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线面平行的判定定理和性质定理


线面平行的判定定理和性质定理
教学目的: 1.掌握空间直线和平面的位置关系; 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定 掌握理实现“线线” “线面”平行的转化 教学重点:线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点:线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析

: 本节有两个知识点,直线与平面和平面与平面平行,直线与平面、平面与平面 平行特征性质 这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广 直线与平面、 平面与平 面平行判定的依据是线、线平行 这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质 这两个平行关系是下 一大节学习共面向量的基础 前面 3 节主要讨论空间的平行关系,其中平行线的传递性和平行平面的性质是 这三小节的重点 教学过程: 一、复习引入: 1 空间两直线的位置关系 (1)相交; (2)平行; (3)异面 2.公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行
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推理模式: a // b , b // c ? a // c . 3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这 两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线 所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法
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a b

b a
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b
A1

D1 B1 D A B

C1 C

a

6.异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面 内不经过此点的直线是异面直线 推理模式: A ? ? , B ? ? , l ? ? , B ? l ? A B 与 l 是异面直线
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7.异面直线所成的角:已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a ? // a , b ? // b , a ?, b ? 所成的角的大小与点 O 的选择无关,把 .为 a ?, b ? 所成的锐角(或直角)叫异面直线 a , b 所成的角(或夹角) 了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围: ( 0 ,
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a b
?
2

O

b′

]

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8.异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两 条异面直线 a , b 垂直,记作 a ? b . 9.求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角 即为所求 10.两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交的直线, 我们称之为异面直线 D1 .... C
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1

A1 B1 的公垂线 在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度, 叫做两条异面直线间的距离. D C 两条异面直线的公垂线有且只有一条 A B 二、讲解新课: 1.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点) ; (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; (3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类. 它们的图形分别可表示为如下,符号分别可表示为 a ? ? , a ? ? ? A , a // ? .
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a
a

a
?

?

A
?

2. 线面平行的判定定理: 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行. 推理模式: l ? ? , m ? ? , l // m ? l // ? . 证明:假设直线 l 不平行与平面 ? , ∵ l ? ? ,∴ l ? ? ? P , 若 P ? m ,则和 l // m 矛盾, 若 P ? m ,则 l 和 m 成异面直线,也和 l // m 矛盾,

∴ l // ? . 3. 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个 平面相交,那么这条直线和交线平行. 推理模式: l // ? , l ? ? , ? ? ? ? m ? l // m . 证明:∵ l // ? ,∴ l 和 ? 没有公共点, 又∵ m ? ? ,∴ l 和 m 没有公共点;
l 和 m 都在 ? 内,且没有公共点,∴ l // m .
?
l m

?

三、讲解范例: 例 1 已知: 空间四边形 A B C D 中,E , F 分别是 A B , A D 的
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A E B D F

中点,求证: E F // 平 面 B C D . 证明:连结 B D ,在 ? A B D 中, ∵ E , F 分别是 A B , A D 的中点, ∴ E F // B D , E F ? 平 面 B C D , B D ? 平 面 B C D , ∴ E F // 平 面 B C D .

C

例 2 求证:如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线,那么这条直 线在此平面内.
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已知: l // ? , P ? ? , P ? m , m // l ,求证: m ? ? . 证明:设 l 与 P 确定平面为 ? ,且 ? ? ? ? m ? , ∵ l // ? ,∴ l // m ? ; 又∵ l // m , m , m ? 都经过点 P , ∴ m , m ? 重合,∴ m ? ? . 例 3 ?已知直线 a∥直线 b,直线 a∥平面α ,b ? α , 求证:b∥平面α 证明:过 a 作平面β 交平面α 于直线 c ∵a∥α ∴a∥c 又∵a∥b ∴b∥c,∴b∥c ∵ b ? α , c ? α ,∴b∥α .
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?

m

m?

P

?

β
a

b

α

c

例 4.已知直线 a ∥平面 ? ,直线 a ∥平面 ? ,平面 ? ? 平面 ? = b ,求证 a // b . 分析: 利用公理 4,寻求一条直线分别与 a,b 均平行,从而达到 a∥b 的目的.可 借用已知条件中的 a∥α 及 a∥β 来实现.

证明:经过 a 作两个平面 ? 和 ? ,与平面 ? 和 ? 分别相交于直线 c 和 d , ∵ a ∥平面 ? , a ∥平面 ? , ∴ a ∥ c , a ∥ d ,∴ c ∥ d , 又∵ d ? 平面 ? , c ? 平面 ? , ∴ c ∥平面 ? , 又 c ? 平面 ? ,平面 ? ∩平面 ? = b ,

b c a ? ? d ? ?

∴ c ∥ b ,又∵ a ∥ c , 所以, a ∥ b . 四、课堂练习: 1.选择题 (1)以下命题(其中 a,b 表示直线,?表示平面) ①若 a∥b,b??,则 a∥? ②若 a∥?,b∥?,则 a∥b ③若 a∥b,b∥?,则 a∥? ④若 a∥?,b??,则 a∥b 其中正确命题的个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 (2)已知 a∥?,b∥?,则直线 a,b 的位置关系 ①平行;②垂直不相交;③垂直相交;④相交;⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 ( ) (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 (3)如果平面?外有两点 A、B,它们到平面?的距离都是 a,则直线 AB 和平面? 的位置关系一定是( ) (A)平行 (B)相交 (C)平行或相交 (D)AB?? (4)已知 m,n 为异面直线,m∥平面?,n∥平面?,?∩?=l,则 l ( ) (A)与 m,n 都相交 (B)与 m,n 中至少一条相交 (C)与 m,n 都不相交 (D)与 m,n 中一条相交 答案:(1) A (2) D (3) C (4)C 2.判断下列命题的真假 (1)过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. ( ) (2)过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. ( ) (3)若两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行. ( ) (4)若两条直线都和第三条直线平行,则这两条直线平行. ( ) 答案:(1) 真 (2) 假 (3) 假 (4)真 3.选择题 (1)直线与平面平行的充要条件是( )

(A)直线与平面内的一条直线平行 (B)直线与平面内的两条直线平行 (C)直线与平面内的任意一条直线平行 (D)直线与平面内的无数条直线平行 (2)直线 a∥平面?,点 A∈?,则过点 A 且平行于直线 a 的直线 ( ) (A)只有一条,但不一定在平面?内 (B)只有一条,且在平面?内 (C)有无数条,但都不在平面?内 (D)有无数条,且都在平面?内 (3)若 a??,b??,a∥?,条件甲是“a∥b” ,条件乙是“b∥?” ,则条件甲是条 件乙的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 (4)A、B 是直线 l 外的两点,过 A、B 且和 l 平行的平面的个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)无数个 (D)以上都有可能 答案: (1)D(2)B(3)A(4)D 4.平面?与⊿ABC 的两边 AB、AC 分别交于 D、E,且 AD∶DB=AE∶EC, 求证:BC∥平面? B 略证:AD∶DB=AE∶EC
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? BC // DE ? ? BC ? ? ? ? BC // ? DE ? ? ? ?

C

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? E

D A
A E D B F C

5.空间四边形 ABCD,E、F 分别是 AB、BC 的中点, 求证:EF∥平面 ACD. 略证:E、F 分别是 AB、BC 的中点
? ? ? EF ? ACD ? ? EF // ? AC ? ABC ? ? EF // AC

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6.经过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 AA1D1D 于 E1E,求证:E1E∥B1B
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? ? 略证: AA 1 ? BEE 1 B 1 ? ? AA 1 // BEE 1 B 1 BB 1 ? BEE 1 B 1 ? ? AA 1 // BB 1

A1

D1 E1 B1 D E

C1

C B

A

? ? AA 1 ? ADD 1 A1 ? ? AA 1 // EE 1 ADD 1 A1 ? BEE 1 B 1 ? EE 1 ? ? AA 1 // BEE 1 B 1
AA 1 // BB 1 ? ? ? BB 1 // EE 1 AA 1 // EE 1 ?

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7.选择题 (1)直线 a,b 是异面直线,直线 a 和平面?平行,则直线 b 和平面?的位置关系 是( ) (A)b?? (B)b∥? (C)b 与?相交 (D)以上都有可能 (2)如果点 M 是两条异面直线外的一点,则过点 M 且与 a,b 都平行的平面 (A)只有一个 (B)恰有两个 (C)或没有,或只有一个 (D)有无数个 答案: (1)D (2)A 8.判断下列命题的真假. (1)若直线 l??,则 l 不可能与平面?内无数条直线都相交. ( ) (2)若直线 l 与平面?不平行,则 l 与?内任何一条直线都不平行 ( ) 答案: (1)假 (2)假 9.如图,已知 P 是平行四边形 A B C D 所在平面外一点,M 、 N 分别是 A B 、 P C 的中点 P (1)求证: M N // 平面 P A D ;
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(2)若 M N ? B C ? 4 , P A ? 4 3 , 求异面直线 P A 与 M N 所成的角的大小 略证(1)取 PD 的中点 H,连接 AH,
? NH // DC , NH ? 1 2
? NH // AM , NH ? AM ? AMNH
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H

N

D A B

C

M

DC

为平行四边形

? MN // AH , MN ? PAD , AH ? PAD ? MN // PAD

解(2): 连接 AC 并取其中点为 O,连接 OM、ON,则 OM 平行且等于 BC 的一半, ON 平行且等于 PA 的一半,所以 ? ONM 就是异面直线 P A 与 M N 所成的角,由
M N ? B C ? 4 , P A ? 4 3 得,OM=2,ON= 2 3
0 0
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所以 ? ONM ? 30 ,即异面直线 P A 与 M N 成 30 的角

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10. 如图,正方形 A B C D 与 A B E F 不在同一平面内, M 、N M B 分别在 A C 、 F 上, A M ? F N 求证: N // 平面 C B E 且
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C
T
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M D B N A F
H

E

略证:作 MT // AB , NH // AB 分别交 BC、BE 于 T、H 点
A M ? F N ? ? CMT ≌ BNH ? MT ? NH

从而有 MNHT 为平行四边形 ? MN // TH ? MN // CBE

五、小结 : “线线”与“线面”平行关系:一条直线和已知平面平行,当且仅当这 条直线平行于经过这条直线的平面和已知平面的交线. 六、课后作业:
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七、板书设计(略) 八、课后记:

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