆的长轴长度,一个是通径长度,

此时

1 1 1 2 2 3 2 3 2 ? ? ? ? AB ? CD . ,即 AB ? CD ? AB CD 4 2 8 8 8

综上所述,故存在实数 ? ?

3 2 ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD .?????????14 分 8

21.解:由题意得 x ? 0 ,且 f ?( x) ?

1 a ? ????????????2 分 x x2

(1) 显然, a ? 0 时,f ?( x) ? 0 恒成立,f ( x) 在定义域上单调递增; 当 ???????????? 4分 (2) 当 a ? 0 时由 (1) f ( x ) 在定义域上单调递增, 得 所以 f ( x) 在 ?1, e ? 上的最小值为 f (1) , 即 f (1) ?

3 3 3 ;????????????6 分 ? ?a ? ? a ? ? (与 a ? 0 矛盾,舍) 2 2 2

当 a ? 0 , f ( x) ? ln x 显 然 在 ?1, e ? 上 单 调 递 增 , 最 小 值 为 0 , 不 合 题 意;????????????7 分 当 a ? 0 , f ?( x) ?

1 a x?a ? ? 2 , x x2 x

当x ? (0, ? a ), f ?( x) ? 0, f ( x)单调递减, 当x ? ? a, f ?( x ) ? 0, 当x ? ( ? a, ??), f ?( x) ? 0, f ( x)单调递增.
若 ?a ? 1, f ( x)min ? f (1) ? ?a ?

3 3 ; ? a ? ? (舍) 2 2
1 3 ? a ? ?e 2 (满足题意) ; 2

若 1 ? ?a ? e, f ( x) min ? f (?a) ? 1 ? ln(?a) ? 若

?a ? e, f ( x)min ? f (e) ? 1 ?

a 3 e ? ?a?? e 2 2

?

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(舍) ;????????????9 分 综上所述 a ? ? e 2 .????????????10 分 (3) 若 f ( x) ? x 在(1,+ ? )上恒成立,
2

即在(1,+ ? )上 x 2 ?
3

a ? ln x ? 0 恒成立,(分离参数求解) x

等价于 a ? x ln x ? x 在(1,+ ? )恒成立, 令 g ( x) ? x ln x ? x , ( x ? 1) . g ?( x) ? 1 ? ln x ? 3x , ( x ? 1) ;
3 2

令 h( x) ? g ?( x) ? 1 ? ln x ? 3x , ( x ? 1) ,
2

则 h?( x) ?

1 1 ? 6x2 ? 6x ? 显 然 当 x ? 1 时 h?( x) ? 0 , h( x ) 在 (1,+ x x

?

)上单调递

减, h( x)max ? h(1) ? ?2 ? 0 , 即 g ?( x) ? 0 恒成立,说明 g ( x) 在(1,+ ? )单调递减,

g ( x)max ? g (1) ? ?1 ;????????????12 分
所以 a ? x ln x ? x 在(1,+ ? )上恒成立,
3

所以 a ? ?1 .????????????14 分


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