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湖北省安陆市第一高级中学2015届高三考前冲刺考试数学(理)试卷(y)


数学 (理)(Y)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 a, b ? R , i 为虚数单位,若复数 a ? i 与复数 2 ? bi 在复平面内对应的点关于 x 轴对 B. 5 ? 4i C. 3 ? 4i D. 3 ? 4i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2.设

a, b, c 为非零向量,已知命题 p : 若 a ? b ? 0, b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q : 若 a // b , ? ? ? ? b // c ,则 a // c ,则下列命题中真命题是 A A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q ) D. p ? (?q) 3.已知 ? 是三角形的最大内角,且 cos 2? ? A. 1 ? 2 B. 1 ? 3 称,则 (a ? bi)2 ? C A. 5 ? 4i

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 B ,则曲线 2 cos ? sin ?
C. 2 D. 3
*

C. 2 4.已知 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, S1 ? 1 , S2 ? 2 ,且 Sn ?1 ? 2Sn ?1 ? 3Sn , ( n ? 2 且 n?N ) , 则此数列为 D A.等差数列 B.等比数列 C.从第二项起为等差数列 D.从第二项起为等比数列 5.为调查某校学生喜欢数学课的人数比例,采用如下调查方法: (1)在该校中随机抽取 100 名学生,并编号为 1,2,3,……,100; (2)在箱内放置两个白球和三个红球,让抽取的 100 名学生分别从箱中随机摸出一球,记 住其颜色并放回; (3)请下列两类学生举手: (ⅰ)摸到白球且号数为偶数的学生; (ⅱ)摸到红球且不喜欢 数学课的学生。 如果总共有 26 名学生举手, 那么用概率与统计的知识估计, 该校学生中喜欢数学课的人数 比例大约是 B 开始 A.88% B. 90% C. 92% D.94% 6.某程序框图如图所示,已知该程序框图运行后输出的值为

9 , 5

S ? 1, k ? 1 k ? a?
否 是

2 ? ? x ? 2, x ? ? 0,1? 7.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? ? ,且 2 ? ?2 ? x , x ? ? ?1, 0 ? 2x ? 5 f ( x ? 2) ? f ( x) , g ( x) ? ,则方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 ? ?5,1? x?2

1 5 则 ( x ? a )( 2 ? 1) 的展开式的常数项为 D x A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 1
2

S?S?

1 k ( k ? 1)

k ? k ?1

输出 S 结束

上的所有实根之和为 B A. ?8

B. ?7

C. ?6

D. ?5

第 6 题图

8.某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为 60 ? 的扇形,则该几何体的侧面积为 C A. 12 ?

10 ? 3

B. 6 ?

10 ? 3

第 8 题图

C. 12 ? 2?
2

D. 6 ? 4?

9.以抛物线 y ? x 上一点 M (1,1) 为直角顶点作该抛物线的两个内接直角三 角形 ?MAB 和 ?MCD ,则线段 AB 与线段 CD 的交点 E 的坐标为 A A. (?1, 2) B. (1, 2) C. (?2, 2)
2

D. (2, 2)

? c ? 0 ( a, b, c ? R 且 a ? 0 ) 有 实 根 , 且 不 等 式 10. 若 关 于 x 的 方 程 a x ? b x

(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? ma2 恒成立,则实数 m 的最大值为 D 9 3 A. B. C. 1 16 4

D.

9 8

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在 答题卡对应题号 的位置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ....... (一)必考题: (11~14 题) 11.某学校共有 2000 名学生,各年级男、女生人数如下表: 一年级 二年级 三年级 y 369 370 男生 x z 381 女生 已知从全校学生中随机抽取 1 名学生, 抽到二年级女生的概率是 0.19, 现拟采用分层抽样 的 方法从全校学生中抽取 80 名学生,则三年级应抽取的学生人数为 人. 20 12.函数 f ( x) ? x ? x ? x ? 1 在点 (1, 2) 处的切线与函数 g ( x) ? x 的图像所围成的封闭图 形的
3 2 2

面积为

.

4 3
2 用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若 3

13.古埃及数学中有一个独特现象:除 干个 单位分数和的形式。例如 个 人,每人 形如

2 1 1 ? ? ,可以这样来理解:假定有两个面包,要平均分给 5 5 3 15

1 1 1 1 1 1 1 不够,每人 余 ,再将这 分成 5 份,每人得 ,这样每人分得 ? . 2 15 3 3 3 3 15

2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 (n ? 5,7,9,11,?) 的分数的分解: ? ? , ? ? , ? ? ,?, 按此规律,则 n 5 3 15 7 4 28 9 5 45 1 1 2 (1) ? ; ? 6 66 11 1 1 2 (2) ? . (n ? 5,7,9,11,?,). ? n ? 1 n(n ? 1) n

2 14.已知有限集 A ? ?a1 , a2 , a3..., an ? (n ? 2) 。如果 A 中元素 ai (i ? 1,2,3,...,n) 满足 a1an ...an ? a1 ? a2 ? ... ? an ,就称 A 为“复活集”,给出下列结论:

2

? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? ? , ? 是“复活集”; 2 ? ? 2 ? ? ②若 a1 , a2 ? R ,且 ?a1 , a2 ? 是“复活集”,则 a1a2>4 ; ③若 a1 , a2 ? N ? ,则 ?a1 , a2 ? 不可能是“复活集”; ④若 ai ? N ? ,则“复活集”A 有且只有一个,且 n ? 3 。
①集合 ? 其中正确的结论是_____________。 (填上你认为所有正确的结论序号)①③④ (二)选考题:请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选 的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑. 如果全选,则按第 15 题作答结果计分. 15.(选修 4-1:几何证明选讲)如图,四边形 ABED 内接于 ? O , AB // DE ,

AC 切 ? O 于点 A ,交 ED 的延长线于点 C .若 AD ? BE ? 2 , CD ? 1 , 则 AB ? . 2 16.(选修 4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若极坐标方程为 ρ cos θ ? 4
的直线与曲线 ?
2 ? ?x ? t ( t 为参数)相交于 A, B 两点,则 AB ? 3 ? ?y ? t

第 15 题图 . 16

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin(? x ?

?

(? ? 0 ) ,且该函数图象的相邻两对称轴之间的距离为 ? . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间;

) sin(? x ? ) ? 2 cos 2 (? x ? ) 3 6 3

?

?

(Ⅱ)若 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 f ( A) ? 2 , ?ABC 的 面积 S ? 6 3 , a ? 2 7 , a 不为最长边,求 b ? c 的值. 17.(Ⅰ) f ( x) ? 2 3 sin(? x ?

? 2? ) cos(? x ? ) ? 1 ? cos(2? x ? ) 3 3 3 2? 2? ? 3 sin(2? x ? ) ? cos(2? x ? ) ? 1 3 3
?

?

? 2sin(2? x ? ) ? 1 ? 1 ? 2 cos 2? x 2
分 ∵函数图象的相邻两对称轴之间的距离为 ? ∴ f ( x) ? 1 ? 2cos 2 x 分 由 2k? ? ? ? 2 x ? 2k? 得 f ( x ) 的单调递增区间为 ? k? ? 分 (Ⅱ) f ( A) ? 1 ? 2 cos 2 A ? 2 ? cos 2 A ? ? ∵ a 不为最长边 ∴ A ? (0, 分 ∴

3

2? ? ? ? ? ?1 2?
4

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?

6

?
2

1 2
∴ 2A ?

)

∴ 2 A ? (0, ? )

2? ? ? A? 3 3

8

S?
9分

1 bc sin A ? 6 3 ? b c? 2 4 2

由余弦定理得

a ? b ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc(1 ? cos A) ? b ? c ? 10 12 分
2 2

18.(本小题满分 12 分)设公比为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 8 ,

S2 ? 48 ,数列 ?bn ? 满足 bn ? 4log2 an .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)是否存在 m ? N * ,使得 存在,请说明理由. 18.(Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q ,则 ?

bm ? bm?1 是数列 ?bn ? 中的项?若存在,求出 m 的值;若不 bm? 2

1 1 ? q ? 或 q ? ? (舍) 2 2 ?a1 ? a1q ? 28 1 8 ( ) n ?1 ? 26? n 则 a1 ? 2 ? 32 ∴ an ? 32? 2 q
∴ bn ? 4log2 26?n ? ?4n ? 24

? a1q 2 ? 8

3

分 5 分 (Ⅱ)

bm ? bm?1 (24 ? 4m)(20 ? 4m) 4(6 ? m)(5 ? m) ? ? bm? 2 16 ? 4m 4?m b ? b 4(2 ? t )(1 ? t ) 2 令 t ? 4 ? m(t ? 3, t ? Z ) 则 m m?1 ? ? 4(t ? ? 3) bm? 2 t t


7



∴ t ???2, ?1,1,2? 分

bm ? bm ?1 ? bn bm? 2

则 4(t ?

2 2 ? 3) ? 4(6 ? n) ? t ? ? 3 ? 6 ? n ? 5 t t
9

2 ? 3 ? 6 不合题意 t 2 当 t ? ?1 或 t ? ?2 时, t ? ? 3 ? 0 符合题意 t b ? b 故当 t ? ?1 或 t ? ?2 即 m ? 5 或 m ? 6 时, m m?1 是数列 ?bn ? 中的项. bm? 2
当 t ? 1 或 t ? 2 时, t ?
?

12 分

19.(本小题满分 12 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,?BAD ? ?ABC ? 90 , AD ? 3 ,

BC ?

CD ? 2 3 ,点 E 是 AB 边上一点,现将 ?ADE 沿边 DE 折起,使平面 ADE ? 平面 BCDE ,且 CD ? AD 。 (Ⅰ)求证: AE ? CD ; 7 13 (Ⅱ)问在棱 AB 上是否存在一点 P ,使二面角 P ? CD ? A 的余弦值为 ,若存在, 26
请求出 AP 的长,若不存在,请说明理由。

第 19 题图 19.(Ⅰ)过 A 作 AO ? DE 于点 O ∵平面 ADE ? 平面 BCDE ,平面 ADE ? 平面 BCDE ? DE ∴ AO ? 平面 BCDE ∴ AO ? CD ∵ AD ? CD , AD ? AO ? A ∴ CD ? 平面 ADE ∴ CD ? AE (Ⅱ)由(1)可知 CD ? DE 设 AE ? a ,则 BE ? 3 ? a , DE ? 3 ? a2 , CE ? ∵ DE ? CD ? CE
2 2 2

2分 4分

(3 ? a ) 2 ? 12
6

∴ a ? 1 即 AE ? 1

分 建立以 O 为原点,以 OA 为 z 轴,以 OD 为 y 轴的空间直角坐标系 则 A(0, 0, 分

3 3 3 1 3 ), D(0, , 0), C (2 3, , 0), E (0, ? , 0), B( 3, ? , 0) 2 2 2 2 2

8

3 3 3 ?, ? ?) 2 2 2 ?? ?? ??? ? ?? ???? 设平面 PCD 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,利用 m? DP ? 0, m?DC ? 0 ?? ??? ? 3(1? ? ) 1 3 可求得 m ? (0,1, ) 平面 ACD 的法向量为 EA ? (0, , ) 1? ? 2 2
设 AP ? ? AB ,则 P( 3? , ? 分

??? ?

??? ?

10

?? ??? ? ?? ??? ? m?EA 7 1? ? 2 1? ? 1 ∴ cos ? m, EA ?? ?? ??? ? 5( ) ? 13 ?6 ?0?? ? ? ? 1? ? 1? ? 3 m ?EA 2 13
故存在点 P , AP ?

6 3

12

分 20.(本小题满分 12 分)某中学为了解本届高三毕业生的身体素质状况,从本校高三年级中 抽取一个班进行投掷实心球测试, 成绩在 8 米及以上的为合格.把测试所得数据进行整理 后,分成 6 组画出频率分布直方图的一部分(如图) ,已知第 1 小组为 ?5,6 ? ,从左到右 前 5 个小组的频率分别为 0.06,0.10,0.14,0.28,0.30 ,第 6 小组的频数是 6. (Ⅰ)求这次实心球测试成绩不合格的人数; (Ⅱ)用此次测试结果估计该校本届高三毕业生的身体素质状况.若从该校的本届高三毕 业生中随机抽取 3 名,记 X 表示这 3 人中成绩 不合格的人数,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅲ)经过多次测试后,甲成绩在 8~10 米之间,乙 成绩在 9.5~10.5 米之间.现甲、乙各投一次,求 甲投得比乙远的概率。 20. ( Ⅰ ) 第 6 小 组 的 频 率 为 第 20 题图

1 ? ? 0.06 ? 0.10 ? 0.14 ? 0.28 ? 0.30? ? 0.12 , 6 ? 50 . ? 此次测试总人数为 0.12
? 成绩不合格的人数为 ? 0.06 ? 0.10 ? 0.14? ? 50 ? 15 .
(Ⅱ) X 的所有可能的取值为 0,1,2,3. 此次测试中成绩不合格的概率为 又由频率分布直方图知第 1,2,3 小组成绩均不合格

2分

4分

343 ?7? ? P ( X ? 0) ? ? ? ? , ? 10 ? 1000
2 2 3

3

15 3 ? 3? ? ,? X ~ B ? 3, ? 50 10 ? 10 ? 2 3 ? 3? 441 1 P( X ? 1) ? C3 ? ? ?1 ? ? ? , 10 ? 10 ? 1000
27 ? 3? P( X ? 3) ? ? ? ? . ? 10 ? 1000
3

6分

3 ? 189 ? 3? ? P ( X ? 2) ? C ? ? ?1 ? ? ? , ? 10 ? ? 10 ? 1000
? X 的分布列为:

3 9 ? . 10 10 (Ⅲ)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 x米、y 米, ?8 ? x ? 10, 则基本事件满足的区域为 ? ?9.5 ? y ? 10.5. 记“甲投得比乙远”为事件 A ,则事件 A 包含的基本事件 ?8 ? x ? 10, ? 满足的区域为 ?9.5 ? y ? 10.5, 如图阴影部分所 ? x ? y. ? ? E ? X ? ? 3?

? 3? ? X ~ B ? 3, ? , ? 10 ?

8分

9分

1 1 1 ? ? 1 由几何概型的概率计算公式得 P ? A? ? 2 2 2 ? . 1? 2 16

12 分

x2 y 2 3 21.(本小题满分 13 分)已知椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F 1 为椭圆 ? a b 2 1 的左焦点,过 F 1 垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为 . (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; (Ⅱ)已知 A(?? ??,???) ,过定点 B(???,???) 的直线 l 交轨迹 C 于 P 、 Q 两点, ?APQ 的外
心为

N 。若直线 l 的斜率为 k1 ,直线 ON 的斜率为 k2 ,求证: k1 ? k2 为定值。

2b2 1 ∴ ? 1 ? a ? 2b2 21.(Ⅰ)∵过 F 1 垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为 a c 3 3 3 ?c? a 又椭圆 ? 的离心率为 ∴ ? a 2 2 2

∴ a ? 2(a ? c ) ? 2(a ?
2 2 2

3 2 a )?a?2 4

∴b ?1
2

x2 ? y2 ? 1 4 (Ⅱ)由 ?APQ 存在 ∴ 直线 PQ 斜率不为 0 设直线 PQ 为 x ? my ? 1 设点 P(?x1?,? y1?) , Q(?x2 ?,? y2 ?)
故椭圆 ? 的方程为

4分

?2 m ? y ? y ? 1 2 ? ? x ? my ? 1 ? m2 ? 4 2 2 ( m ? 4) y ? 2 my ? 3 ? 0 ? ? ? 2 ? 2 ?x ? 4 y ? 4 ? y ? y ? ?3 1 2 ? m2 ? 4 ? x ?2 x ? 2 y1 直线 AP 的中垂线方程为: y ? ? 1 (x ? 1 )? y1 2 2


y??

x1 ? 2 x 2 ? 4 y1 x? 1 ? y1 2 y1 2



x12 ? 4 y12 ? 4





y??

x1 ? 2 3y x? 1 y1 2 my ? 3 3y 即y?? 1 x? 1 y1 2

3y 3 x? 1 y1 2 3y 3 同理可得直线 AQ 的中垂线方程为: y ? ?mx ? x? 2 y2 2
即 y ? ?mx ?

7



? ? y ? mx ? ? ? ∴点 N 的坐标满足 ? ? y ? mx ? ? ? ?


3y 2 x? 1 y1 2 3y 2 x? 2 y2 2

1 ? x ? y1 y2 ? ? 2 ?? ?y ? ? m y y ? 3 (y ? y ) 1 2 1 2 ? ? 2 2

9

? k2 ?

y ? ?3m x
∴ k1 ?

∵直线 l 的斜率为 k1 分

1 m

( m ? 0 ) ? k1k2 ? ?3

13

22.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? k ( x ? 1) . (Ⅰ)当 k ? ?1 时,求函数 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的图象在 x ? e 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设数列 ?an ? 的各项均为正实数,且满足: an?1 ? an ? an 2 (n ? N*) ,求证:

?n ? N * ,

n?2 . 3 i ?1 22.(Ⅰ)当 k ? ?1 时, ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ln x ? ( x ? 1)
均有

?a

n

i

? 1 ? ln

则 ? (e) ? 1

1 2



? ?( x) ? ln x ? 1 ?1 ? ln x 则 ? ?(e) ? 1

分 ∴所求的切线方程为 y ? 1 ? x ? e 即 x ? y ? e ? 1 ? 0 分 (Ⅱ) ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ln x ? k ( x ? 1)
k ?1 ??( x )? l n x? 1 ? k ? 0?x ? e

3

当 x ? (0, ek ?1 ) 时, ? ?( x) ? 0 ,则 ? ( x) 单调递减 当 x ? (ek ?1 , ??) 时, ? ?( x) ? 0 ,则 ? ( x) 单调递增 ∴ ? ( x)min ? ? (ek ?1 ) ? ek ?1 (k ?1) ? k (ek ?1 ?1) ? k ? ek ?1 分 ∵ f ( x) ? g ( x) 恒成立 ∴ k ? e 令 m(k ) ? k ? e
k ?1
k ?1

5

? 0 恒成立

m?( k )? 1? e ? 0 ? k ? 1 当 k ? 1 时, m?(k ) ? 0 ,则 m( k ) 单调递增 当 k ? 1 时, m?(k ) ? 0 ,则 m( k ) 单调递减
k ?1

∴ m(k )max ? m(1) ? 0 分 8分

即 m(k ) ? k ? ek ?1 ? 0 恒成立,当且仅当 k ? 1 取等号 7

故实数 k 的取值范围为 ?1? (Ⅲ)由 a2 ? a1 ? a12 ? 0 得 0 ? a1 ? 1

1 n?2 1 2 1 1 2 证明:当 n ? 2 时, a2 ? a1 ? a1 ? ?(a1 ? ) ? ? ,不等式成立 2 4 4 1 假设当 n ? k 时, ak ? 成立 k?2 1 2 1 2 则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ak ? ak ? ?(ak ? ) ? 2 4 1 1 2 1 k ?1 k ?1 1 1 ? ?( ? ) ? ? ? ? ? 2 k ?2 2 4 (k ? 2) (k ? 1)(k ? 3) k ? 3 (k ? 1) ? 2 1 故当 n ? 2 时, an ? n?2
先用数学归纳法证明:当 n ? 2 时, an ? 分

11

x (当且仅当 x ? 0 取等号) 1? x 1 1 1 (i ? N *) ,则有 ? ln(1 ? ) ? ln(i ? 2) ? ln(i ? 1) 令x? i ?1 i?2 i ?1
由(Ⅱ)知, x ln x ? x ? 1 ,即 ln(1 ? x ) ? ∴

?a
i ?1

n

i

? a1 ? ? ai ? a1 ? ?
i ?2

n

n 1 n?2 14 分 ? 1 ? ? ?ln(i ? 2) ? ln(i ? 1)? ? 1 ? ln 3 i ?2 i ? 2 i ?2 n


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