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高三数学总复习知能达标训练第十章第十节正态分布


高三数学总复习知能达标训练第十章第十节 正态分布
  
  (时间40分钟,满分80分)
  一、选择题(6×5分=30分)
  1.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),则P(X<3)等于
  A.         B.
  C. D.
  解析 由正态分布

图象知,μ=3为该图象的对称轴,P(X<3)=P(X>3)=.
  答案 D
  2.设两个正态分布N(μ1,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有
  
  A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2
  C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2
  解析 由图可知,μ2>μ1,且σ2>σ1.
  答案 A
  3.(2012·烟台调研)如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3的三种正态曲线N(0,σ2)的图象,那么σ1、σ2、σ3的大小关系是
  
  A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3
  C.σ1>σ2>1>σ3>0 D.0<σ1<σ2=1<σ3
  
  解析 当μ=0,σ=1时,正态曲线φ(x)=在x=0时,取最大值,故σ2=1,由正态曲线的性质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定,当σ越小,曲线越"瘦高",反之越"矮胖",故选D.
  答案 D
  4.已知随机变量X~N(3,22),若X=2η+3,则Dη等于
  A.0 B.1
  C.2 D.4
  解析 由X=2η+3,得DX=4Dη,而DX=σ2=4,∴Dη=1.
  答案 B
  5.标准正态总体在区间(-3,3)内取值的概率为
  A.0.998 7 B.0.997 4
  C.0.944 D.0.841 3
  解析 标准正态分布N(0,1),σ=1,区间(-3,3),
  即(-3σ,3σ),概率P=0.997 4.
  答案 B
  6.(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=
  A.0.6 B.0.4
  C.0.3 D.0.2
  解析 ∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ>4)=0.2,
  由题意知图象的对称轴为直线x=2,
  
  P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2,
  ∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=0.6.
  ∴P(0<ξ<2)=P(0<ξ<4)=0.3.
  答案 C
  
  
  
  二、填空题(3×4分=12分)
  7.设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X≤0)=________.
  P(-2<X<2)=________.
  解析 由已知,得μ=0,σ=1,∴P(x≤0)=,
  P(-2<x<2)=P(μ-2σ<x<μ+2σ)=0.954 4.
  答案 ;0.954 4
  8.(2012·枣庄一模)已知正态分布总体落在区间(0.2,+∞)的概率为0.5,那么相应的正态曲线φμ,σ(x)在x=________时达到最高点.
  解析 ∵P(X>0.2)=0.5,∴P(X≤0.2)=0.5,即x=0.2是正态曲线的对称轴.
  ∴当x=0.2时,φμ,σ(x)达到最高点.
  答案 0.2
  9.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为________.
  解析 ∵X服从正态分布(1,σ2),
  ∴X在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.
  ∴X在(0,2)内取值概率为0.4+0.4=0.8.
  答案 0.8
  三、解答题(38分)
  10.(12分)设X~N(10,1).
  (1)证明:P(1<X<2)=P(18<X<19);
  (2)设P(X≤2)=a,求P(10<X<18).
  解析 (1)证明 因为X~N(10,1),所以正态曲线φμ,σ(x)关于直线x=10对称,而区间[1,2]和[18,19]关于直线x=10对称,所以(x)dx=(x)dx,即P(1<X<2)=P(18<X<19).
  
  (2)P(10<X<18)=P(2<X<10)=P(X<10)-P(X≤2)=-a.
  
  11.(12分)在某次数学考试中,考生的成绩X服从一个正态分布,即X~N(90,100).
  (1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少?
  (2)若这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人?
  解析 ∵X~N(90,100),∴μ=90,σ==10.
  (1)由于正态变量在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.954 4,而该正态分布中,μ-2σ=90-2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.
  (2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.
  由于正态变量在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是0.682 6,所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生,所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有 2 000×0.682 6≈1 365(人).
  12.(14分)(2012·揭阳模拟)工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N,问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个?
  解析 ∵X~N,∴μ=4,σ=.
  ∴不属于区间(3,5)的概率为
  P(X≤3)+P(X≥5)=1-P(3<X<5)
  =1-P(4-1<X<4+1)
  =1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)
  =1-0.997 4=0.002 6≈0.003.
  ∴1 000×0.003=3(个),
  即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个.

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