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对数函数与指数函数的导


导数及其应用

备课人:蒋德鸿

3.5 对数函数与指数函数的导数 课时安排 2 课时 从容说课 本节知识重点是: 结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则, 灵活运用对数 函数与指数函数的求导公式,以及前四个常用公式,培养学生转化的思想与综合解题能力.

(1)在给出对数函数、指数函数的求导公式之后,分别要安排两

个例题.其中例 1、例 2 是求对数函数的复合函数的导数.第二个层次,再安排两个例题,一个是求指数函数,三角 函数的复合函数的积的导数; 另一个是求指数函数的复合函数的导数.第三个层次, 给出 2003 年全国高考题的求导数问题. (2) 具备导函数是函数本身这一特性的函数有 y=ex 和 y=0.而 y=ax 的导函数是它本身的 lna 倍.这些常见的函数的导数问题,编拟成试题:请举出导函数是其本身的一个函数 __________;请举出导函数是其 k 倍的一个函数__________.这样不仅巩固了常见的函数的 导数,也改变了单一的教学方式,丰富了题目的类型,调动了学生的积极性,培养了学生的 探索和创新精神. (3)由于对数运算有如下性质:logaMn=nlogaM,logaMN=logaM+logaN,loga logaN,所以利用对数特有性质求导函数可能会使某些难题变得简单. (4)自然对数的导函数很简单,是真数的倒数,即(lnx)′= 右边不能写成

M =logaMN

1 1 .而(logax)′= logae, x x

1 1 logea= lna,要让学生注意. x x
第十课时





3.5.1 对数函数与指数函数的导数(一)——对数函数的导数 教学目标 一,教学知识点 对数函数的导数的两个求导公式: (lnx)′= 二,能力训练要求 1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式. 2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上, 应用对数函数的求 导公式,能求简单的初等函数的导数.

1 1 、 (logax)′= logae. x x

导数及其应用

备课人:蒋德鸿

三,德育渗透目标 1.培养学生的推理论证能力. 2.培养学生灵活运用知识和综合运用知识的能力. 3.培养学生的个性品质. 教学重点 结合函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则,应用对数函数的求导公式. 教学难点 对数函数的导公式的记忆,以及对数函数的求导公式的应用. 教学方法 讲、练结合 教具准备 幻灯片两张 第一张: (lnx)′= (lnx)′=

1 的证明(记作 3.5.1A) x

1 (用定义证明). x

证明:∵y=f(x)=lnx,

x ? ?x ?x =ln(1+ ) , x x ?x ?x ?y 1 1 x ∴ = ln(1+ )= · ln(1+ ) ?x ?x x ?x x x
Δy=ln(x+Δx)-lnx=ln

?x ? x ?x = ln(1+ ) . x x
∵ lim (1+x) =e,
x?0

x

1 x

?y 1 ? x ?x 1 1 ? lim ln(1+ ∴y′= lim ) = lne= . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 x x x x
第二张: (logax)′= (logax)′=

x

1 logae 的证明(记作 3.5.1 B) x

1 logae. x

导数及其应用

备课人:蒋德鸿

证法一: (logax)′=( 证法二:∵y=logax,

ln x 1 1 1 1 ln e 1 )′= (lnx)′= · = · = logae. x ln a x ln a x ln a ln a

?y loga ( x ? ?x) ? loga x ? ? ?x ?x
x ?x

loga

x ? ?x x ? 1 ? x log (1+ ? x )= 1 log (1+ ? x ) a a x x x ?x x ?x

,

? x ?x 1 ?y 1 ∴ lim = lim loga(1+ ) = logae. x ? 0 ?x x?0 x x x
∴(logax)′= 教学过程 Ⅰ.课题导入 [师]我们已经学习了六种基本初等函数中的三种:常数函数,幂函数,三角函数的导 数. 这节课就来学习一下另一种基本初等函数的导数,对数函数的导数. Ⅱ.讲授新课 [师]我们先给出以 e 为底的自然对数函数的导数,然后介绍一下它的证明过程,不过 要用到一个结论 lim (1+x) =e.
x?0

x

1 logae. x

1 x

[板书] (一)对数函数的导数 1.(lnx)′=

1 . x

(打出幻灯片 3.5.1 A,给学生讲解) [师]下面给出一般的对数函数的导数.这里要用到对数函数的换底公式 logax=

logb x logb a

(b>0,b≠1).证明过程只作了解. 2.(logax)′=

1 logae. x

(打出幻灯片 3.5.1 B,给学生讲解) [师] 我们运用学过的函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则, 来看一下有关含 有对数的一些函数的导数. (二)课本例题

导数及其应用

备课人:蒋德鸿

[例 1]求 y=ln(2x2+3x+1)的导数. 分析: 要用到对数函数的求导公式和复合函数的求导法则, 以及函数四则运算的求导法 则. 解:y′=[ln(2x2+3x+1) ]′

1 (2x2+3x+1)′ 2 x ? 3x ? 1 4x ? 3 = . 2 2 x ? 3x ? 1
=
2

[例 2]求 y=lg 1 ? x 的导数.
2

解法一:y′=(lg 1 ? x )′ =
2
1

1 1? x
2

lge· ( 1 ? x )′
2

1 = · · (1-x2) 2 (1-x2)′ 1? x2 2

lg e

=

lg e

1? x2 2 1? x2
? x lg e x lg e ? 2 . 1? x2 x ?1

·

1

· (-2x)

=

分析:对数函数,可以先把它化简,然后根据求导法则进行求导. 解法二:y=lg 1 ? x =
2

1 lg(1-x2), 2

∴y′=[ =

1 lg(1-x2) ]′ 2

1 1 · · lge· (1-x2)′ 2 1? x2
x lg e lg e · (-2x)= 2 . 2 x ?1 2(1 ? x )

=

(三)精选例题 [例 1]求函数 y=ln( x ? 1 -x)的导数.
2

分析:由复合函数求导法则 y′x=y′u· u′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等 函数. [学生板演]解:y′=

1 x ?1 ? x
2

· ( x ?1 -x)′
2

导数及其应用

备课人:蒋德鸿

=

1 x2 ?1 ? x



? 1 (x2+1) 2 · 2x-1) 2

1

=

1 x ?1 ? x
2



x x ?1
2

-1)

=

1 x ?1 ? x
2

·

x ? x2 ?1 x ?1
2

=-

1 x2 ?1

.

[例 2]若 f(x)=ln(lnx),那么 f′(x)|x=e=__________.(B) A.e B.

1 e

C.1

D.以上都不对

解:f′(x)=[ln(lnx) ]′= f′(x)|x=e=

1 1 · (lnx)′= , ln x x ln x

1 1 = . e ? ln e e

[例 3]y=ln[ln(lnx) ]的导数是(C) A.

1 x ln(lnx)

B.

1 ln x ln(ln x) 1 ln(lnx)

C.

1 x ln x ln(ln x)
1 [ln(lnx) ]′ ln(ln x)

D.

解:y′=

=

1 1 · (lnx)′ ln(ln x) ln x 1 1 1 1 · · = . ln(ln x) ln x x x ln x ln(ln x)

=

[师生共议] 所以用复合函数的求导法则时, 要由外向内逐层求导, 直到不能求导为止.

[例 4]求 y=ln|x|的导数. [生甲]y′=(ln|x|)′=

1 . |x|
1 . x

[生乙]当 x>0 时,y=lnx,y′=(lnx)′= 当 x<0 时,y=ln(-x) ,y′=[ln(-x) ]′

导数及其应用

备课人:蒋德鸿

1 1 · (-1)= . x ?x 1 ∴y′= . x
= [师生共评]学生乙的做法是正确的.学生甲做的时候,|x|可以看成 ln|x|的中间变量,对 |x|还要求导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时,首先要把绝对值去掉,分情况 讨论. [例 5]求 y=x
(lnx)n

的导数.

[师析]这类函数是指数上也含有 x 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就 ( ) 行不通了.以前指数是常数的幂函数.像形如[u(x) ]v x 的函数的求导,它的方法可以是两 边取自然对数,然后再对 x 求导. 解:y=x lny=lnx
(lnx)n

两边取自然对数,

(lnx)n

=(lnx)n· lnx=(lnx)n+1.

(ln x ) n 1 n 两边对 x 求导, · y′=(n+1) (lnx) · (lnx)′=(n+1) . x y
∴y′=

(n ? 1)(ln x) n · y x

=

(n ? 1)(ln x) n (lnx)n · x x
(lnx)n-1

=(n+1) (lnx)n· x

.
2

[例 6]求 y=loga 1 ? x 的导数. [学生板演]解:y′=(loga 1 ? x )′
2

=

1 1? x
2

logae· ( 1 ? x )′
2

1 ? loga e 1 2 = · (1+x ) 2 · 2x 2 1? x 2

=

x loga e . 1? x2

Ⅲ.课堂练习 求下列函数的导数. 1.y=xlnx.

导数及其应用

备课人:蒋德鸿

解:y′=(xlnx)′=x′lnx+x(lnx)′

1 x 1 2.y=ln . x

=lnx+x· =lnx+1.

解:y′=(ln

1 1 1 )′= · ( )′ 1 x x x
=-

=x· (-1)· x-2 =-x-1 3.y=loga(x2-2).

1 . x

解:y′=[loga(x2-2) ]′

=

log a e 2 x log a e (x2-2)′= . 2 x2 ? 2 x ?2

4.y=lg(sinx). 解:y′=[lg(sinx) ]′= =

log e (sinx)′ sin x

log e cosx=cotxlge. sin x

5.y=ln 1 ? x . 解:y′=(ln 1 ? x )′ =

1 1? x

( 1 ? x )′=

1 1? x 2

1

· · (1-x)

?

1 2

(-1)

=-

1 1 = . 2(1 ? x) 2( x ? 1)
2

6.y=ln x ? 1 . 解:y′=(ln x ? 1 )′
2

=

1 x ?1
2

( x ? 1 )′
2
1

? 1 = · (x2+1) 2 · 2x x2 ?1 2

1

导数及其应用

备课人:蒋德鸿

1 . x ?1 x ln x 7.y= -ln(x+1). x ?1 x ln x 解:y′=( )′-[ln(x+1) ]′ x ?1
=
2

1 (ln x ? x ? )(x ? 1) ? x ln x( x ? 1)? 1 x ? = 2 x ?1 ( x ? 1)
=

(ln x ? 1)(x ? 1) ? x ln x 1 ? 2 x ?1 ( x ? 1) x ln x ? ln x ? x ? 1 ? x ln x ? x ? 1 ( x ? 1) 2 ln x . ( x ? 1) 2
x 2

=

=

8.y=

x2 ? a2 +

a 2 x ? x2 ? a2 ln . 2 a
2

x 解:y′=( 2
1 = 2
=
2 2

a 2 x ? x2 ? a2 )′ x ? a )′+( ln 2 a
2
1

? a a2 x 1 1 2 2 2 2 2 2x+ · · (x+ x ? a )′ x ? a + · (x + a ) · 2 2 2 2 2 x? x ?a a

1 2

x2 ? a2 +

x2 2 x2 ? a2 x2 2 x2 ? a2

+

a2 2( x ? x 2 ? a 2 ) a2 2( x ? x 2 ? a 2 )
·

[1+

? 1 (x2+a2) 2 · 2x] 2

1

=

1 2

x2 ? a2 +

+

· (1+

x x2 ? a2 )



=

x2 ? a2 ? x2 2 x2 ? a2

+

a2 2( x ? x 2 ? a 2 )
= x ?a .
2 2

x2 ? a2 ? x x2 ? a2

=

2x 2 ? a 2 ? a 2 2 x ?a
2 2

Ⅳ.课时小结(学生总结) 本节课主要学习了对数函数的两个公式(lnx)′=

1 1 ,(logax)′= logae,以及运用函数的 x x

导数及其应用

备课人:蒋德鸿

四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,求一些含有对数的函数的导数. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P125 习题 3.5 1. (二)预习内容:课本 P124~125 指数函数的导数. 2.预习提纲: (1)预习(ex)′=ex 及它的应用. (2)预习(ax)′=axlna 及它的应用. 板书设计 3.5.1 对数函数与指数函数的导数(一)——对数函数的导数

1 . x 1 2.(logax)′= logae. x
1.(lnx)′= 课本例题 [例 1]求 y=ln(2x2+3x+1)的导数. [例 2]求 y=lg 1 ? x 的导数.
2

精选例题 [例 1]求 y=ln( x ? 1 -x)的导数.
2

[例 2]若 f(x)=ln(lnx),那么 f′(x)|x=e=__________.(B) A.e B.

1 e

C.1

D.都不对

[例 3]y=ln[ln(lnx) ]的导数是(C) A.

1 x ln(lnx)

B.

1 ln x ln(ln x) 1 ln(lnx)

C.

1 x ln x ln(ln x)

D.

[例 4]求 y=ln|x|的导数. [例 5]求 y=x
(lnx)n

的导数.

导数及其应用

备课人:蒋德鸿

[例 6]求 y=loga 1 ? x 的导数.
2

课堂练习 求下列函数的导数. 1.y=xlnx. 2.y=ln

1 . x

3.y=loga(x2-2). 4.y=lg(sinx). 5.y=ln 1 ? x . 6.y=ln x ? 1 .
2

7.y=

x ln x -ln(x+1). x ?1

8.y=

x 2

x2 ? a2 +

a 2 x ? x2 ? a2 ln . 2 a

课后作业


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