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第24届北京市高中力学竞赛决赛试题


第 24 届北京市高中力学竞赛决赛试题
(北京四中杯)
(全卷满分 150 分)
题 号 分 数 阅卷人 复查人 一 (填空) 7 8

2011 年 5 月 22 日 9:30~11:30
二(计算题) 9 10 11 总 分

得 分

一、填空题(6 小题,每小题 9 分,共 54 分) 1. 如图 1 所示,一根长绳悬吊在定滑轮的两侧,体重相同的甲、乙

两人分别抓住绳的一端,甲身体虚弱只能紧紧抓住绳不放,乙身体强壮能用力牵 引自己沿绳向上爬行. 经过一段时间,乙上升的高度为 h,在这段时间内甲上升 的高度_______(填小于、等于或大于)h,原因是 . 2. 如图 2 所示,一个弹簧称上端固定,下端用一根竖直线向下拉弹簧秤,线 下端固定,弹簧秤示数为 4N. 如果弹簧秤下端悬吊一重为 1N 的重物,则弹簧秤 示数为_____N,理由是____________________________________________.

图1
第 24 届北京市高中力学竞赛决赛试题

图 2

图 3
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3. 两个物体各重 m1 和 m2 ,用不可伸长绳连接,此绳跨过一定滑轮,滑轮半 径为 r.如图 3 所示,开始时,两物体高度差 h, m2 ? m1 ,不计滑轮质量和摩擦. 由静止释放,问两物体达到同一高度所需时间____________. 4. 如图 4 所示,从同一高度的 A、B 处垂下两根长度相同的绳,绳下端分别 站有质量相同的甲、乙两人,甲旁的绳可认为不可伸长,乙旁的绳有明显的弹性, 当两人分别沿绳爬到 A、 B 处时, 比较两人做功的多少的结论是________________, 理由是______________________________________________________________.

图 4

图 5

5. 我们可近似认为地球绕太阳做匀速圆周运动,月球绕地球做匀速圆周运 动,它们的运动轨迹在同一个面上,以太阳为参考系,月球的运动轨迹可粗略画 成如图 5 所示的虚线,这种画法______ (填正确或错误) ,理由

_____________________________________________. 6. 如图 6 所示,长为 L 的一段细线,一端固定在光滑水平面上的 0 点,另一 端栓住一质量为 m 的小物体. 开始时,物体距 O 点为 b,b﹤L,给物体一个初速 度 v0 ,θ 已知. 当物体运动到距 0 点 为 L 时线绷紧,物体绕 0 点做半径 为 L 的圆周运动,此时线的张力等 于 ____________. 图 6
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O

第 24 届北京市高中力学竞赛决赛试题

二、计算题(共 96 分) 得 分 7. (15 分)悬臂架的端部 A 和 C 处有套环,恰好套在铅垂的圆柱 上, 可以上下移动. 如果在 AB 上作用铅垂力 F , 如图 7 所示, 当F

?

?

离开圆柱较远时, 悬臂架将被圆柱上的摩擦力卡住而不能移动.设套环与圆柱间摩 擦系数均为μ ,架重不计,求:悬臂架不至于被卡住时,铅垂力 F 离圆柱的最大 距离 x .

?

图7

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得 分

8.(18 分)弹性球自高处 h 自由落在水平地板上,球从地板上弹起又 垂直落下,这样继续弹跳. 如果每次碰撞前瞬间速度 v ,碰后瞬间速

?

度为 v

?' ?' v ? =-k (0﹤k﹤1) . 求弹性球行走的路程?(空气阻力不计) v

第 24 届北京市高中力学竞赛决赛试题

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得 分

9.(18 分)一小球斜向上抛出,抛出的初速度与水平方向的夹角为 θ,经过一段时间位移与水平方向夹角为 α,速度与水平方向的夹角

为 β,不计空气阻力,则 θ 与 α、β 之间的关系表达式是什么?

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得 分

10. (20 分) 2011 年 3 月 11 日日本发生 9 级大地震, 地震引发海啸, 导致福岛核电站发生核泄漏. 在核泄漏中,有四种放射性同位素是

对人体比较有危险的:碘-131、铯-137、锶-90、钚-239. 它们放出高能量粒子会 对人体造成伤害,导致人体细胞癌变. 人体细胞可以看作质量为 M 的小球,两细 胞间的链接物可看作轻杆(设长度为 l),如图 8 所示. 当质量为 m 的高能粒子 以速度 ? 垂直于链接物射向人体细胞,与细胞发生正碰并留在细胞里时,忽略人 体其它任何影响,试求两细胞的运动规律和链接物受力大小.

M

m, v
图8

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得 分

11.(25 分)有一颗质量为 m 的小星体 A. 围绕某质量为 M,半径 为 R 的大星体作半径为 2R 的圆周运动 . 从远处飞来一速度为

v?

GM 、质量为 2m 的星体 B 与 A 星迎面发生剧烈正碰后形成一个新的星体 R

C. 假定碰撞前后位置未发生变化. (1)请通过计算判断新的星体 C 是否会与大星体发生碰撞. (2)如果 B 星从 A 星背面恰好沿着 A 星的运动方向追上它并发生上述碰撞, 请通过计算判断 C 是否会与大星体发生碰撞.

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第 21 届北京市高一物理竞赛(力学)决赛试题参考答案
(北京四中杯)
2008 年 6 月 1日 一、填空题(共 30 分.第 1 小题 4 分;第 2、3、4、6 小题,每小题 5 分;第 5 小题 6 分) 1.

v0 . 2l
解:

mv 0

l l l ? 3mv ? mv 2 2 2

v ??

l 2

2. m g ? ( ?R) ?
2 2

???t ? R?
2

2



m? 2 R 3. . 2?
解: ?F ? 2T sin

?? ? T?? 2

T?? ? ?m? 2 R

4.

1.1R月 ? 2.7? 103 .
解:地球:

1 mv 2 ? mg (0.50 ? 0.60) ? 1.1mg 2
行 星

g?

GM 地 2 R地




m M星 1 2 m v星 ? G ?0 2 R星

1 2 m v星 ? 1.1m g 2

M 星 ? R星 ? ? ?? ? M地 ? ? R地 ?

3

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2 R星 ? 1.1R地

R星 ? 1.1R地 ? 1.1 ? 6.4 ? 10 6 m ? 2.7 ? 10 3 m
5.

v0S S2 ? h 2



1 2 S2 v m v0 2 ; 0 2 2 S ?h 2

h 2 ? 4S 2 . h2 ? S 2

6.

都没有抱起对方,甲对地压力变为 600 N ,乙对地的压力变为 650 N .

二、计算题(共 70 分) 7. (12 分)解: 设物体先翻倒,

f ?F ?0 N ? mg ? 0 mg b ? Fa 2 bm g F ? 2a

f ?

bm g , f max ? ?m g 2a

若f max ? f , ? ? 若f max 若f max

b , 未滑先翻倒 2a b ? f ,? ? , 先滑后翻倒 2a b ? f ,? ? , 两者同时发生 2a
N b d mg f

另解:假设先滑动,

F a

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? Nd ? Fa ? 0 ? ? F ? f ?0 ? N ? mg? 0 ? Fa ? ?a N b 当d ? 时,? 2 b d ? 时,? ? 2 b d ? 时,? ? 2 d ?
8. (12 分)解:

f ? ?N

?

b , 未翻倒 2a

b , 先翻倒 2a b , 滑动翻倒同时发生 2a

F ? ? (M ? m) g ? (M ? m)a1 F ? ?Mg ? Ma2
M ?3 m

vt ? 2a1S
vt ?

a1 ? 2S t1

2S t12

其中:

? ?mg ? ma3
所以:

F ? 4?mg ? 4ma 1 F ? 3?mg ? 3ma2

? ?g ? a3
解出:

a2 ? a1 ? ?g ? 2S t1

2S ? ?g t12
所以: t2 ?

且: ? ?g ? a3

停止时:

a3t2 ?

2S t1?g

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? 2S ? ? t? 4S 2 1? S2 ' ? ? ? 2 ?g 2 ?gt12
? 2S ? 2S 1 4S 3 3 4S 2 ? S1 ' ? t2 ? (2S 2 ? ?g )? ? ? ? t ?g ? t1 t1 2 ? 2t14 g 2 2 ?t12 g ? 1 ?
2

?S ? S1 '?S2 ' ?
S ? 200 m

4S 2 4S 3 ? ?gt12 ? 2t14 g 2

其 中 : t1 ? 10s

计算: ?S ? 1600 m

9. (12 分)解:
2 Mm0 v0 ? m 0 ( R ? h)2 R?h

(1)飞船圆运动 发射 m 发

G

m0v0 ? mv 1 ? (m0 ? m)v2
射 后

1 M (m0 ? m) 1 M (m0 ? m) 2 2 (m0 ? m)v2 ?G ? (m0 ? m)v3 ?G 2 R?h 2 R

(m0 ? m)v2 ( R ? h) ? (m0 ? m)v3R
解得:

v1 ?
T '2 ?

m0 m

GM m0 ? m 2GMR ? R?h m ( R ? h)(2R ? h)
T? 2? ( R ? h) v0

(2)

? 2R ? h ? ? ? ? 2 ?

3

T2 ( R ? h) 3

所以: t ?

T ' ? (2R ? h)3 ? 2 2 2GM

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10. (16 分)

?1?

f ? ?m g ?m g am ? ? ?g m ?m g aM ? ? ? ?g M vm ? am t v M ? a M t ? v0 v m ? v M ' (1 ? m ) ?gt ? v0 ' t ? M v0 m (1 ? ) ?g M

1 1 aM t 2 ? amt 2 2 2 2 2 v0 v0 1 m ? ? (1 ? ) ?g m m 2 M (1 ? ) ?g (1 ? ) 2 ? 2 g 2 M M 2 v0 1 ? m 2 (1 ? ) ?g M D ? v0 t ?

? v0 ? 2?g (1 ?
解:由动量守恒, Mv0 ? (m ? M )V

m 5 )D ? m / s M 2

1 1 2 Mv0 ? (m ? M )V 2 ? ?m gD 2 2 M2 ) ? 2?m gD M ?m m 5 ? v0 ? 2 ?g (1 ? ) D ? m / s M 2
2 v0 (M ?

2 1 1 M 2v0 2 Mv0 ? (m ? M ) ? ?m gD 2 2 (m ? M ) 2

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2 1 m / s, am ? 2.5m / s 2 , aM ? ? ? 0.25 ? ?0.625m / s 2 2 4 2 .5 2 2 .5 2 1 ? v0ta ? t ? t 8 2

?2?

v0 ? 5

2 8v0 ? 64v0 ? 200 4 t? ? ( 2 ? 1) 25 5 4 取t ? ( 2 ? 1) 5 5 vm ? vM ? 2 ? (am ? aM )t 2

5 5 2 ? ( 2 ? 1) 2 2 5 ? m/s 2 落地时,t ? 0.5s, S ? h ? 1.25m m 1 若? ? 0.25 , ? , L ? 1(舍去) M 4 另解:由动量守恒: MV0 ? m v1 ? MV2 1 1 1 MV02 ? m v12 ? MV22 ? ?m gL 2 2 2 5 求出V2 ? V1 ? m / s 2 5 S? m 4
11. (18 分)

5 m 4

L

m
θ

θ

mg

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如图所示,质点在沿斜 面滑动过程中,受到的 摩擦力为: f ? ?m g cos? 若质点从斜面最高点第 一次到达斜面最底端时 的速度为v1 , 则有, 1 2 ?1? m v1 ? m gLsin ? ? ?m gLcos? 2 质点与斜面挡板发生碰 撞后,以速度v1开始沿斜面上滑 , 若上滑的最大路程为 L1 , 则有 1 2 m v1 ?? ?m gL 1 cos? ? m gL 1 sin ? 2 有上两式得, L1 sin ? ? ? cos? ? L sin ? ? ? cos? 用a代表上式符号右边的数 值, 并以? ? 45? , ? ? 0.20代入, 得 1 ? 0.20 2 ?3? L1 ? aL, a ? ? 1 ? 0.20 3 按同样的道理可知质点 在第二次碰撞后上滑的 距离为: L 2 ? aL1 ? a 2 L 总路程 s ? L ? 2aL ? 2a 2 L ? 6.44m

?2?

m gLsin ? ? ?m gLcos? ? ?m gL 1 cos? ? m gL 1 sin ?



稿



第 24 届北京市高中力学竞赛决赛试题

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