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从近几年高考试题看《数列》总复习


从近几年高考试题看《数列》总复习 陕西 杨同伟 数列是高中的主干内容,是历年高考的重点内容之一。在各地的高考试题中都占有相当大的 比例,从考察内容和考察形式上看,不仅有考察基础知识、基本技能的选择题、填空题,而且有 综合函数、不等式、解析几何等内容的压轴试题。本文主要结合近几年高考试题来分析《数列》 一章的考察力度和考察方向,供高三复习备考之用。 1、等差、等比数列 纵观近几年的高考试题,考查、等差数列、等比数列的通项公式、前 n 项和公式、等差和等 比数列的性质(如:“角码和”性质,“片段和”性质等)的试题比比皆是,这些知识的考查形 式多数是选择题和填空题。 例 1 (2007 湖北·理·8)已知两个等差数列 { a n } 和 { b n } 的前 n 项和分别为 A n 和 B n ,且
An Bn ? 7 n ? 45 n?3

,则使得

an bn

为整数的正整数 n 的个数是 (C)4
( a1 ? a 2 n ?1 ) ? ? 2 n ? 1 ?

( (D)5



(A)2
an bn 2an 2 bn

(B)3
a1 ? a 2 n ?1 b1 ? b 2 n ? 1

解:

?

?

?

A 7 n ? 19 12 2 ? 2 n ?1 ? ? 7? . ( b1 ? b 2 n ? 1 ) ? ( 2 n ? 1) B 2 n ?1 n ?1 n ?1 2



使

an bn

为整数的正整数 n 的个数是 5.故,选择(D)

例 2 (2007 全国 I·理·15)等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S 1 , 2 S 2 , 3 S 3 成等差 数列,则 ? a n ? 的公比为 .
2

解:设等比数列 ? a n ? 的公比为 q ,则 S 1 ? a 1 , S 2 ? a 1 ? 1 ? q ? , S 3 ? a 1 ? 1 ? q ? q ∵ ∴ 例 3
lim
n→ ?

?.

S 1 , 2 S 2 , 3 S 3 成等差数列,
S 1 ? 3 S 3 ? 4 S 2 ,即 a 1 ? 3 a 1 ? 1 ? q ? q
2

? ? 4 a ?1 ? q ? ,∴
1

q ?

1 3

.

(2007 全国 II·理·16)已知数列的通项 a n ? ? 5 n ? 2 ,其前 n 项和为 S n ,则 .

Sn n
2

?

解:由通项公式可知,数列 ? a n ? 为等差数列,首项为 a 1 ? ? 3 ,公差 d ? ? 5 ,
1



S n ? n a1 ?

n ? n ? 1? 2

d ? ?

5 2

n ?
2

1 2

n,

Sn n
2

? ?

5 2

?

1 2n

,



lim

Sn n
2

n→ ?

? ?

5 2

.

例 4 (2007 陕西·理·5)各项均为正数的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S3n=14, 则 S4n 等于 (A)80 ( (B)30 (C) 26 (D) 16 )

解:由等比数列的“片段和”性质,知 S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n , S 4 n ? S 3 n 成等比数列,即
2 , S 2 n ? 2 , 1 4? S 2 n ,S 4 n ? 1 4 成等比数列,解得 S4n=26.故,选择(C).

例 5 (2007 天津·理·8)设等差数列 ? a n ? 的公差 d 不为 0, a1 ? 9 d .若 a k 是 a 1 与 a 2 k 的 等比中项,则 k ? (A)2 ( (B)4 (C) 6 (D) 8 由于 a k 是 a 1 与 a 2 k 的等比中项。 )

解:由题意可知, a k ? ( k ? 8) d , a 2 k ? ? 2 k ? 8 ? d . ∴
2
2

a k ? a 1 ? a 2 k , 即 ? k ? 8 ? ? 9 ? ? 2 k ? 8 ? , 解得 k ? 4 . 故,选择(B) 。
2, S 3 ? 9 ? 3 2 .

例 6 (2007 福建·理·21)等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n, a1 ? 1 ? (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项 a n 与前 n 项和 S n ; (Ⅱ)设 b n ?
Sn n

( n ? N ) ,求证:数列 { b n } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
?

解: (Ⅰ)由已知得 ?

?a ? ? 1

2 ? 1,

,? d ? 2 ,

? 3 a1 ? 3 d ? 9 ? 3 2 ?

故 an ? 2n ? 1 ?

2, S n ? n ( n ?
Sn n ? n?

2) .
2 .
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 b n ?

假设数列 { b n } 中存在三项 b p, b q, b r ( p, q, r 互不相等)成等比数列,则 b q ? b p b r . 即 (q ?
2

2) ? (p ?
2

2 )( r ?

2) .

? (q ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0
? p, q, r ? N ,
?

2

? q ? p r ? 0, ?? ? 2 q ? p ? r ? 0,
2

? p?r ? 2 ?? ( ? ? ? p r ,p ? r ) ? 0, p ? r . ? 2 ?

2

与 p ? r 矛盾. 所以数列 { b n } 中任意不同的三项都不可能成等比数列. 2、新定义数列 在近几年的高考试题中,考察新定义数列的试题愈来愈多,这类试题重点考察学生运用新定 义分析、推理的能力。 例 7 (2007 湖北·理·6)若数列 { a n } 满足 “等方比数列” . 甲:数列 { a n } 是等方比数列; 乙:数列 { a n } 是等比数列,则( )
a n ?1 an
2 2

,则称 { a n } 为 ? p ( p 为正常数, n ? N )

?

(A)甲是乙的充分条件但不是必要条件 (B)甲是乙的必要条件但不是充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解:若 { a n } 是等方比数列,则
a n ?1 an
2 2

,进一步有 ? p ( p 为正常数, n ? N )

?

a n ?1 an

? ?

p ,所

以 ,数列 { a n } 不是等比数列;反之,若数列 { a n } 是等比数列,则 所以,数列 { a n } 是等方比数列。故,选择(B) 。

a n ?1 an

? p ,进一步

a n ?1 an
2

2

? p ,
2

例 8 (2007 上海·理·20)若有穷数列 a 1 , a 2 ...a n ( n 是正整数) ,满足 a1 ? a n , a 2 ? 即
a n ? 1 ....a n ? a 1 a i ? a n ? i ? 1 ( i 是正整数,且 1 ? i ? n ) ,就称该数列为“对称数列” 。

(1)已知数列 ? b n ? 是项数为 7 的对称数列,且 b1 , b 2 , b 3 , b 4 成等差数列, b1 ? 2, b 4 ? 1 1 ,试 写出 ? b n ? 的每一项. (2) 已知 ? c n ? 是项数为 2 k 的等差数列, 数列 ? c n ? 的前 2 k 且 ? 1 ? k ? 1 ? 的对称数列, c k , c k ? 1 ...c 2 k ? 1 构成首项为 50, 公差为 ? 4

则当 k ? 1 项和为 S 2 k ? 1 ,
3

为何值时, 2 k ? 1 取到最大值?最大值为多少? S

(3)对于给定的正整数 m

? 1 ,试写出所有项数不超过 2 m

的对称数列,使得1, 2, 2 2 ...2 m ?1 成为数

列中的连续项;当 m ? 1 5 0 0 时,试求其中一个数列的前 2008 项和 S 2 0 0 8 . 解: (1)设 ? b n ? 的公差为 d ,则 b 4 ? b1 ? 3 d ? 2 ? 3 d ? 11 ,解得 d ? 3 ,
?

数列 ? b n ? 为 2, ,, 1,, , . 5 8 1 8 5 2

(2) S 2 k ?1 ? c 1 ? c 2 ? ? ? c k ?1 ? c k ? c k ? 1 ? ? ? c 2 k ?1
? 2 ( c k ? c k ? 1 ? ? ? c 2 k ?1 ) ? c k ,

S 2 k ? 1 ? ? 4 ( k ? 13 ) ? 4 ? 13
2

2

? 50 ,

?

当 k ? 13 时, S 2 k ? 1 取得最大值.

S 2 k ? 1 的最大值为 626.

(3)所有可能的“对称数列”是: ① ② ③ ④
1, , , , 2 2 ? 2
2 m?2

, 2

m ?1

, 2

m?2

, , ,, ; ? 2 2 1
2 m?2

1, , , , 2 2 ? 2
m ?1 m?2

2

m?2

, 2

m ?1

, 2

m ?1

, 2

, , ,,; ? 2 2 1
2 m?2 m ?1

2

, 2

, , , ,, , , , ? 2 2 1 2 2 ? 2

2

2

, 2


m ?1

2

m ?1

, 2

m?2

, , , ,,, , , , ? 2 2 1 1 2 2 ? 2

2

2

m?2

, 2


?? ? 2
m?2 2007

对于①,当 m ≥ 当 1500 ?
? 2
m

2 0 0 8 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? 2

2

? 2 ? 2

2008

?1. ?? ? 2
2 m ? 2009

m ≤ 2007
m ?1

时, S 2008 ? 1 ? 2 ? ? ? 2
2 m ? 2009

?2

m ?1

m?2

?1? 2

?2

? 2

m

?2

m ?1

?2

2 m ? 2009

?1.

对于②,当 m ≥ 当 1500 ?

2 0 0 8 时, S 2008 ? 2

2008

?1.
2 m ? 2008

m ≤ 2007

时, S 2008 ? 2

m ?1

?2
m

?1.

对于③,当 m ≥

2 0 0 8 时, S 2008 ? 2

?2

m ? 2008



4

当 1500 ?

m ≤ 2007

时, S 2008 ? 2

m

?2
m

2009 ? m

?3.

对于④,当 m ≥ 当 1500 ?

2 0 0 8 时, S 2008 ? 2

?2

m ? 2008



m ≤ 2007

时, S 2008 ? 2

m

?2

2008 ? m

? 2.

a 例 9 (2007 江西·理·14) 已知数列 ? a n ? 对于任意 p, q ? N * , a p ?a q ? p q 有

?

, a1 ? 若

1 9



则 a 36 ?

.
2 9 4 9 8 9 16 9 32 9 36 9 ? 4. , , , , ,

解:令 p ? q ? 1 ,得 a 2 ? a 1 ? a 1 ? 令 p ? q ? 2 ,得 a 4 ? a 2 ? a 2 ? 令 p ? q ? 4 ,得 a 8 ? a 4 ? a 4 ?

令 p ? q ? 8 ,得 a 1 6 ? a 8 ? a 8 ?

令 p ? q ? 1 6 ,得 a 3 2 ? a 1 6 ? a 1 6 ?

令 p ? 3 2, q ? 4 ,得 a 3 6 ? a 3 2 ? a 4 ?

3、递推数列 这类问题通常是由递推公式给出数列,与其它知识交汇,重在考查运用递推公式进行变形、 推理与构造能力。常见的递推类型及处理方式有: (1)通过构造辅助数列来求通项公式 类型 1 形如 a n + 1 = m a n + q ( m , q为 常 数 ) 的递推数列常转化为 ( a n + 1 + t ) = m ( a n + t ) (其中常数 t
= q m - 1

)来求解;
( t + 1 )a n + t a n - 1

类型 2 形如 a n + 1 = 求解;

的递推数列常转化为 a n + 1 - a n = t ( a n - a n -1 ) 来

n 类型 3 形如 a n + 1 = a n + t 的递推数列常转化为

a n+ 1 t
n+ 1

=

1 t

?

an t
n

1 进一步转化为类型

1 来求解或用迭代法求解 类型 4 形如 a n ? a n ? 1 ? m a n ? p a n ? 1 ? 0 ? m , p为 常 数 , n ? N
?

? 的递推数列,常给两边同除以

5

a n ? a n ? 1 转化为 m ? p ? 1 ? 0 ,再利用类型 1 的方法求解。
a n ?1 an

类型 5 形如 S n ? f ? a n , a n ? 1 ? 的递推数列常用 a n ? ? (2)通过迭代、迭加或迭乘来求通项公式

?

S 1 ( n ? 1);

? S n ? S n ?1 ( n ? 2 )

来解决。

类型 1 形如 a n + 1 = a n + f ( n ) 的递推数列常转化为 a n + 1 - a n = f ( n ) 在用叠加法来求其 通项公式或利用迭代法求其通项公式; 类型 2 形如 a n + 1 = m a n + f ( n 类型 3 形如
a n+ 1 an = f
(
)

的递推数列利用迭代法求其通项公式;

n

)

的递推数列利用迭乘法或迭代法求其通项公式

(3)通过猜测,数学归纳法证明来求解通项公式 例 10 (2007 重庆·理·14)在数列 ? a n ? 中,若 a1 ? 1, a n ? 1 ? 2 a n ? 3( n ? 1) ,则该数列的 通项 a n ? .

解:原递推关系可化为 a n ? 1 ? 3 ? 2 ? a n ? 3 ? ,? ? a n ? 成等比数列,首项为 4,公比为 2,
? an ? 3 ? 4 ? 2
n ?1

? 2

n ?1

,? a n ? 2

n ?1

? 3.

例 11 (2004 全国·理·22)已知数列 { a n } 中 a 1
a 2k +
1

= 1

,且 a 2 k = a 2 k -

1

k + (- 1) ,

= a 2 k + 3 , 其中, k = 1, 2, 3, L

k

(1)求 a 3 , a 5 ; (2)求 { a n } 的通项公式. 解: (1) a 3 = 3, a 5 = 1 3.
(2 ) Q

a 2k + 1 = a 2k + 3

k

k k = a 2 k -1 + ( - 1 ) + 3 , k k + (- 1) , k -1 + (- 1) ,

\

a 2 k + 1 - a 2 k -1 = 3 a 2 k -1 - a 2 k -3 = 3 L L

k -1

a3 -

a 1 = 3 + ( - 1 ),
1 k

( a 2k+
=

-

a 2k k- 1

1

) + ( a 2k + L + 3

1

-

a 2k -

3 k

) + L

+ (a3 k- 1

a1 ) + (- 1)

(3

+ 3

)

( + 轾- 1 ) 臌

+ (- 1)

+ L

6

\

a 2k + 1 - a 1 =

3 2

( 3k

- 1) +
k+ 1

1 轾- 1 ) k - 1 . ( 2 臌

于 是 , a 2k + a 2k = a 2k = 3
k

1

=

3

2

+

1 2

(- 1)

k

- 1,
( -1 )
k -1 k - 1+ ( -1 )

1

k + (- 1) =

3

k

2

+

1 2

2

+

1 2

(- 1)

k

- 1.

23? , 例 12 (2007 北京·文·16) 数列 ? a n ? 中,a1 ? 2 a n ? 1 ? a n ? cn( c 是常数,n ? 1,,, )

且 a1, a 2, a 3 成公比不为 1 的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ? a n ? 的通项公式. 解: (I)a1 ? 2 , a 2 ? 2 ? c ,a 3
? 2 ? 3c

,因为 a 1 ,a 2 ,a 3 成等比数列,所以 ( 2 ? c ) 2 ? 2 ( 2 ? 3 c ) ,

所以 ( 2 ? c ) 2 ? 2 ( 2 ? 3 c ) ,解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a 2 ? a 3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于
a 2 ? a1 ? c ,
a3 ? a2 ? 2c



??
a n ? a n ? 1 ? ( n ? 1) c


c.

所以 a n ? a 1 ? [1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1)] c ?

n ( n ? 1) 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 a n ? 2 ? n ( n ? 1) ? n 2 ? n ? 2( n ? 2 ,, ) .当 n ? 1 时,上式也成立,所 3 ? 以 a n ? n 2 ? n ? 2 ( n ? 1,, ) . 2 ? 例 13
1 2? 1 a n ?1 ? an 1 n ? ?

(2007 江西·理·22)设正整数数列 ? a n ? 满足: a 2 ? 4 ,且对于任何 n ? N ,有
*

1 a n ?1 1 n ?1 ? 2? 1 an



7

(1)求 a 1 , a 3 ; (3)求数列 ? a n ? 的通项 a n . 解:解: (1)据条件得 2 ?
1 a n ?1 ? 1 1 ? 1 ? n ( n ? 1) ? ? ?? 2? a n ?1 ? an ? an



当 n ? 1 时,由 2 ?
2 3 8 7
1

1 a2

? 1 1 ? 1 ? 2? ? ?? 2? a1 a 2 ? a1 ?

,即有 2 ?

1 4

?

2 a1

?

2 4

? 2?

1 a1



解得

? a1 ?

.因为 a 1 为正整数,故 a 1 ? 1 . ,

当 n ? 2 时,由 2 ?

?1 1 ? 1 ? 6? ? ?? 2? a3 4 ? 4 a3 ?

解得 8 ? a 3 ? 1 0 ,所以 a 3 (2)由 a 1 ? 1 , a 2
? 4

? 9


? n
2

, a 3 ? 9 ,猜想: a n



下面用数学归纳法证明. 1 当 n ? 1 , 2 时,由(1)知 a n ? n 2 均成立; 2 假设 n ? k ( k ≥ 2 ) 成立,则 a k 由①得 2 ?
2

?

?

? k

2

,则 n

? k ?1时

1 a k ?1

? 1 1 ? 1 ? k ( k ? 1) ? 2 ? ?? 2? 2 a k ?1 ? k ?k
? a k ?1 ? k ( k ? k ? 1)
2

?

k ( k ? 1) k ? k ?1
2

k ?1

? ( k ? 1) ?
2

( k ? 1)
2

2

k ?1

? a k ? 1 ? ( k ? 1) ?
2

1 k ?1
2

因为 k ≥ 2 时, ( k 2 ? 1) ? ( k ? 1) 2 ? k ( k ? 1)( k ? 2 ) ≥ 0 ,所以 ( k ? 1) 2
k ? 1 ≥ 1 ,所以
1 k ?1 ? ? 0,? . 1
? 1) ≤ a k ? 1 ≤ ( k ? 1)
2

k ?1

? ? 0,? . 1

又 a k ? 1 ? N * ,所以 ( k 故 a k ?1
? ( k ? 1)
2

2



,即 n ? k ? 1 时, a n ? n 2 成立.
8

由 1 ,2 知,对任意 n ? N * , a n

?

?

? n

2



4、数阵 在近年的高高试题中,涉及数阵的试题也很常见,解决此类问题的核心是要找出数阵的摆放 规则。 例 14 (2007 湖南·理·15)将杨辉三角中的奇数换成 1, 偶数换成 0, 得到如图 1 所示的 0-1 三角数表. 从上往下数, 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行, 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行, 第 第 ?, 第 n 次全行的数都为 1 的是第 行;第 61 行中 1 的个数是 . 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 ?? ???????????? 图1 解:如此继续,第 6 行的数为 1 0 1 0 1 0 1 第 7 行的数为 1 1 1 1 1 1 1 1 第 8 行的数为 1 0 0 0 0 0 0 0 1 由此猜想:第 2 ? 1 行的数都为 1(证明略) ;
k

由以上猜想可知,第 63 行为 1 1 1 1 1 1??????1 1 1 1 1 1 第 62 行为 1 0 1 0 1 0????0 1 0 1 0 1 第 61 行为 1 1 0 0 1 1??1 1 0 0 1 1 所以,第 61 行共有 32 个 1. 例 15 (2005 上海·理·12)用 n 个不同的实数 a 1 , a 2 , ? , a n 可得到 n ! 个不同的排列,每个 排列为一行写成一个 n ! 行的数阵。对第 i 行 a i 1 , a i 2 , ? , a in ,记 b i
i ? 1, 2 , 3 , ? , n ! .

? ? a i 1 ? 2 a i 2 ? 3 a i 3 ? ? ( ? 1) na in
n



例 如 : 用 1, 2 , 3 可得 数 阵 如 图 ,由 于 此 数阵 中 每 一 列 各数 之 和 都是 12 , 所 以,
b1 ? b 2 ? ? ? b 6 ? ? 12 ? 2 ? 12 ? 3 ? 12 ? ? 24


1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 1 2 2

那么,在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中, b1 ? b 2 ? ? ? b120 =_________。 解:在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中,每一列各数之和都是 360,
b1 ? b 2 ? ? ? b120 ? ? 360 ? 2 ? 360 ? 3 ? 360 ? 4 ? 360 ? 5 ? 360 ? ? 1080

3 3

图2

9

5、点列 此类问题通常都是按某种规则在曲线 f ? x , y ? ? 0 上生成一列点,然后来探索这一列点的横 坐标或纵坐标之间存在的关系。 例 16 (2007 四川·文·22)已知函数 f(x)=x -4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) ) 处的切线与 x 轴的交点为(xn+1,0) ( n ? N *) ,其中为正实数. (Ⅰ)用 xx 表示 xn+1; (Ⅱ)若 a1=4,记 an=lg
xn ? 2 xn ? 2
2

,证明数列{a1}成等比数列,并求数列{xn}的通项公式;

(Ⅲ)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3. 解: (Ⅰ)由题可得 f '( x ) ? 2 x . 所以曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x n , f ( x n )) 处的切线方程是: y ? f ( x n ) ? f '( x n )( x ? x n ) . 即 y ? ( xn ? 4) ? 2 xn ( x ? xn ) .
2

令 y ? 0 ,得 ? ( x n ? 4 ) ? 2 x n ( x n ? 1 ? x n ) .
2

即 x n ? 4 ? 2 x n x n ?1 .
2

显然 x n ? 0 ,∴ x n ? 1 ?

xn 2

?

2 xn



(Ⅱ)由 x n ? 1 ?

xn 2

?

2 xn

,知 x n ? 1 ? 2 ?

xn 2

?

2 xn

?2 ?

( xn ? 2) 2 xn

2

,同理 x n ? 1 ? 2 ?

( xn ? 2) 2 xn

2





x n ?1 ? 2 x n ?1 ? 2

? (

xn ? 2 xn ? 2

) .

2

从而 lg

x n ?1 ? 2 x n ?1 ? 2
n ?1

? 2 lg

xn ? 2 xn ? 2
x1 ? 2 x1 ? 2

,即 a n ? 1 ? 2 a n .所以,数列 { a n } 成等比数列.

故 an ? 2

a1 ? 2

n ?1

lg

? 2

n ?1

lg 3 .

即 lg

xn ? 2 xn ? 2

? 2

n ?1

lg 3 .
10

从而

xn ? 2 xn ? 2

? 3

2

n ?1

所以 x n ?

2 (3 3
2

2

n ?1

? 1) ?1 2 (3 3
2 2
n ?1

n ?1

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 x n ?

? 1) ?1
? 0

n ?1



∴ bn ? x n ? 2 ?
n ?1

4 3
2
n ?1

?1



bn ?1 bn

?

3

2

?1 ?1

3

2

n

? 3

1
2
n ?1

?1

? 3

1
2
n ?1

? 3

1
2
1 ?1

?

1 3

当 n ? 1 时,显然 T1 ? b1 ? 2 ? 3 . 当 n ? 1 时, b n ?
1 1 2 1 n ?1 b n ? 1 ? ( ) b n ? 2 ? ? ? ( ) b1 3 3 3

∴ T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n
? b1 ? 1 1 n ?1 b1 ? ? ? ( ) b1 3 3

1 n b1 [1 ? ( ) ] 3 ? 1 1? 3

1 n ? 3 ? 3?( ) ? 3 . 3

综上, T n ? 3 ( n ? N *) . 6、数列求和 常见的数列求和方式有:分组求和法、裂项相消法、错位相减法、基本公式法等。 常用的求和公式: 1 ? 2 ? ? ? n ?
2 2 2

n ( n ? 1)( 2 n ? 1) 6



1 ? 2 ?? ? n ?
3 3 3

n ( n ? 1)
2

2



4

Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 .
0 1 2 n n

11

类型 1 若数列 ? a n ? 成等比数列,数列 ? b n ? 成等差数列,则数列 ? a n b n ? 的前 n 项和可用错位 相减法求解。 类型 2 若数列 ? a n ? 成等差数列,则数列 ?
? 1 ? ? 的前 n 项和可用裂项相消法求解。 ?

? a n ? a n ?1

类型 3 与组合数有关的求和问题,常逆用二项式定理求解。 例 17 (2007 山东·理·17)设数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 3 a 2 ? 3 a 3 ? … ? 3
2 n ?1

an ?

n 3

,a ? N .
*

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项; (Ⅱ)设 b n ?
n an

,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n .
n ?1

解: (Ⅰ)? a 1 ? 3 a 2 ? 3 a 3 ? … ? 3
2

an ?
2

n 3


n?2


a n ?1 ? n ?1 3

? 当 n ≥ 2 时, a 1 ? 3 a 2 ? 3 a 3 ? … ? 3





①-②得 3

n ?1

an ?

1 3

, an ?

1 3
n



在①中,令 n ? 1 ,得 a 1 ?
? an ? 1 3
n an
2
n

1 3





(Ⅱ)? b n ?

, ? bn ? n 3 .
n

? S n ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? … ? n3 ,
3 n

③ . ④
3(1 ? 3 )
n

? 3S n ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? … ? n3
2 3 4

n ?1

④-③得 2 S n ? n 3
( 2 n ? 1)3 4

n ?1

? (3 ? 3 ? 3 ? … ? 3 ) . 即 2 S n ? n 3
2 3 n

n ?1

?

1? 3



n ?1

? Sn ?

?

3 4



例 18

( 2007 陕 西 · 理 ·22 ) 已 知 各 项 全 不 为 零 的 数 列 { a n } 的 前 k 项 和 为 S k , 且
12

Sk ?

1 2

a k a k ? 1 ( k ? N * ) ,其中 a 1 ? 1 .

(I)求数列 { a n } 的通项公式; (II)对任意给定的正整数 n ( n ≥ 2 ) ,数列 { b n } 满足
b1 ? 1 ,求 b1 ? b 2 ? ? ? b n .
bk ?1 bk ? k ?n a k ?1
2 ? ( k ? 1,, , n ? 1 ) ,

解: (Ⅰ)当 k ? 1 ,由 a 1 ? S 1 ?

1 2

a 1 a 2 及 a 1 ? 1 ,得 a 2 ? 2 . 1 2 a k a k ?1 ? 1 2 a k ? 1 a k ,得 a k ( a k ? 1 ? a k ? 1 ) ? 2 a k .

当 k ≥ 2 时,由 a k ? S k ? S k ? 1 ?

因为 a k ? 0 ,所以 a k ? 1 ? a k ? 1 ? 2 .从而 a 2 m ? 1 ? 1 ? ( m ? 1) ?2 ? 2 m ? 1 .
a 2 m ? 2 ? ( m ? 1) ?2 ? 2 m , m ? N .故 a k ? k ( k ? N ) .
*

*

(Ⅱ)因为 a k ? k ,所以

bk ?1 bk

? ?

n?k a k ?1

? ?

n?k k ?1



所以 b k ?

b b k ? 1 ( n ? k ? 1)( n ? k ? 2 ) ? ( n ? 1) ? k ? 1 ?? ? 2 ?b1 ? ( ? 1) ? ? 1 b k ?1 b k ? 2 b1 k ?( k ? 1) ?? ?2 ? 1 bk
? ( ? 1)
k ?1

1 k ? C n ( k ? 1,, , n ) 2 ? n
n ?1



故 b1 ? b 2 ? b3 ? ? ? b n ?
?

1

? C n ? C n ? C n ? ? ? ( ? 1) n ?
1 2 3

Cn ? ?
n

1

?1 ? ? C ? n

0 n

1 1 2 n n ? C n ? C n ? ? ? ( ? 1) ?C n ? ? ? n

?



7、数列综合问题 数列与函数、不等式、方程等知识的综合问题常以数列知识为主线,涉及数列的单调性、数 列的最大项、数列不等式的证明等。 例 19 (2007 重庆·理·21)已知各项均为正数的数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n 满足 S 1 ? 1 ,且
6 S n ? ( a n ? 1)( a n ? 2 ) , n ? N .

(Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ? b n ? 满足 a n ( 2 b ? 1) ? 1 ,并记 T n 为 ? b n ? 的前 n 项和,求证:
n

13

3T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3), n ? N .

解: 解由 a 1 (I)

? S1 ?

1 6

( a 1 ? 1)( a 1 ? 2 )

, 解得 a 1 ? 1 或 a1 ? 2 , 由假设 a 1 ? S 1 ? 1 , 因此 a1 ? 2 ,
1 6 ( a n ? 1)( a n ? 2 )

又由 a n ? 1 ? S n ? 1 ? S n ?

1 6

( a n ? 1 ? 1)( a n ? 1 ? 2 ) ?



得 ( a n ? 1 ? a n )( a n ? 1 ? a n ? 3) ? 0 , 即 a n ? 1 ? a n ? 3 ? 0 或 a n ? 1 ? ? a n ,因 a n ? 0 ,故 a n ? 1 ? ? a n 不成立,舍去. 因此 a n ? 1 ? a n ? 3 ,从而 ? a n ? 是公差为 3 ,首项为 2 的等差数列,故 ? a n ? 的通项为 a n ? 3 n ? 1 . (II)证:由 a n ( 2
bn

? ? ? 1) ? 1 可解得 b n ? lo g 2 ? 1 ? 1 ? ? lo g 2 ? a2 ?

3n 3n ? 1



从而 T n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? lo g 2 ? ? ?? ?
?2 5

?3 6

? ?. 3n ? 1 ? 3n

因此 3T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3) ? lo g 2 ? ? ?? ?
?2 5

?3 6

2 ? . ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 3n
3n ? 2 ? 3n ? 3 ? (3 n ? 3) ?? ? ? 2 3n ? 5 ? 3n ? 2 ? (3 n ? 5 )(3 n ? 2 )
2 3

3



3n ? 2 ?3 6 f ( n ) ? ? ? ?? ? ? ? 2 5 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?

3

,则

f ( n ? 1) f (n)

?



因 (3 n ? 3) 3 ? (3 n ? 5)(3 n ? 2 ) 2 ? 9 n ? 7 ? 0 ,故 f ( n ? 1) ? f ( n ) . 特别地 f ( n ) ≥
f (1) ? 27 20 ? 1 ,从而 3T n

? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3) ? lo g 2 f ( n ) ? 0



即 3T n ? 1 ? lo g 2 ( a n ? 3) . 例 20 (2007 广东·21)已知函数 f ( x ) ? x ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f ( x ) ? 0 的两个根
2

( ? ? ? ) f ? ( x ) 是 f ( x ) 的导数,设 a 1 ? 1 , a n ? 1 ? a n ? , (1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n ,都有 a n ? ? ;
14

f (an ) f ?( a n )

( n ? 1,, ) 2 ?



(3)记 b n ? ln

an ? ? an ? ?
2

( n ? 1,, ) ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n . 2 ?

解: (1)∵ ∴?
? ?1 ? 2

f ( x) ? x ? x ? 1 ,? , ?
5 ?1 ? 2 5

是方程 f(x)=0 的两个根 (?

? ?)



,? ?


1 an ? an ? 1
2

(2)

f '( x ) ? 2 x ? 1 , a n ? 1 ? a n ?

2an ? 1

? an ?

2

a n ( 2 a n ? 1) ?

5 ( 2 a n ? 1) ? 4 4 2an ? 1

1

5

= ∵ a1 ∴ a2 ,∴有基本不等式可知 a 2
5 ?1 2 ? 0

1 4

( 2 a n ? 1) ?

1 4 ? 2an ? 1 2
?


5 ?1 2

?1

?

5 ?1 2

? 0

(当且仅当 a 1
? 5 ?1 2 ??

时取等号) ,

?

同,样 a 3

?

5 ?1 2

,??, a n
? an ? ? 2an ? 1
2

(n=1,2,??) , ,

(3) a n ? 1 ? ?

? an ? ? ?

( a n ? ? )( a n ? ? ) 2an ? 1

( a n ? 1 ? ? ) ,而 ? ? ? ? ? 1 ,即 ? ? 1 ? ? ?

a n ?1 ? ? ?

(an ? ? ) 2an ? 1

2

,同理 a n ? 1 ? ?
3? 2 5

?

(an ? ? ) 2an ? 1

, bn ?1

? 2 bn

,又 b1

? ln

1? ? 1??

? ln

3? 3?

5 5

? 2 ln

3? 2

5



S n ? 2 ( 2 ? 1) ln
n

a n 23 … 例 21 (2007 全国 I·理·22) 已知数列 ? a n ? 中 a1 ? 2 , n ? 1 ? ( 2 ? 1)( a n ? 2 ) , ? 1,,, .

(Ⅰ)求 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ? b n ? 中 b1 ? 2 , b n ? 1
? 3bn ? 4 2 bn ? 3

23 … , n ? 1,,, ,

23 … 证明: 2 ? b n ≤ a 4 n ? 3 , n ? 1,,, .

解: (Ⅰ)由题设:
a n ? 1 ? ( 2 ? 1)( a n ? 2 ) ? ( 2 ? 1)( a n ?
? ( 2 ? 1)( a n ? 2) ? 2

2 ) ? ( 2 ? 1)( 2 ?

2)



∴ a n ? 1 ? 2 ? ( 2 ? 1)( a n ? 2 ) .
15

所以,数列 ? a n ? 2 ? 是首项为 2 ?
an ? 2 ? 2 ( 2 ? 1)
n

2

,公比为

2 ? 1 的等比数列,


n 2 ? ( 2 ? 1) ? 1 ? ? ?

即 a n 的通项公式为 a n ? (Ⅱ)用数学归纳法证明.

23 … , n ? 1,,, .

(ⅰ)当 n ? 1 时,因 2 ? 2 , b1 ? a 1 ? 2 ,所以 2 ? b1 ≤ a 1 ,结论成立. (ⅱ)假设当 n ? k 时,结论成立,即 2 ? b k ≤ a 4 k ? 3 ,也即 0 ? b k ? 当 n ? k ? 1 时,
bk ?1 ?
1 2 bk ? 3

2 ≤ a4 k ?3 ?

3 .

2 ?

3bk ? 4 2 bk ? 3
? 2 1

?

2 ?

(3 ? 2

2 )bk ? ( 4 ? 3 2 ) 2 bk ? 3

?

(3 ? 2

2 )( b k ? 2 bk ? 3

2)

? 0





2 ?3

? 3?2

2


bk ? ( 2 )

所以

bk ?1 ?

2 ?

( 3 ?

2

2 bk ? 3
2)

2 ) ? ( 3? 2

2

2b k)

( ?

2 )

≤ ( 2 ? 1) ( a 4 k ? 3 ?
4

? a 4 k ?1 ?

2



也就是说,当 n ? k ? 1 时,结论成立. 根据(ⅰ)和(ⅱ)知
23 … 2 ? b n ≤ a 4 n ? 3 , n ? 1,,,


x

例 22 (2007 湖南·理·22)已知 A n ( a n, b n ) ( n ? N * )是曲线 y ? e 上的点, a 1 ? a ,
S n 是数列 { a n } 的前 n 项和,且满足 S n ? 3 n a n ? S n ? 1 , a n ? 0 , n ? 2,,, 3 4 ?.
2 2 2

(I)证明:数列 ?

? bn ? 2 ? ? ( n ≤ 2 )是常数数列; ? bn ?

(II)确定 a 的取值集合 M ,使 a ? M 时,数列 { a n } 是单调递增数列; (III)证明:当 a ? M 时,弦 A n A n ? 1 ( n ? N * )的斜率随 n 单调递增. 解: (I)当 n ≥ 2 时,由已知得 S n ? S n ? 1 ? 3 n a n .
2 2 2

16

因为 a n ? S n ? S n ? 1 ? 0 ,所以 S n ? S n ? 1 ? 3 n .
2

?? ① ??② ?? ③ ?? ④

于是 S n ? 1 ? S n ? 3( n ? 1) .
2

由②-①得 a n ? 1 ? a n ? 6 n ? 3 . 于是 a n ? 2 ? a n ? 1 ? 6 n ? 9 . 由④-③得 a n ? 2 ? a n ? 6 , 所以
bn ? 2 bn ? e
an?2 an

?? ⑤
? bn ? 2 ? ? ( n ≥ 2 ) 是常数数列. ? bn ?

? e

an?2 ? an

e

? e ,即数列 ?
6

(II)由①有 S 2 ? S 1 ? 1 2 ,所以 a 2 ? 1 2 ? 2 a .由③有 a 3 ? a 2 ? 1 5 , a 4 ? a 3 ? 2 1 ,所以
a3 ? 3 ? 2 a , a4 ? 18 ? 2 a .

而⑤表明:数列 { a 2 k } 和 { a 2 k ? 1 } 分别是以 a 2 , a 3 为首项,6 为公差的等差数列, 所以 a 2 k ? a 2 ? 6 ( k ? 1) , a 2 k ? 1 ? a 3 ? 6 ( k ? 1) , a 2 k ? 2 ? a 4 ? 6 ( k ? 1)( k ? N * ) , 数列 { a n } 是单调递增数列 ? a1 ? a 2 且 a 2 k ? a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 2 对任意的 k ? N * 成立.
? a1 ? a 2 且 a 2 ? 6 ( k ? 1) ? a 3 ? 6 ( k ? 1) ? a 4 ? 6 ( k ? 1)
? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a ? 1 2 ? 2 a ? 3 ? 2 a ? 1 8 ? 2 a ?
? ? 9 4 15 ? ?. 4 ? e
a n ?1

9 4

? a ?

15 4



即所求 a 的取值集合是 M ? ? a

? a ?

(III)弦 A n A n ? 1 的斜率为 k n ?
x

bn ?1 ? bn a n ?1 ? a n
x0

?

?e

an

a n ?1 ? a n e ( x ? x0 ) ? (e ? e 0 )
x x x

任取 x 0 ,设函数 f ( x ) ?
x x

e ?e

x ? x0
x0

,则 f ( x ) ?

( x ? x0 )
x x

2

记 g ( x ) ? e ( x ? x 0 ) ? ( e ? e ) ,则 g ? ( x ) ? e ( x ? x 0 ) ? e ? e ? e ( x ? x 0 ) ,
x x

? 当 x ? x 0 时, g ? ( x ) ? 0 , g ( x ) 在 ( x 0, ? ) 上为增函数,
17

当 x ? x 0 时, g ? ( x ) ? 0 , g ( x ) 在 ( ? ? , x 0 ) 上为减函数,
? 所以 x ? x 0 时, g ( x ) ? g ( x 0 ) ? 0 ,从而 f ?`( x ) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 ( ? ? , x 0 ) 和 ( x 0, ? ) 上都是

增函数. 由(II)知, a ? M 时,数列 { a n } 单调递增, 取 x 0 ? a n ,因为 a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ,所以 k n ?
e
a n ?1

?e

an

a n ?1 ? a n e
a n ?1

?

e

an?2

?e

an

an?2 ? an e
an



取 x 0 ? a n ? 2 ,因为 a n ? a n ? 1 ? a n ? 2 ,所以 k n ? 1 ?

?e

an?2

a n ?1 ? a n ? 2

?

?e

an?2

an ? an?2



所以 k n ? k n ? 1 ,即弦 A n A n ? 1 ( n ? N * ) 的斜率随 n 单调递增.

通讯地址:西安市长乐中路 49 号西安昆仑中学 邮编:710043

18



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