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【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库:第6章 第3讲 等比数列及其前n项和]


第3讲
一、选择题

等比数列及其前 n 项和
) B.-1 D. 1 2

1. 2+1 与 2-1 两数的等比中项是( A.1 C.±1 解析 设等比中项为 x,

则 x2=( 2+1)( 2-1)=1,即 x=±1. 答案 C

2.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项

和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,

Z,则下列等式中恒成立的是(
A.X+Z=2Y C.Y2=XY 解析 选 D. 答案 D

). B.Y(Y-X)=Z(Z-X) D.Y(Y-X)=X(Z-X)

(特例法)取等比数列 1,2,4,令 n=1 得 X=1,Y=3,Z=7 代入验算,

3.已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(an+an+2)=5an+1,则数列{an} 的公比 q=( A.2 ). 1 B.2 1 C.2 或2 D.3

解析 ∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2anq2=5anq, 化简得,2q2-5q+2=0,由题意知,q>1.∴q=2. 答案 A 4.在正项等比数列{an}中,Sn 是其前 n 项和.若 a1=1,a2a6=8,则 S8= ( A.8 C.15( 2-1) 解析 B.15( 2+1) D.15(1- 2) 1-q8 2,∴S8= =15( 2+1). 1-q ).

2 6 ∵a2a6=a2 4=8,∴a1q =8,∴q=

答案 B 1 5.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·5n-2- ,则实数 t 的值为( 5 A.4 解析 B.5 C. 4 5 D. 1 5 ).

1 1 4 ∵a1=S1= t- ,a2=S2-S1= t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比数 5 5 5

1? ?4 ? ?1 列知? t?2=? t- ?·4t,显然 t≠0,所以 t=5. 5? ?5 ? ?5 答案 B

6.在由正数组成的等比数列{an}中,若 a3a4a5=3π,则 sin(log3a1+log3a2+…+ log3a7)的值为 ( 1 A.2 3 B. 2 ). C .1 3 D.- 2

π 解析 因为 a3a4a5=3π=a3 4,所以 a4=3 . 3 π 7π 7 log3a1 + log3a2 + … + log3a7 = log3(a1a2…a7) = log3a 4 = 7log33 3 = 3 , 所 以 3 sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)= 2 . 答案 B 二、填空题 7.设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,

a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________.
解析 设 a2=t, 则 1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3, 由于 t≥1, 所以 q≥max{t, 3 3

t+1, t+2}故 q 的最小值是 3.
答案 3 3

8.在等比数列{an}中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公 式 an=________. 解析 由题意知 a1+4a1+16a1=21,解得 a1=1,

所以数列{an}的通项公式 an=4n-1.

答案

4n-1

9. 设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数, 且对任意的实数 x, y∈R, 都有 f(x)· f(y) 1 =f(x+y),若 a1=2,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围 是________. 解析 1 ?1? 由已知可得 a1=f(1)=2,a2=f(2)=[f(1)]2=?2?2,a3=f(3)=f(2)· f(1)= ? ?

?1? ?1? [f(1)]3=?2?3,…,an=f(n)=[f(1)]n=?2?n, ? ? ? ? 1 ?1? ?1? ?1? ∴Sn=2+?2?2+?2?3+…+?2?n ? ? ? ? ? ? 1? ?1? ? ?1-?2?n? 2? ? ?? ?1?n ?2? , = = 1 - 1 ? ? 1-2 1 ∵n∈N*,∴2≤Sn<1. ?1 ? 答案 ?2,1? ? ? 10.等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,前 n 项和为 Sn,给出下列四个命题:
??1? ? n?n-1? ①数列??2?an?为等比数列;②若 a2+a12=2,则 S13=13;③Sn=nan- 2 ?? ? ?

d;④若 d>0,则 Sn 一定有最大值. 其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号). ?1? ?2?an+1 ? ? ?1? ?1? 解析 对于①,注意到 1 =?2?an+1-an=?2?d 是一个非零常数,因此数列 ? ? ? ? ? ? ?2?an ? ?
??1? ? 13?a1+a13? 13?a2+a12? ?? ?an?是等比数列,①正确.对于②,S13= = =13,因 2 2 ??2? ?

此②正确.对于③,注意到 Sn=na1+

n?n-1? n?n-1? d = n [ a n-(n-1)d]+ 2 2 d=

n?n-1? n?n-1? nan- 2 d,因此③正确.对于④,Sn=na1+ 2 d,d>0 时,Sn 不存在 最大值,因此④不正确.综上所述,其中正确命题的序号是①②③. 答案 ①②③

三、解答题 1 1 11.已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= 1-an ; 2

(2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 1? 1? 1 ?1- n? 1- n 3? 3? 3 1 ?1? 1 1-an 因为 an= ×? ?n-1= n,Sn= = ,所以 Sn= . 3 ?3? 3 1 2 2 1- 3

解 (1)证明

(2)bn = log3a1 + log3a2 +…+ log3an =- (1 + 2 +…+ n) =- {bn}的通项公式为 bn=-

n n+
2

. 所以

n n+
2

.

12.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,在数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2), 且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. (1)证明 ∵an+Sn=n, ① ②

∴an+1+Sn+1=n+1, ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, ∴ an+1-1 1 = . an-1 2

∵首项 c1=a1-1,又 a1+a1=1. 1 1 1 ∴a1= ,∴c1=- ,公比 q= . 2 2 2 1 1 ∴{cn}是以-2为首项,公比为2的等比数列. (2)解 ? 1? ?1?n-1 ?1? ?2? =-?2?n, 由(1)可知 cn=?-2?· ? ?? ? ? ?

?1? ∴an=cn+1=1-?2?n. ? ?

?1? ? ?1? - ? ∴当 n≥2 时,bn=an-an-1=1-?2?n-?1-?2?n 1? ? ? ? ? ? ? ?1? ?1? ?1? =?2?n-1-?2?n=?2?n. ? ? ? ? ? ? 1 ?1? 又 b1=a1=2代入上式也符合,∴bn=?2?n. ? ? 13.已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2, b3-a3=3. (1)若 a=1,求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}唯一,求 a 的值. 解 (1)设数列{an}的公比为 q,则 b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+ aq2=3+q2,由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+q)2=2(3+q2). 即 q2-4q+2=0,解得 q1=2+ 2,q2=2- 2. 所以数列{an}的通项公式为 an=(2+ 2)n-1 或 an=(2- 2)n-1. (2)设数列{an}的公比为 q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得 aq2-4aq+3a- 1=0(*), 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根. 由数列{an}唯一,知方程(*)必有一根为 0, 1 代入(*)得 a=3. 14.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈ N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和, 求 Tn. 解 (1)∵点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上, ∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且 n∈N*). ∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an(n>1,n∈N*),a2=3S1+1=3a1+1 =3t+1, ∴当 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1 +n, ∴Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n) =(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n)

4n-1 ?1+n?n = 3 + 2 .


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