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2014年全国高中数学联赛模拟卷(3)(一试+二试


2014 年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2 x 的最大值是 _______
2.青蛙在正六边形 AB

CDEF 上 A 点处,每次向相邻顶点跳跃.到达 D 点或者跳满五次则停止.不同跳跃 方式有____________种. 3.设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , f (0) ? 1, f (1) ? 1, f (?1) ? 1, 则 f (2) 的最大值为 ___________ 4.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? an ?

x2 y2 5. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与直线 x ? y ? 1 交于 M, N 两点, 且 OM ? ON ( O 为原点), 当椭圆的离 a b 3 2 心率 e∈[ , ]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________ 3 2 6.对于每个大于等于 2 的整数 n ,令 f ( n) 表示 sin nx ? sin x 在区间 [0, ? ] 上不同解的个数,

n ?1 , n ? 1, 2, n(n ? 1)

,则通项 an =

______

g (n) 表示 cosnx ? cos x 在区间 [0, ? ] 上不同解的个数,则 ? ( g (n) ? f (n)) =____________
n?2

2007

7.在平面直角坐标系中,定义点 P(x1, y1), Q(x2, y2)之间的“直角距离”为 d(P, Q)=|x1-x2|+|y1-y2| 若 C(x, y)到点 A(1, 3), B(6, 9)的“直角距离”相等,其中实数 x, y 满足 0≤x≤10, 0≤y≤10, 则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和为 _________

8.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) a ?b?c 2 ) ? 0 ,求证:-1 与 1 中至少有 9.已知 a, b, c 是实数, 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足 f ( 2a 一个是 f ( x) ? 0 的根.
10.设 b ? 0 ,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ?

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

b n ?1 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , an ? n ?1 ? 1 . 2
x2 ? y 2 ? 1 ,过定点 C (1,0) 两条互相垂直的动直线分别椭交圆于 P, Q 两点。 F1 , F2 分别 2 为左右焦点, O 为坐标原点。 (1)求向量 | PF 1 ? PF 2 | 的最小值;

11.已知椭圆

(2)当向量 PF 1 ? PF2 与 QF 1 ? QF 2 互相垂直时,求 P, Q 两点所在直线的斜率。

2014 模拟卷(3)

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2014 年全国高中数学联赛模拟卷(3)加试
(考试时间:150 分钟 满分:180 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、 (本题满分 40 分)如图,C 为半圆弧的中点,点 P 为直径 BA 延长线上一点,过 P 作半圆的切 线 PD , D 为切点, ? BPD 的平分线分别交 AC, BC 于点 E , F . C 求证:以 EF 为直径的圆过半圆的圆心O.

D

F E
二、 (本题满分 40 分)已知 m,n 为正整数.
m

P

A

O

B

(1) 用数学归纳法证明:当 x>-1 时,(1+x) ≥1+mx; (2) 对于 n≥6,已知 (1 ?

(3) 求出满足等式 3n+4n+?+(n+2)n=(n+3)n 的所有正整数 n.

1 n 1 m n 1 ) ? ,求证: (1 ? ) ? ( ) m (m=1, 2, 3, ?, n); n?3 2 n?3 2

n n 三、 (本题满分 50 分) (1)证明:存在无穷多个正整数 n,使 3 ? 2 与 5 ? 2 同时为合数.

(2) 试判断是否存在正整数 p 和 q, 使得对于任意 n≥2007, 总有 p ? 3 ? 2 与 q ? 5 ? 2 之一为素数? 并证明你的结论。
n n

四、 (本题满分 50 分) 现有一根由 n 颗珠子串成的项链 (环行线串成) 。 每颗珠子上都标着一个整数, 且它们的和为 n ? 1 ,求证:我们可以把这串项链绳从某处截断,使它成为一根线段上串着 n 颗珠
子的珠串,它们的相继标号顺次为 x1 , x2 ,?, xn ,且对一切 k ? 1,2,?n 恒有

?x
i ?1

k

i

? k ? 1 成立。

2014 模拟卷(3)

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2014 年全国高中数学联赛模拟卷(3)答案
1、函数的定义域为[1, 5],且 y>0, y ? 5 x ?1 ? 2 ? 5 ? x

? 52 ? ( 2 ) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( 5 ? x ) 2 ? 27 ? 4 ? 6 3
127 当且仅当 2 ? x ?1 ? 5 5 ? x ,等号成立,即 x= 时函数取最大值 6 3 27 2、 跳 5 步共有 32 种,其中包含 3 步跳到 D 的两种情形,应减去 8 种, 所以满足条件的 5 步跳有 24 种。在加上 2 种 3 步跳,共 26 种。

3、 f ? 2 ? ? 4a ? 2b ? c ? 3 ? a ? b ? c ? ? ? a ? b ? c ? ? 3c ? 3 f ?1? ? f ? ?1? ? 3 f ? 0 ? ? 3 f ?1? ? f ? ?1? ? 3 f ? 0 ?

? 3 ? 1 ? 3 ? 7 , 当 f ? x ? ? ?2x2 ? 1时, f ? 2? ? 7
4. an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ?

n n ?1 n?2?2 1 1 ? an ?1 ? ? an ,即 2 a n ?1 ? ? ? ? an (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n(n ? 1) ?2 1 1 1 = ,由此得 2 (a n ?1 ? . ? an ? ) ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)

令 bn ? an ?

1 1 1 1 1 1 1 , b1 ? a1 ? ? ( a1 ? 0 ),有 bn ?1 ? bn ,故 bn ? n ,所以 a n ? n ? . 2 2 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) 2


? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 5. 由 ? a 2 b 2 ,可得 (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ?x ? y ? 1 ?

由 OM ? ON 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 , 将 x1 ? x2 ? ?

2a 2 , a 2 ? b2

a 2 ? a 2b 2 1 1 1 1 3 c 2 x1 x2 ? 2 代入得 2 ? 2 ? 2 , 即 2 ? 2 ? 2 , 因为 , 得 ? ? 2 a b b a a ?b 3 a 2 1 b2 1 1 b2 2 3 1 ? 1 ? 2 ? , 得 ? 2 ? , 有 ? a 2 ? (2 ? 2 ) ? 2 , 解得 5 ? 2a ? 6 . 2 a 3 a 2 2 a 3 2k ? 1 2k ? 或x ? ?, 6、 由 sin nx ? sin x 得:nx ? 2k? ? x 或 2k? ? ? ? x , 即x ? 又 x ? [0, ? ] , n ?1 n ?1 n n ?1 2k ? 1 2m ?? ?, 则0 ? k ? 或0 ? k ? ; 但两组取值可能重复。 若 讨论得: n ? 4t ? 1, t ? N * 2 2 n ?1 n ?1 2k 2k n ?1 n ?1 ? 或x ? ? ,0 ? k ? 时重复一组。同理对于 cosnx ? cos x , x ? 或0 ? k ? , n ?1 n ?1 2 2 n ?1 为公共部分, n 为奇数时, n ? 2t ? 1, t ? N * 时重复一组。比较两种解的取值知, 0 ? k ? 2 n ?1 n * 0?k ? 比 0 ? k ? 多一组解,但 g (n) 当 n ? 2t ? 1, t ? N 时重复一组。 2 2 f (n) 只当 n ? 4t ? 1, t ? N * 时重复一组。实质只有当 n ? 4t ? 1, t ? N * 时, g (n) 比 f (n) 多 1 个解, 2007 2005 ? 5 ? 1 ? 501 。 其余情况解相同。所以 ? ( g (n) ? f (n)) = 4 n?2 7. 由条件得 | x ? 1| ? | y ? 3 |?| x ? 6 | ? | y ? 9 | --------① 当 y≥9 时,①化为 | x ? 1| ?6 ?| x ? 6 | ,无解; 当 y≤3 时,①化为 | x ? 1|? 6? | x ? 6 | ,无解; 当 3≤y≤9 时,①化为 2 y ? 12 ?| x ? 6 | ? | x ? 1| -------②
若 x≤1,则 y=8.5,线段长度为1;若 1≤x≤6,则 x+y=9.5,线段长度为 5 2;若 x≥6, 则 y=3.5,线段长度为4.综上可知,点 C 的轨迹的构成的线段长度之和为 1+5 2+4=5( 2+1)
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8. 如答图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A1 B1C1 //平面 ABC ,与小球相切于点 D ,则小球球心 O 为正四面体

P ? A1 B1C1的中心, PO ? 面A1B1C1 ,垂足 D 为 A1 B1C1 的中心. 1 1 因 VP ? A B C ? S ?A B C ? PD ? 4 ?VO? A B C ? 4 ? ? S ?A B C ? OD , 1 1 1 3 3 故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P1 ,连接 OP ,则 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 PP (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 ? PO ? OP 1 ?

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切时的情况, 易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形, 答图 1 记为 P ,如答图 2.记正四面体的棱长为 a ,过 P1 作 PM ? PA 于 M . 1 EF 1

3 ? 6r , 6 2 故小三角形的边长 PE ? PA ? 2PM ? a ? 2 6r . 1 小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答图 2 中阴影部分) 3 2 2 S?PAB ? S?PEF ? (a ? (a ? 2 6r )2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 1 4 又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以 S?PAB ? S?P EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 . 1
因 ?MPP 1 ? ,有 PM ? PP 1 ? cos MPP 1 ? 2 2r ? 由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 答图 2

?

a ?b?c ) ? 0 知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 有零点,若二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 只有唯 2a a ?b?c b 2 2 ?? , 一的零点, 则这个零点就是抛物线的顶点, 有 解得 a ? c , 由 ? 0, 有 b ? 4a ? 0 , 2a 2a b 2a ? ? 1, 则 b ? ?2a , 故抛物线的顶点横坐标为 x ? ? 所以 ?1 与 1 中至少有一个是 f ( x) ? 0 的根。 2a 2a 2 若二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 有两个不同的零点,因为:
9、由 f (

? a ? b ? c ? ? 2b ? a ? b ? c ? ? 4ac ? a ? b ? c ? a ?a ? b ? c? b ?a ? b ? c? f? ? ?c ? ?? 2 4a 4a 2a ? 2a ? 2 2 a ? b ? c ?? a ? b ? c ? 2b ? ? 4ac a ? c ? ? b2 ? 4ac a ? c ? ? b2 ? ? ? ? ? ? 4a 4a 4a a ? b ? c ?? a ? b ? C ? f ? ?1? f ?1? ? ? ? ? 0 ,所以 f ? ?1? ? 0 或 f ?1? ? 0 4a 4a 故 ?1 与 1 中至少有一个是 f ? x ? ? 0 的根。 nban ?1 a ban ?1 n 2 n ?1 1 10、解:∵ an ? ,∴ n ? ,∴ ? ? ? n an ?1 ? 2n ? 2 an b an?1 b an ?1 ? 2n ? 2 n n ?1 1 n 1 1 ① 当 b ? 2 时, ? ? ,∴ ? ? (n ? 1) ? ,即 an ? 2 an an ?1 2 an 2 2 n 1 2 n ?1 1 n 1 2 ② 当 b ? 0 且 b ? 2 时, ? ? ( ? ) ,当 n ? 1 时, ? ? an 2 ? b b an?1 2 ? b an 2 ? b b(2 ? b) 2 2 n 1 1 2 n 1 ∴{ ? 为首项, 为公比的等比数列, ∴ } 是以 ? ? ? ( )n b b(2 ? b) an 2 ? b 2 ? b b an 2 ? b
2
2

2014 模拟卷(3)

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n(2 ? b)b n n 2n 1 2n ? b n a ? ,∴ ? ? ? n 2n ? b n an (2 ? b)bn 2 ? b (2 ? b)bn

? n(2 ? b)b n 综上所述 a ? ? 2n ? b n ,  b ? 0且b ? 2 ? n ?2,   b ? 2    ?

(2)方法一:证明:① 当 b ? 2 时, an ?

b n ?1 ?1 ? 2 ; 2n ?1 ② 当 b ? 0 且 b ? 2 时, 2n ? bn ? (2 ? b)(2n?1 ? 2n?2 b ?

? 2bn?2 ? bn?1 )

an ?

n ? bn ? 2n?1 ? 2n?2 b ? ? 2bn?2 ? bn?1 n n 21?2?
bn ? b 2
n ?1 2 n ?1 2

n ? bn
? ( n ?1)

? b1? 2?

? ( n?1)

?
n

bn 2
n ( n?1) 2

?b

n ( n ?1) 2

? 2

n ?1 2

?b

n ?1 2

?

b n ?1 2n ?1

?

b n ?1 ? 2n ?1 2 b n ?1 ? 2n ?1 b n ?1 ? 2n ?1 bn?1 ? ? ? n?1 ? 1 2 2n ?1 2n ?1 2n ?1

b n ?1 ?1. 2n ?1 b n ?1 b ? 2 方法二:证明:① 当 时, an ? n ?1 ? 1 ? 2 ; 2 b n ?1 nb n (2 ? b) b n ?1 ? n ?1 ? 1 , ② 当 b ? 0 且 b ? 2 时,要证 an ? n ?1 ? 1 ,只需证 2n ? b n 2 2 n(2 ? b) b 1 n b 1 ? n ?1 ? n ,即证 n ?1 ? n ?1 ? n 即证 n n n?2 n?2 n ?1 2 ?b 2 b 2 ? 2 b ? ? 2b ? b 2 b b 1 n ?1 n?2 n?2 n ?1 即证 ( n ?1 ? n )(2 ? 2 b ? ? 2b ? b ) ? n 2 b b b2 b n ?1 b n 2n ?1 2n ?2 2 1 即证 ( 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ) ? ( n ? n ?1 ? ? 2 ? ) ? n 2 2 2 2 b b b b 2 n ?1 n n ?1 n?2 b b b b 2 2 2 1 ∵ ( 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ) ? ( n ? n ?1 ? ? 2 ? ) 2 2 2 2 b b b b 2 n ?1 n?2 n b 1 b 2 b 2 b 2n ?1 ? ( 2 ? ) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ( n ? n?1 ) ? ( n?1 ? n ) 2 b 2 b 2 b 2 b
∴对于一切正整数 n , an ?

bn?1 2n?2 bn 2n?1 ? ? 2 ? ?n, 2n bn?1 2n?1 bn b n ?1 ∴原不等式成立。∴对于一切正整数 n , an ? n ?1 ? 1 . 2 2b ? 2. 11、解: (1) PF 1 ? PF 2 ? 2PO ,所以 | PF 1 ? PF 2 | =2 | PO | .即最小值为 当 P 点位于短轴上顶点时,取等号. ?2 b 1 b2 2 ? ? 2 ? ? 22 b 23 b2 ?2
(2) PF 1 ? PF 2 ? 2PO , QF 1 ? QF 2 ? 2QO ,所以 PO 与 QO 互相垂直,则线段 PQ 为直角 ?POQ 与直角 ?PCQ 公共斜边。设线段 PQ 中点为 M ,则 MC ? MO ,即 xP ? xQ ? 2xM ? xC ? 1 设直线 PQ 方程为 y ? kx ? b ,与 ①

x ? y 2 ? 1 联立得: 2 2 2 2 (1 ? 2k ) x ? 4kbx ? 2b ? 2 ? 0 ,由①得: 1 ? 2k 2 ? 4kb ? 0

2



2014 模拟卷(3)

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又由 PO 与 QO 互相垂直知 即 (2 ?

y P yQ x2 x2 y ? kx 2 ? y 2 ? 1 合成得: ? y 2 ? ( ) , ? ? ?1 ③ 直线 PQ 与 2 2 b x P xQ

2 y 2 4k y 2k 2 2 2k 2 2 10 ? 5 )( ) ? ? ? 1 ? ? 0 ( 2 ? ) ? ( 1 ? ) ? 0 ④,由②与④解得 k ? ? ,由③得 2 2 2 2 b x b x b b b 10

二试
一、证明:连结 DA, DE, DO, DB, DF ,因为 C 是半圆弧的中点,

C D

PD 是切线.所以 OC ? AB, PD ? OD . F 所以 ?DPB ? ?COD . 因为 PF 平分 ?DPB, E 1 1 所以 ?DPF ? ?DPB ? ?COD ? ?CAD ? ?CBD P 2 2 A O 所以 A, P, D, E 四点共圆, B, P, D, F 四点共圆 所以 ?CED ? ?DPA ? ?CFD , ?COD ? ?DPA ? ?CFD ,所以 C , D, F , E 四点共圆, C , D, F , O 四点共圆,所以 C, D, F , E, O 共圆,即以 EF 为直径的圆过半圆的圆心O.
二、解: (Ⅰ)证:当 x=0 或 m=1 时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明: 当 x>-1,且 x≠0 时,m≥2, (1+x)m>1+mx. ① (i)当 m=2 时,左边=1+2x+x2, 右边=1+2x,因为 x≠0, 所以 x2>0,即左边>右边,不等式①成立; (ii)假设当 m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x)k>1+kx, 则当 m=k+1 时,因为 x>-1, 所以 1+x>0. 又因为 x≠0, k≥2, 所以 kx2>0. 于是在不等式(1+x)k>1+kx 两边同乘以 1+x 得: (1+x)k· (1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x, 所以(1+x)k+1>1+(k+1)x, 即当 m=k+1 时,不等式①也成立. 综上所述,所证不等式成立.
n

B

1 m 1 ? 1 m? 1 (Ⅱ)证:当 n ? 6, m ? n时, ? (1 ? ) ? ,? ?(1 ? ) ? ? ( )m , n?3 2 ? n?3 ? 2
m n ? 1 m? 1 ? (1 ? ) ? ?(1 ? ) ? ? ( )m . n?3 n?3 ? 2 ? n0 n n n (Ⅲ)解:假设存在正整数 n0 ? 6使等式3 0 ? 4 0 ? ? ? (n0 ? 2) ? (n0 ? 3) 0 成立,
1 m m ) ?1? 而由(Ⅰ) , (1 ? n?3 n?3
n
n

4 n0 n ? 2 n0 3 0 即有( )+ ( ) ??? ( 0 ) =1. n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3
n



4 n0 n ? 2 n0 n n ?1 3 0 )+ ( ) ??? ( 0 ) ? (1 ? 0 )n0 ? (1 ? 0 ) n0 ? ? n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3 1 n0 1 1 1 1 + (1 ? ) ? ( )n0 ? ( )n0 ?1 ? ? ? ? 1 ? n0 ? 1, 与②式矛盾, n0 ? 3 2 2 2 2
又由(Ⅱ)可得( 故当 n≥6 时,不存在满足该等式的正整数 n. 故只需要讨论 n=1, 2, 3, 4, 5 的情形; 当 n=1 时,3≠4,等式不成立; 当 n=2 时,32+42=52,等式成立; 当 n=3 时,33+43+53=63,等式成立; 当 n=4 时,34+44+54+64 为偶数,而 74 为奇数,故 34+44+54+64≠74,等式不成立; 当 n=5 时,同 n=4 的情形可分析出,等式不成立. 综上,所求的 n 只有 n=2, 3.

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三、证明: (1) 3 ? 2 ? 3(3n?1 ? 1) ? 5 ,由费马小定理: 34 ? 1(mod5) ,
n

所以,令 n ? 1 ? 4r ,则 5 | 3n ? 2 ,即 n ? 4r ? 1(r ? N ? ) 时 , 3 ? 2 为合数。
n

又 5 ? 2 ? 5(5 n?1 ? 1) ? 7 ,所以由费马小定理: 56 ? 1(mod7)
n

所以

n ? 1 ? 6s ,即 n ? 6s ? 1(s ? N ? ) 时 , 5 n ? 2 为合数。

因此,只要

n ? 1 ? 12t ? n ? 12t ? 1(t ? N ? ) 时, 3n ? 2 , 5 n ? 2 都是合数,这样的 n 有无穷多个.

(2)不存在。 p ? 3n ? 2 ? p(3n ? 3) ? 3 p ? 2 ,取 3 p ? 2 的一个素因子 s , 则 ( s,3) ? 1 , 由费马小定理,知 n ? t (s ? 1) ? 1, t ? N * (*)时, s | p(3n ? 3) ? 3 p ? 2 ,即 p ? 3n ? 2 为合数。 同理,q ? 5 ? 2 ? q(5 ? 5) ? 5q ? 2 ,取 5q ? 2 得一个素因子 u ,则 n ? v(u ? 1) ? 1, v ? N (**)时,
n n *

q ? 5 n ? 2 为合数。由(*)和(**)知 n ? x(s ? 1)(u ? 1) ? 1, x ? N * 时 p ? 3n ? 2 与 q ? 5 n ? 2 同时为合数。
四、解:对项链绳圈任意选择一个初始位置和一个旋转方向,并令其珠子上的标号依次为 y1 , y 2 ,?, y n , 由已知,

?y
i ?1

n

i

? n ? 1 ,设第 i 颗珠子对应的坐标 (i, y1 ? y 2 ? ? yi ) , (i ? 1,2,?, n) ,

把第 i 个坐标 (i, y1 ? y 2 ? ? yi ) 和 (i, i) 比较,横坐标相同,纵坐标之差 ( y1 ? y2 ? ? yi ) ? i 形成一个集合, 若集合中所有值均为负数, 则命题得证. 故设其中有非负数.则在 i ? 1,2,?, n 时, 必存在 k , 使

?y
j ?1

k

j

? k 最大, 选取达到最大值时的最大 k 为 k0 。
i n

建立新坐标以第 k0 +1 颗珠子作为新的初始位置,重新排列珠子的标号(方向依原方向不变), 所得珠子的 标号依次为 x1 , x2 ,?, xn , 所对应的新坐标为(1, x1 ),(2, x1 + x2 ),(3, x1 + x2 + x3 ),?,(i, (即(n,n-1))。此时
k0 ?m0 j ?1

? x j ),?,(n, ? x j )
j ?1 j ?1

?x
i ?1

k

i

? k ? 1 ,否则若存在 ? xi ? m ,则 ? y j ? ko ? ? x j ? m ?
i ?1
j ?1 j ?1

m

k0

m

? y ? (k ? m) ? ? y ? k
j 0
j ?1 j

k0

0

,若 k 0
j

? m ? n ,与 k0 为达到最大值时的最大 k 矛盾,若
k0

k0 ? m ? n ,则由 ? y i ? n ? 1 知: ? j ?1
n i ?1

k0 ?m0 ?n

y ? ( k ? m ? n) ? ? y ? k
0
j ?1 j

0

,也矛盾。

所以则截断项链的位置安排在第 k0 和 k0 +1 珠子之间.满足条件。

2014 模拟卷(3)

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2014高中数学联赛模拟试题(含答案)

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