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2015-2016学年高中数学 3.1.1 椭圆及其标准方程课件 北师大版选修2-1


第三章

圆锥曲线与方程

§1 椭圆

1.1 椭圆及其标准方程

课程目标 1.了解椭圆的实际背景,理解椭 圆、焦点、焦距的定义. 2.掌握推导椭圆标准方程的过 程. 3.理解参数 a,b,c 的几何意义,会 求一些简单的椭圆的标准方程.

学习脉络

1

2

1.椭圆的定义 我们把平面内到两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点 的集合叫作椭圆.这两个定点 F1,F2 叫作椭圆的焦点,两个焦点 F1,F2 间的距 离叫作椭圆的焦距.

思考 1 为什么在椭圆的定义中要求其中的常数大于这两个
定点之间的距离呢? 提示:这是因为如果其中的常数等于这两个定点间的距离,相应的动点 的轨迹就是以这两个定点为端点的线段;如果其中的常数小于这两个定点 之间的距离,相应的动点的轨迹不存在.因此,在利用椭圆的定义来判断相关 的动点的轨迹时,要注意其中的常数与这两个定点的距离间的大小关系,否 则容易出错.

1

2

2.椭圆的标准方程

1

2

名师点拨椭圆的标准方程有两种形式,所谓“标准”,就是
椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上.用待定系数法求 标准方程,首先要“定位”,即确定焦点所在的坐标轴,从而确定椭圆方程的 类型;其次是“定量”,即利用条件确定方程中 a,b 的值.若不能确定焦点的位 置,可分类设出方程或设两种标准方程的统一形式.统一形 式:mx +ny
2 2

2 =1(m>0,n>0,m≠n)或

2 + =1(m>0,n>0,m≠n).

1

2

思考 2 怎样由椭圆的标准方程判断椭圆焦点所在坐标轴?
2 提示:当给出椭圆方程 2 + =1

时,判断方程所表示的椭圆的焦点的位

置的方法是:若椭圆的焦点在 x 轴上?标准方程中 x2 项的分母较大(m>n>0); 若椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中 y2 项的分母较大(n>m>0),这是判断椭 圆焦点所在坐标轴的重要方法.

1

2

特别提醒椭圆方程的形式
椭圆的方程形式不仅仅有课本中的这两种,随着在具体问题中的坐标 系建立的不同,椭圆的方程形式也会有所不同.可以想象,如果将一个方程是 标准方程的形式的椭圆在坐标系下进行适当的移动以及旋转 ,相应的椭圆 方程就不会再是标准方程形式了.只不过课本中的椭圆的标准形式比较简 单,有利于研究椭圆所具有的几何性质.

探究一

探究二

探究三

探究四

椭圆定义的应用
1.利用定义求椭圆的轨迹问题 (1)要善于挖掘题设条件中隐含的定义要素,达到简化运算的目的; (2)利用定义求椭圆的轨迹方程,可避免求轨迹方程常用方法中的复杂 运算; (3)用定义法求椭圆方程,有时要根据实际意义去掉不符合题意的点. 2.椭圆的定义给出了一个结论:椭圆上的点 P 到两焦点 F1,F2 的距离的 和为常数 2a,则已知椭圆上一点到一焦点的距离就可以利用 |MF1|+|MF2|=2a 求出该点到另一焦点的距离. 3.凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题,应首先考虑利用椭圆的定义 求解.

探究一

探究二

探究三

探究四

【典型例题 1】已知 B,C 是两个定点,|BC|=6,且△ABC 的周长等于 16, 求顶点 A 的轨迹方程. 思路分析:选取线段 BC 的中点为坐标原点,建立适当的直角坐标系,由 B,C 为两定点,A 为动点,研究|AB|+|AC|是否为定值,并比较与|BC|的大小关 系,从而判断点 A 的轨迹图形形状,进而得到轨迹方程.

探究一

探究二

探究三

探究四

解:

如图所示,建立平面直角坐标系,使 x 轴经过点 B,C,原点 O 与 BC 的中 点重合. 由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=10>6,即点 A 的轨迹 是椭圆,且 2c=6,2a=16-6=10. ∴ c=3,a=5,b2=52-32=16. 但当点 A 在直线 BC 上,即 y=0 时,A,B,C 三点不能构成三角形, ∴ 点
2 2 A 的轨迹方程是 + =1(y≠0). 25 16

探究一

探究二

探究三

探究四

点评找出点 A 的轨迹满足|AB|+|BC|=10>6 后,知 A 的轨迹是椭
圆,用定义法求出其方程,但要注意去掉不符合题意的点(5,0),(-5,0).

探究一

探究二

探究三

探究四

求椭圆的标准方程
求椭圆的标准方程常用待定系数法,要恰当地选择方程的形式,如果不 能确定焦点的位置,那么有两种方法来解决问题:一是分类讨论全面考虑问 题;二是设椭圆方程一般式.

探究一

探究二

探究三

探究四

(1)如果明确了椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,那么所求的椭圆一 定是标准形式,则可以利用待定系数法首先建立方程,然后依照题设条件计 算方程中 a,b 的值,从而确定方程,有时方程有两个. 如果明确焦点在 x 轴上,那么设所求的椭圆方程为
2 2

+

2

2 =1(a>b>0);

如果明确焦点在 y 轴上,那么设所求的椭圆方程为
2 2

+

2

2=1(a>b>0).

(2)如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在 x 轴上还是在 y 轴上, 那么方程可以设为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.

探究一

探究二

探究三

探究四

【典型例题 2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点 P 到两焦点的 距离的和等于 10; (2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 - ,
3 5 2 2

.

思路分析:根据题意,先判断椭圆的焦点位置,再设出椭圆的标准方程, 从而确定 a,b 的值. 解:(1)∵ 椭圆的焦点在 x 轴上,
2 ∴ 设椭圆的标准方程为 2

+

2

2 =1(a>b>0).

∵ c=4,2a=10, ∴ b2=a2-c2=9.
2 2 ∴ 所求椭圆的方程为 + =1. 25 9

探究一

探究二

探究三

探究四

(2)∵ 椭圆的焦点在 y 轴上,
2 ∴ 设所求椭圆的标准方程为 2

+

2

2 =1(a>b>0).

由椭圆的定义,知 2a= a= 10. 又 c=2,∴ b2=a2-c2=6.

3 2 2

+

2 5 +2 2

+

3 2 2

+

2 5 -2 =2 2

10.即

2 2 ∴ 所求椭圆的方程为 + =1. 10 6

反思根据已知条件,判定焦点的位置,设出椭圆的方程是解决此
题的关键.

探究一

探究二

探究三

探究四

焦点三角形问题
椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1,F2 构成的△F1PF2 称为焦点三角形, 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义 ,三角形中的正 弦定理、余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积,若已知∠F1PF2,可利 用 S= absin C 把|PF1|·|PF2|看成一个整体,运用公式|PF1|2+|PF2|2= (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|+|PF2|,而无须单独求出, 这样可以减少运算量.
1 2

探究一

探究二

探究三

探究四

【典型例题

2 3】 已知椭圆 2

+

2

2 =1(a>b>0)上一点

P,F1,F2 为椭圆的焦

点,若∠F1PF2=θ,求△PF1F2 的面积. 思路分析:根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,两边平方可得 |PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2.在△PF1F2 中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=4c2,两式相减可求|PF1|·|PF2|,再 由△1 2 = |PF1|·|PF2|sin θ 求面积.
1 2

探究一

探究二

探究三

探究四

解:

如图所示,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a.而在△PF1F2 中,由余弦定理 得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos θ=|F1F2|2=4c2. ∴ (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos θ=4c2, 即 4(a2-c2)=2|PF1|·|PF2|(1+cos θ). ∴ △1 2 = |PF1|·|PF2|sin θ=b2
1 2 sin =b2tan . 1+cos 2

探究一

探究二

探究三

探究四

点评与焦点三角形有关的计算或证明,应考虑用椭圆的定义及三
角形中边与角的关系(应用余弦定理或正弦定理)来解决.

探究一

探究二

探究三

探究四

易错辨析
易错点 因考虑不全面而致误 +
2
2 =1(a>b>0).

【典型例题 4】 已知椭圆过点 P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.
2 错解:设椭圆的标准方程为 2 32 P(3,0),∴ 2 02

∵ 椭圆过点

+

2 =1.

又 a=3b,∴ a=3,b=1.
2 2 ∴ 椭圆的标准方程为 +y =1. 9

错因分析:本题没有说明焦点在哪个坐标轴上,应考虑焦点在 x 轴、y 轴上两种情形,而错解中主观地认为焦点在 x 轴上,这是初学者易犯的错误.

探究一

探究二

探究三

探究四

正解:(1)若焦点在 ∵ 椭圆过点
32 P(3,0),∴ 2

2 x 轴上,设椭圆的标准方程为 2

+

2

2 =1(a>b>0).

+

02

2 =1.

2 2 又 a=3b,∴ a=3,b=1,∴ 椭圆的标准方程为 +y =1. 92 2 (2)若焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为 2 + 2=1(a>b>0).

∵ 椭圆过点

02 P(3,0),∴ 2

+

32

2 =1.

2 2 又 a=3b,∴ a=9,b=3.∴ 椭圆的标准方程为 + =1. 81 9 2 2 2 2 ∴ 所求椭圆的标准方程为 +y =1 或 + =1. 9 81 9

1
2 2 1.椭圆 +y =1 4

2

3

4

5

的两个焦点为 F1,F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交, ) C.
7 2 3 4 1 2

一个交点为 P,则|PF2|=(
A.
3 2

B. 3

D.4

解析:可设 F1 点坐标为( 3,0),得|PF1|= 1- = . 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4, 故得|PF2|=4- = . 答案:C
1 2 7 2

1

2

3

4

5

x2 y2 2.椭圆 + =1 上一点 P 到两焦点 F1,F2 的距离之差为 2,则△PF1F2 的形状 16 12

为(

) B.锐角三角形 D.等边三角形

A.直角三角形

C.钝角三角形

解析:由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2, 解得|PF1|=5,|PF2|=3. 又|F1F2|=4,故满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2, ∴ △PF1F2 为直角三角形. 答案:A

1

2

3

4

5

3.中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点 P 方程是 .

1 1 , 3 3

,Q 0,-

1 2

的椭圆的标准

1

2

3

4

5

解析:(方法 1)若椭圆的焦点在
1 2

依题意有

a2

3

1 2 = 1 , a = , 2 b 5 解得 1 1 2 b2 = . -2 4 2 = 1,

1 2 3

x2 x 轴上,设它的标准方程为 2 a

+

y2 b

2 =1(a>b>0).

+

b

又 a>b,所以方程组无解. 若椭圆的焦点在
a2
1 2 3

y2 y 轴上,设它的标准方程为 2 a
1 2 3

+

x2 b

2 =1(a>b>0).

依题意有

a2 = , 2 = 1, 4 b 解得 1 1 2 b2 = . -2 5 2 = 1,
a y2
1 4

+

1

所以所求椭圆的标准方程为

+

x2
1 5

=1.

1

2

3

4

5

(方法 2)设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,且 m≠n). 依题意有
1 1 m+ n= 9 9 1 n = 1, 4

1,

解得

m = 5, n = 4.
y2
1 4

所以所求椭圆的方程为 5x2+4y2=1, 其标准方程为 答案:
y2
1 4

+

x2
1 5

=1.

+

x2
1 5

=1

1

2

3

4

5

4.已知 AB 是过椭圆 x2+y2=1 的左焦点 F1 的弦,且|AF2|+|BF2|=4,其中 F2 为椭 圆的右焦点,则|AB|= |BF1|+|BF2|=2a, ∴ |AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=6. ∴ |AF1|+|BF1|=6-4=2,即|AB|=2. 答案:2 .

4 9

解析:由椭圆定义知:|AF1|+|AF2|=2a,

1
2 2

2

3

4

5

5.在 Rt△ABC 中,∠CAB=90° ,AB=2,AC= ,曲线 E 过 C 点,动点 P 在 E 上 运动,且保持|PA|+|PB|的值不变,求曲线 E 的方程. 解:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐 标系. 在 Rt△ABC 中,
3 2 . 2 2 3 2 ∵ |PA|+|PB|=|CA|+|CB|= + =2 2 2

BC= AC 2 + AB 2 =

2,

又|PA|+|PB|>|AB|, ∴ 由椭圆的定义知,动点 P 的轨迹即曲线 E 为椭圆,a= 2,c=1,∴ b=1. ∴ 曲线
x2 2 E 的方程为 +y =1. 2



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