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广东省河源市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析


广东省河源市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,正确答案只有一个) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2,5},?UB={4,5,6},则集合 A∩B= () A.{1,2} B.{5} C.{1,2,3} D.{3,4,6} 2.执行如图所示的程序框图,若输入

x 的值为﹣2,则输出 y 的值为()

A.5

B.﹣5

C. 3

D.﹣3

3.下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况(单位:元) ,则销售额中的中位数是()

A.30.5

B.31.5

C.31

D.32

4.已知 A.﹣1 B.﹣9

,且

,则 x 等于() C. 9 D.1

5.若三角形的两内角 α,β 满足:sinα?cosβ<0,则此三角形的形状为() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 6.在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,O 为 AB 中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取 到的点到点 O 的距离不大于 1 的概率是()

A.

B . 1﹣

C.

D.1﹣

7.已知函数 f(x)=sin(ωx+ A.1 B.

) (ω>0)的最小正周期为 π,则 f( C.﹣1

)=()

D.﹣

8.函数 A.(﹣1,+∞) ∪(1,+∞)

的定义域是() B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,1)∪(1,+∞) D. [﹣1, 1)

9.设变量 x,y 满足约束条件

则目标函数 z=3x﹣y 的最大值为()

A.﹣4

B. 0

C.

D.4

10.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若

=

,则

=()

A.

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.已知| |=3,| |=5, =12,则向量 与向量 的夹角余弦为.

12.已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程 =bx+a 必过点.

13.若 2、a、b、c、9 成等差数列,则 c﹣a=. 14.不等式 log3(2x﹣1)≤1 的解集为.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.已知△ ABC 的三边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,且 a:b:c=7:5:3.

(1)求 cosA 的值; (2)若△ ABC 的面积为 45

,求△ ABC 三条边长 a,b,c 的大小.

16.现有两组卡片,每组 3 张,牌面数字分别是 1、2、3,从中各摸一张. (1)求摸出 2 张的牌面数字之和等于 4 的概率. (2)摸出 2 张的牌面数字之和为多少时的概率最大? 17.已知函数 (1)求 (2)若 , 的值; ,求 . ,x∈R.

18.设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为 k(k<1) ,画面的 上、下各留 8cm 空白,左、右各留 5cm 空白.怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所 用纸张面积最小? 19.已知递增等差数列{an}中的 a2,a5 是函数 f(x)=x ﹣7x+10 的两个零点.数列{bn}满 足,点(bn,Sn)在直线 y=﹣x+1 上,其中 Sn 是数列{bn}的前 n 项和. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 20.已知函数 f(x)=x ﹣2ax+5(a>1) , (Ⅰ)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,且对任意的 x∈[1,a+1],都有 f(x)≤0,求 实数 a 的取值范围; (Ⅲ)若 g(x)=2 +log2(x+1) ,且对任意的 x∈[0,1],都存在 x0∈[0,1],使得 f(x0)=g (x)成立,求实数 a 的取值范围.
x 2 2

2

广东省河源市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,正确答案只有一个) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2,5},?UB={4,5,6},则集合 A∩B= () A.{1,2} B.{5} C.{1,2,3} D.{3,4,6} 考点: 交集及其运算. 分析: 由题意全集 U={1,2,3,4,5,6},CUB={4,5,6},可以求出集合 B,然后根 据交集的定义和运算法则进行计算.

解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6}, 又∵?UB={4,5,6}, ∴B={1,2,3}, ∵A={1,2,5}, ∴A∩B={1,2}, 故选:A. 点评: 此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则,是一道比较基础的题. 2.执行如图所示的程序框图,若输入 x 的值为﹣2,则输出 y 的值为()

A.5

B.﹣5

C. 3

D.﹣3

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 y= 的值,代入 x=﹣2,计算求 y 的值.

解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 y=

的值,

当输入 x=﹣2 时, 输出 y=﹣2×(﹣2)+1=5. 故选:A. 点评: 本题考查了选择结构的程序框图, 根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关 键. 3.下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况(单位:元) ,则销售额中的中位数是()

A.30.5

B.31.5

C.31

D.32

考点: 茎叶图. 专题: 规律型. 分析: 根据中位数是位于数据中间位置的数来求. 解答: 解:由茎叶图知共有 11 个数据,从小到大排列分别为 10,12,20,21,24,31, 31,32,36,43,48. 第六个数据为 31, ∴中位数为 31. 选 C. 点评: 本题考查了茎叶图中中位数的求法,个数为奇数时,中间数为中位数;个数为偶数 时,中间两数的平均数为中位数.

4.已知 A.﹣1 B.﹣9

,且

,则 x 等于() C. 9 D.1

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据两向量平行的坐标表示,列出方程,求出 x 的值. 解答: 解:∵ ,且 ,

∴x﹣3×3=0, 解得 x=9. 故选: C. 点评: 本题考查了平面向量平行的坐标表示的应用问题,是基础题目. 5.若三角形的两内角 α,β 满足:sinα?cosβ<0,则此三角形的形状为() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 考点: 三角函数值的符号. 专题: 三角函数的求值. 分析: 首先由三角形内角范围可知 sinα>0,从而得到 cosβ<0,得到 β 是钝角. 解答: 解:因为三角形的两内角 α,β 满足:sinα?cosβ<0,又 sinα>0,所以 cosβ<0, 所以 90°<β<180°;故 β 为钝角; 故选:B. 点评: 本题考查了三角函数符号;利用三角形内角范围可知 sinα>0 是解答的关键. 6.在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,O 为 AB 中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取 到的点到点 O 的距离不大于 1 的概率是() A. B . 1﹣ C. D.1﹣

考点: 几何概型.

专题: 概率与统计. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出点到 O 的距离不大于 1 的点 对应的图形的面积,并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解. 解答: 解:已知如图所示: 长方形面积为 2, 以 O 为圆心,1 为半径作圆, 在矩形内部的部分(半圆)面积为 ,

因此取到的点到 O 的距离不大于 1 的概率 P= 故选 A.

=



点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且 这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P=N(A)÷N 求解. 7.已知函数 f(x)=sin(ωx+ A.1 B. ) (ω>0)的最小正周期为 π,则 f( C.﹣1 )=()

D.﹣

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的周期公式求出 ω 即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=sin(ωx+ ∴周期 T= =π,解得 ω=2, ) , + )=sin( + )=sin =1, ) (ω>0)的最小正周期为 π,

即 f(x)=sin(2x+ 则 f( )=sin(2×

故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数值的求解,根据函数的周期求出 ω 是解决本题的关键. 8.函数 的定义域是()

A.(﹣1,+∞) ∪(1,+∞)

B.[﹣1,+∞)

C.(﹣1,1)∪(1,+∞)

D. [﹣1, 1)

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 依题意可知要使函数有意义需要 x+1>0 且 x﹣1≠0,进而可求得 x 的范围. 解答: 解:要使函数有意义需 解得 x>﹣1 且 x≠1. ∴函数 的定义域是(﹣1,1)∪(1,+∞) . ,

故选 C. 点评: 本题主要考查对数函数的定义域及其求法,熟练解不等式组是基础,属于基础题.

9.设变量 x,y 满足约束条件

则目标函数 z=3x﹣y 的最大值为()

A.﹣4

B. 0

C.

D.4

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组表示的平面区域; 作出目标函数对应的直线; 结合图象知当直线过 (2, 2)时,z 最大. 解答: 解:画出不等式表示的平面区域

将目标函数变形为 y=3x﹣z,作出目标函数对应的直线,当直线过(2,2)时,直线的纵截 距最小,z 最大 最大值为 6﹣2=4 故选 D 点评: 本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值.

10.等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,若 A. B. C.

=

,则

=()

D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用等差数列的性质求得 ,然后代入 = 即可求得结果.

解答: 解:∵

=



=

=

故选 B. 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列通项公式化简求值, 做题时要认真, 是一道基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.已知| |=3,| |=5, =12,则向量 与向量 的夹角余弦为 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 可直接由夹角余弦公式 求出向量 与向量 的夹角余弦

解答: 解:∵| |=3,| |=5, ∴向量 与向量 的夹角余弦为

=12, = = .

故答案为 . 点评: 本题考查求两向量夹角的余弦,容易题 12.已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y 1 3 5 7

则 y 与 x 的线性回归方程 =bx+a 必过点(1.5,4) .

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题. 分析: 要求 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过的点,需要先求出这组数据的样本中心 点,根据所给的表格中的数据,求出横标和纵标的平均值,得到样本中心点,得到结果. 解答: 解:∵ =4, ∴本组数据的样本中心点是(1.5,4) , ∴y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过点(1.5,4) 故答案为: (1.5,4) 点评: 本题考查线性回归方程必过样本中心点,这是一个基础题,题目的运算量不大,本 题是一个只要认真就能够得分的题目. ,

13.若 2、a、b、c、9 成等差数列,则 c﹣a= .

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可得 2b=2+9,解之可得 b 值,再由等差中项可得 a,c 的值,作 差即可得答案. 解答: 解:由等差数列的性质可得 2b=2+9,解得 b= 又可得 2a=2+b=2+ 同理可得 2c=9+ 故 c﹣a= ﹣ = = = = ,解之可得 a= ,解得 c= , , ,

故答案为: 点评: 本题考查等差数列的性质和通项公式,属基础题. 14.不等式 log3(2x﹣1)≤1 的解集为( ,2].

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由 0<2x﹣1≤3,即可求得不等式 log3(2x﹣1)<1 的解集. 解答: 解:∵log3(2x﹣1)≤1, 1 ∴0<2x﹣1≤3 =3,

∴ <x≤2, ∴不等式 log3(2x﹣1)≤1 的解集为( ,2], 故答案为: ( ,2]. 点评: 本题考查对数不等式的解法,掌握对数函数的性质是关键,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.已知△ ABC 的三边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,且 a:b:c=7:5:3. (1)求 cosA 的值; (2)若△ ABC 的面积为 45 ,求△ ABC 三条边长 a,b,c 的大小. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由 a:b:c=7:5:3 可设 a=7k,b=5k,c=3k(k>0) ,由余弦定理得求出 cosA 的值; (2)由(1)和平方关系求出 sinA 的值,由条件和三角形的面积公式求出三条边长 a,b, c 的大小. 解答: 解: (1)因为 a:b:c=7:5:3, 所以可设 a=7k,b=5k,c=3k(k>0) ,… 由余弦定理得, (2)由(1)知, , = , ,… = = ; …

因为 A 是△ ABC 的内角,所以 由(1)知 b=5k,c=3k,因为△ ABC 的面积为 所以 即 ,… ,解得 ,…

解得,a=7k= ,b=5k= ,c=3k= … 点评: 本题考查余弦定理,平方关系的应用,以及三角形的面积公式,考查化简、计算能 力,属于中档题. 16.现有两组卡片,每组 3 张,牌面数字分别是 1、2、3,从中各摸一张. (1)求摸出 2 张的牌面数字之和等于 4 的概率. (2)摸出 2 张的牌面数字之和为多少时的概率最大? 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可;

(2)根据(1)列举的基本事件数,分别计算摸出的牌面数字之和为 t 概率,求出概率最大 对应的 t 值. 解答: 解: (1)从两组卡片中各摸出一张,包含的基本事件数为 (1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (3,3)共 9 个,… 设摸出牌面数字之和为 4 的事件为 A,A 包含 (1,3) ; (2,2) ; (3,1)共 3 个基本事件,… 则 ;…

(2)从两组卡片中各摸出一张,牌面数字之和为 t, 则 t 可以是 2,3,4,5,6;… 由(1)知,P(t=2)= ,P(t=3)= , P(t=4)= ,P(t=5)= ,P(t=6)= ;… 所以,摸出牌面数字之和为 4 的概率最大.… 点评: 本题考查了用列举法求古典概型的概率问题,是基础题目. ,x∈R. 的值; , ,求 .

17.已知函数 (1)求 (2)若

考点: 二倍角的正弦;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)把 x=﹣ 直接代入函数解析式求解. 代入函数解

(2)先由同角三角函数的基本关系求出 sinθ 的值以及 sin2θ,然后将 x=2θ+ 析式,并利用两角和与差公式求得结果. 解答: 解: (1) (2)因为 所以 所以 , ,

所以 =

点评: 本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解, 考查了和差角公式的运用, 属于知识 的简单综合,要注意角的范围. 18.设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为 k(k<1) ,画面的 上、下各留 8cm 空白,左、右各留 5cm 空白.怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所 用纸张面积最小? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 计算题;应用题. 分析: 设画面高为 xcm,宽为 kxcm,设纸张面积为 S,根据矩形的面积公式建立面积的 表达式,然后根据基本不等求出函数的最值即可. 解答: 解:设画面高为 xcm,宽为 kxcm, 则 kx =4840 设纸张面积为 S,则有 2 S=(x+16) (kx+10)=kx +(16k+10)x+160, 将 x= S=5000+44 当8 S 取得最小值, 此时高:x= 宽:kx= cm cm, 时, 代入上式得
2 2

点评: 本题主要考查了函数模型的选择与应用, 以及基本不等式在最值问题中的应用, 属 于中档题. 19.已知递增等差数列{an}中的 a2,a5 是函数 f(x)=x ﹣7x+10 的两个零点.数列{bn}满 足,点(bn,Sn)在直线 y=﹣x+1 上,其中 Sn 是数列{bn}的前 n 项和. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)令 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)先解出两个零点,再利用等差、等比数列的通项公式即可; (2)直接使用错位相减法求之即可.
2

解答: 解: (1)因为 a2,a5 是函数 f(x)=x ﹣7x+10 的两个零点,则

2

,解

得:





又等差数列{an}递增,则

,所以

…3 分

因为点(bn,Sn)在直线 y=﹣x+1 上,则 Sn=﹣bn+1. 当 n=1 时,b1=S1=﹣b1+1,即 . . .…6 分 ,

当 n≥2 时,bn=Sn﹣Sn﹣1=(﹣bn+1)﹣(﹣bn﹣1+1) ,即 所以数列{bn}为首项为 ,公比为 的等比数列,即 (2)由(1)知: 则 所以 ① 且

②. ①﹣②得: . 所以 .…12 分

点评: 本题考查知识点等差、等比数列的通项公式;错位相减法求数列的和,考查分析问 题解决问题的能力, 20.已知函数 f(x)=x ﹣2ax+5(a>1) , (Ⅰ)若 f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,且对任意的 x∈[1,a+1],都有 f(x)≤0,求 实数 a 的取值范围; x (Ⅲ)若 g(x)=2 +log2(x+1) ,且对任意的 x∈[0,1],都存在 x0∈[0,1],使得 f(x0)=g (x)成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: (I)由函数 f(x)的解析式,可得函数在(﹣∞,a]上单调递减,进而得到 f(x) 在[1,a]上单调递减,则 ,由此构造关于 a 的方程组,解之可得答案.

(Ⅱ)若 f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数,则(﹣∞,2]?(﹣∞,a],进而结合 x∈[1, a+1]时,f(x)max=f(1) ,构造关于 a 的不等式,解不等式,可得答案. (III)由函数 g(x)在[0,1]上递增,f(x)在[0,1]上递减,可分别求出两个函数的值域, 若对任意的 x∈[0,1],都存在 x0∈[0,1],使得 f(x0)=g(x)成立;则两个函数的值域满 足:[1,3]?[6﹣2a,5],进而可得答案. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=x ﹣2ax+5=(x﹣a) +(5﹣a ) ∴f(x)在(﹣∞,a]上单调递减,又 a>1, ∴f(x)在[1,a]上单调递减, ∴ ,

∴ ∴a=2



(Ⅱ)∵f(x)在区间(﹣∞,2]上是减函数, ∴(﹣∞,2]?(﹣∞,a] ∴a≥2 ∴|1﹣a|≥|(a+1)﹣a|,f(1)≥f(a+1) ∴x∈[1,a+1]时,f(x)max=f(1) , 又∵对任意的 x∈[1,a+1],都有 f(x)≤0, ∴f(1)≤0,即 1﹣2a+5≤0, ∴a≥3 (Ⅲ)∵g(x)=2 +log2(x+1)在[0,1]上递增,f(x)在[0,1]上递减, 当 x∈[0,1]时,g(x)∈[1,3],f(x)∈[6﹣2a,5] ∵对任意的 x∈[0,1],都存在 x0∈[0,1],使得 f(x0)=g(x)成立; ∴[1,3]?[6﹣2a,5] ∴6﹣2a≤1, 即 .
x

点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,函数的值域,函数的单调性,是函数 图象和性质的综合应用,难度中档.


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