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圆锥曲线中关于离心率范围的几种求法


圆锥曲线中关于离心率范围的几种求法
圆锥曲线中的离心率是描述曲线形状的重要参数, 而求圆锥曲线离心率的取 值范围是常见的一类题型。解题的关键是构造出关于离心率 的不等式,而

,故也可通过构造 谈解这类问题的几种方法。

之间的不等关系进行求解。本文通过具体例子来谈

1. 利用圆锥曲线的范围构造不等关系 例 1.已知椭圆 C: 的长轴端点为 A、B。若椭圆 C 上存在点 Q,

使

,求椭圆 C 的离心率 的取值范围。

解:设

,由椭圆的对称性,不妨设 Q 点在 x 轴的上方,即令



由于

,则



,得

化简, 得 (2)

(1) 又 Q 在椭圆 C 上, , 所以

由(1)、(2)消去 ,得



,所以

,又

,所以

,即

所以

,即

,所以

所以

,又

,所以



2. 利用圆锥曲线的定义

例 2.已知双曲线

的左、右焦点分别是 F1、F2,P 是双曲线

右支上一点,P 到右准线的距离为 d,若 d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列, 求双曲线的离心率的取值范围。

解:由题意得

,因为

,所以

, 从而 支上,所以 ,得 。 3. 利用基本不等式 。故 ,即 ,又

。 又因为 P 在右 。由 所以

例 3.已知 上任意的

分别是双曲线

的左、右焦点, P 为双曲线左支

一点,若

的最小值为 8a,求双曲线的离心率 的取值范围。

解:因为

,所以

此时

所以



,即

,所以

,又

所以



4. 构造方程运用判别式

例 4.设椭圆 存在点 P,使

的左、右焦点分别为 ,求离心率 e 的取值范围。

,如果椭圆上

解:由椭圆定义知

说明:此题亦可用曲线的范围、基本不等式的方法求解。 5. 运用数形结合的思想,巧用性质

例 5.直线 l 过双曲线

的右焦点,斜率 k=2。若 l 与双曲线的两

个交点分别在左、右两支上,求双曲线离心率 的取值范围。

解:如图,若

,则 l 与双曲线

只有一个交点; 若

,则 l 与双曲线的两交点均在右支上,故

,

即 6.利用条件构造含参不等式



例 6.已知梯形 ABCD 中,|AB|=2|CD|,点 E 满足 E 三点,且以 A、B 为焦点,当

,双曲线过 C、D、

时,求双曲线离心率 e 的取值范围。

分析:显然,我们只要找到 e 与 的关系,然后利用解不等式或求函数 分析 的值域即可求出 e 的范围。 解:如图,建立坐标系,这时 CD⊥y 轴, 因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点, 由双曲线的对称性知 C、D 关于 y 轴对称。

依题意,记 A(-C,0),C(

h),E(x0,y0),

其中

为双曲线的半焦距,h 是梯形的高。



,即(x0+c,y0)=

(

)得:

.设双曲线的方程为

,则离心率

。 由点

C、E 在双曲线上,将点 C、E 的坐标和

代入双曲线的方程得

整理得: 依题设 得 ,解得 . .

所以双曲线的离心率的取值范围是



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