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高一数学第一章(第12课时)一元二次不等式(三)




题:1.5

一元二次不等式(三)―― 含参一元二次不等式

教学目的: 1.掌握含参一元二次不等式的解决办法; 2.培养数形结合的能力,分类讨论、转化的能力,综合分析、解决问题 的能力; 3.激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神 教学重点:含参一元二次不等式的解决办法 教学难点:对参数正确的分类讨论 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.函数、方程、不等式的关系 2.一元一次、一元二次、高次、分式不等式得解法及注意事项 二、讲解新课: 例 1 解关于 x 的不等式 2 x ? kx ? k ? 0
2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

分析 此不等式为含参数 k 的不等式, 当 k 值不同时相应的二次方程的判 别式的值也不同,故应先从讨论判别式入手. 解

? ? k 2 ? 8k ? k (k ? 8)

(1) 当 ? ? 0,既k ? ?8或k ? 0时, 方程2x 2 ? kx ? k ? 0 有两个不相等的实 根. 所以不等式 2 x 2 ? kx ? k ? 0的解集是:

? ? k ? k (k ? 8) ? ? ? k ? k (k ? 8) ? ?x? ?x ? 4 4 ? ? ? ?
(2) 当 ? ? 0即k ? ?8或k ? 0时, 方程2x ? kx ? k ? 0 有 两 个 相 等 的 实
2

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根, 所以不等式 2 x 2 ? kx ? k ? 0的解集是??

? k? , {0} ; ? ,即 ?2? ? 4?

(3) 当 ? ? 0,即 ? 8 ? k ? 0时, 方程2x 2 ? kx ? k ? 0 无实根 所以不等式 2 x ? kx ? k ? 0的 解集为 ? .
2

说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系, 要注意数形结合研究问题. 小结:讨论 ? ,即讨论方程根的情况 例 2.解关于 x 的不等式:(x- x +12)(x+a)<0. 解:①将二次项系数化“+”为:( x -x-12)(x+a)>0, ②相应方程的根为:-3,4,-a,现 a 的位置不定,应如何解? ③讨论: ⅰ当-a>4,即 a<-4 时,各根在数轴上的分布及穿线如下:
2 2

-3

4

-a

x

∴原不等式的解集为{x| -3<x<4 或 x>-a}.

ⅱ当-3<-a<4,即-4<a<3 时,各根在数轴上的分布及穿线如下:
x

-3

-a

4

∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a 或 x>4}.

ⅲ当-a<-3,即 a>3 时,各根在数轴上的分布及穿线如下:
x

-a

-3

4

∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3 或 x>4}.

ⅳ0 当-a=4,即 a=-4 时,各根在数轴上的分布及穿线如下:
x

-3

4 -a

∴原不等式的解集为{x| x>-3}.

ⅴ当-a=-3,即 a=3 时,各根在数轴上的分布及穿线如下:

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-3 -a

4

x

∴原不等式的解集为{x| x>4}.

小结:讨论方程根之间的大小情况 例 3 若不等式 范围.

2 x 2 ? 2kx ? k ? 1 对于 x 取任何实数均成立,求 k 的取值 4x 2 ? 6x ? 3

2 x 2 ? 2kx ? k 2 x 2 ? 2kx ? k ?1 ? ?1 ? 0 解:∵ 4x 2 ? 6x ? 3 4x 2 ? 6x ? 3

?

2 x 2 ? 2(k ? 3) x ? 3 ? k ?0 4x 2 ? 6x ? 3

? 2x 2 ? 2(k ? 3) x ? 3 ? k ? 0 (∵4x2+6x+3 恒正),
∴原不等式对 x 取任何实数均成立,等价于不等式 2x2-2(k-3)x+3-k>0 对 x 取任何实数均成立. ∴ ? =[-2(k-3)]2-8(3-k)<0 ? k2-4k+3<0 ? 1<k<3. ∴k 的取值范围是(1,3). 小结:逆向思维题目,告诉解集反求参数范围,即确定原不等式,待定系 数法的一部分 例 4 已知关于 x 的二次不等式:a x +(a-1)x+a-1<0 的解集为 R,求 a 的取 值范围. 分析:原不等式的解集为 R,即对一切实数 x 不等式都成立,故必然 y= a x +(a-1)x+a-1 的图象开口向下,且与 x 轴无交点,反映在数量关系 上则有 a<0 且 ? <0. 解:由题意知,要使原不等式的解集为 R,必须 ?
2 2

?a ? 0 , ?? ? 0

即?

?a ? 0

?a ? 0 ? ? 2 2 ?(a ? 1) ? 4a(a ? 1) ? 0 ?3a ? 2a ? 1 ? 0

第 3 页(共 4 页)

?a ? 0 1 1 ?? ? 1 ? a<- . ∴a 的取值范围是 a∈(- ? ,- ). 3 3 a ? 1或a ? ? ? 3 ?
说明:本题若无“二次不等式”的条件,还应考虑 a=0 的情况,但对本题 讲 a=0 时式子不恒成立.(想想为什么?) 练习:已知( a -1) x -(a-1)x-1<0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 解:若 a -1=0,即 a=1 或 a=-1 时,原不等式的解集为 R 和{x|x< 若 a -1 ? 0,即 a ? ? 1 时,要使原不等式的解集为 R,
2 2 2

2

1 }; 2

2 ? ?a 2 ? 1 ? 0 3 ?a ? 1 ? 0 ?? ? ? ? a ? 1. 必须 ? 2 2 5 ? ?? ? 0 ?(a ? 1) ? 4(a ? 1)(?1) ? 0

∴实数 a 的取值范围是(三、小结

3 3 ,1)∪{1}=(- ,1). 5 5

含参一元二次不等式的解决办法

四、布置作业 1.如果不等式 x2-2ax+1≥ 围是
王新敞
奎屯 新疆

1 (x-1)2 对一切实数 x 都成立,a 的取值范 2

(0≤a≤1)

2.如果对于任何实数 x,不等式 kx2-kx+1>0 (k>0)都成立,那么 k 的取 值范围是
王新敞
奎屯 新疆

(0<k<4)
2 2

3. 对于任意实数 x, 代数式 (5-4a- a ) x -2(a-1)x-3 的值恒为负值, 求 a 的取值范围 (a≥1 或 a<-8)
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奎屯 新疆

4.设α 、β 是关于方程 x -2(k -1)x+k+1=0 的两个实根,求 y= ?
2

2

+ ? 关于 k 的解析式,并求 y 的取值范围
2

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奎屯

新疆

(y= ?

2

+ ? =4(k-
2

17 5 )2 - , k≥3 或 k≤0, 得 y≥2.) 4 4

五、板书设计(略) 六、课后记:

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