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上海高考数学压轴题50道(有答案


2011高考压轴题目选(50题)
3 1.( 函 数 ) 设 f ( x) ? x ? log 2 ( x ?

x 2 ? 1) , 则 对 任 意 实 数 a, b , a ? b ? 0 ” 是 “
条件。

“ f (a) ? f (b) ? 0 ”的

2.( 函 数 ) 设 f ( x,

y ) ? ( 2 x ? 2 y, 2 x ? 2 y ) 为 定 义 在 平 面 上 的 函 数 , 且

A ? {( x, y ) x 2 ? y 2 ? 1, x ? 0, y ? 0} ,令 B ? { f ( x, y ) ( x, y ) ? A} ,则 B 所覆盖的
面积为

3.(函数)老师在黑板上写出了若干个幂函数。他们都至少具备一下三条性质中的一条: (1)是奇函数; (2)在 (??, ?? ) 上是增函数; (3)函数图像经过原点。小明统计了一 下,具有性质(1)的函数共 10 个,具有性质(2)的函数共 6 个,具有性质(3)的函 数共有 15 个,则老师写出的幂函数共有 个。

4.(函数) 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增 函 数 , 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________ .

5.(函数)已知函数 f ( x) ?

3 ? ax (a ? 1). 在区间 ? 0,1? 上是减函数,则实数 a 的 a ?1

取值范围是
1 2 6.(函数) 方程 x + 2x-1=0 的解可视为函数 y=x+ 2的图像与函数 y= 的图像交点的

x

4 4 横坐标,若 x +ax-4=0 的各个实根 x1,x2,?,xk (k≤4)所对应的点(xi , )(i=

xi

1,2,?,k)均在直线 y=x 的同侧,则实数 a 的取值范围是

7.(函数)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚 动。设顶点 p(x,y)的轨迹方程是 y ? f ( x) ,则 f ( x) 的最小正周期为 ; y ? f ( x) 在其两个相邻 。

零点间的图像与 x 轴所围区域的面积为

8.(三角函数) 已知 f ( x) ? sin? ? x ?

? ?

?? ? ?? ? ?? , ? (? ? 0) f ? ? ? f ? ? ,且 f ( x) 在区间 3? ? 6? ? 3?

?? ?? ? , ? 有最小值,无最大值,则 ? =__________ ?6 3?
9.(三角函数)已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

π? π? ? 2 ?x ,x ? R (其 ? ? sin ? ? x ? ? ? 2 cos 6? 6? 2 ?

中? ? 0 ) ,若对任意的 a ?R ,函数 y ? f ( x) , x ? (a,a ? π] 的图像与直线 y ? 1 交 点个数的最大值为 2,则 ? 的取值范围为

10.( 三 角 函 数 ) 已 知 方 程 x2+3

3 x+4=0 的 两 个 实 根 分 别 是 x1 , x2 , 则

a r c t a1n? a r c t a 2n x x =
(n ? 2k ? 1) ? n ? * 11.(数列)设定义在 N 上的函数: f (n) ? ? n ,其中 k ? N ,记 ( n ? 2k ) ? f ( 2) ?
*

an ? f (1) ? f (2)? f (3) f (4)? ? f n ,则 an?1 ? an ? ? ? (2 )

12.(数列)在 m(m≥2)个不同数的排列 P1P2?Pn 中,若 1≤i<j≤m 时 Pi>Pj(即前面 某数大于后面某数) ,则称 Pi 与 Pj 构成一个逆序。一个排列的全部逆序的总数称为该排 列的逆序数。记排列 (n ? 1)n(n ? 1) ?321的逆序数为 an ,则 an =

13.(数列)已知等差数列 {an } 的公差不等于0,且 a2 是 a1 与 a4 的等比中项。数列

a1 , a3 , ak1 , ak2 ,? akn ,? 是等比数列,则 k n ?

a a 14.(数列) 已知数列 {an } 满足: 1 ? 2 , n ?1 ? an ? 2an , n ? 1, 2,? , bn ? 记
2

1 1 , ? an an ? 2

则数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?

15.(数列)在数列 {an } 中, a1 ? 0 ,且对任意 k ? N , a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等差数列,其
*

公差为 2k 。 则数列 {an } 的通项公式 an ?

; bn ? 记

n2 (n ?2 , ) 则对于 n ? 2 , an

b2 ? b3 ? ? ? bn ?
16.(数列)若数列 ?an ? 满足:对任意的 n ? N ,只有有限个正整数 m 使得 am<n 成立,
?
? 记 这 样 的 m 的 个 数 为 ( an ) , 则 得 到 一 个 新 数 列 (an )

?

?

? . 例 如 , 若 数 列 ?a ? 是
n

1, 2,3…,n,… , 则 数 列 ?(an )? ? 是 0,1, 2,…,n ? 1,… . 已 知 对 任 意 的 n ? N? ,
an ? n2 ,则 (a5 )? ?
, ((an ) ) ?
? ?

17.(立体几何) 在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体, 如果任意转动 该正方体,液面的形状都不可能是三角形,则液体体积的取值范围为

18.(立体几何)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,动点 P 在平面 ABCD 内,且到异面直线

AB 、 CC1 的距离相等;动点 Q 在平面 ABB1 A1 内,且到异面直线 AB 、 CC1 的距离相
等,则动点 P、Q 的轨迹分别为

19.(立体几何)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,与直线 AB 、 CC1 、 A1 D1 都相交的直 线的条数为

20.(立体几何)如果一个四面体的三个面是直角三角形,下列三角形: (1)直角三角形; (2)锐角三角形; (3)钝角三角形; (4)等腰三角形; (5)等腰直角三角形。那么可 能成为这个四面体的第四个面是 (填上你认为正确的序号)

21.(立体几何) 如图, 在三棱锥 O ? ABC 中, 三条棱 OA, OB, OC 两两垂直, OA ? OB ? OC , 且 分别经过三条棱 OA, OB, OC 作 一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为 S1 , S2 , S3 ,则

S1 , S 2 , S 3 的大小关系为________________.

22.(排列组合)现安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每 人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会 开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜四项工作,则不同安排方案的种数是

23.(排列组合、概率)在一个给定的正(2n+1)边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点, 任何一种选法的可能性是相等的, 则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部 的概率为

24.(排列组合)以集合 U ? {a, b, c, d } 的子集中选出 4 个不同的子集,需同时满足以下两 个条件: ? 、 都要选出; 对选出的任意两个子集 A 和 B, (1) U (2) 必有 A ? B或B ? A , 那么共有 种不同的选法。

25.(复数)z1 , z 2 是复数, z1 且

? z 2 ? 0 ,A ? z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,B ? z1 ? z1 ? z2 ? z2 , A 、 问

B 能否比较大小?若不能,在下面横线上说明理由;若可以,指明大小关系

26.( 复 数 ) 对 于 复 数 ? , ?

, 记 : (? , ? ) ?

1 2 2 (? ? ? ? ? ? ? ) , 4

? ? , ? ?? (? , ? ) ? i(? , i? ) ,则 ? ? , ? ? 用 ? 、 ? 表示为
S?BOC S S , n ? ?COA , p ? ?AOB . 则 S?ABC S?ABC S?ABC

27.( 向 量 ) 设 O 为 ?ABC 内 一 点 , 记 m ?

??? ? ??? ? ???? mOA ? nOB ? pOC ?

.

28.(向量)设 V 是已知平面 M 上所有向量的集合,对于映射 f : V ? V , a ?V ,记 a 的 象 为 f (a ) 。 若 映 射 f : V ? V 满 足 : 对 所 有 a、b ?V 及 任 意 实 数 ? , ? 都 有 ,则 f (? a? ? b) ? ? f ( a)? ? f ( b) f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题:

①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ?V ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b)

②若 e 是平面 M 上的单位向量,对任意 a ?V , 设f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线 性变换;

③对 a ?V , 设f (a) ? ?a ,则 f 是平面 M 上的线性变换;

④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ?V ,则对任意实数 k 均有 f (ka) ? kf (a) 。

其中的真命题是

(写出所有真命题的编号)

? a11 ? 29.(综合)矩阵 ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? a23 ? 满足: aij ? {1, 2,3,? ,9} ,并且矩阵中的每一行、每一 a33 ? ?

列都是递增的。满足条件的不同矩阵的个数为 30.(综合)动点 A ? x, y ? 在圆 x ? y ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋
2 2

转一周。已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( ,

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵 2 2

坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调递增区间是

? x ? y ? 11 ? 0 ? 31.(综合)设不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?

表示的平面区域为 D,若指数函数 y= a x 的图

像上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是

32.(函数)为研究问题“函数与其反函数的图像的交点是否在直线 y ? x 上”,分以下三步 进行:

(Ⅰ)选取函数: y ? 2 x ? 1, y ? 标:① y ? 2 x ? 1 与其反函数 y ?

2x , y ? ? x ? 1 ,求函数与其反函数图像的交点坐 x ?1 x ?1 2x 的交点坐标为(-1,-1) ;② y ? 与其反函数 2 x ?1

y?

x 的交点坐标为(0,0)(1,1) , ;③ y ? ? x ? 1 与其反函数_______________ 2? x
? 1? 5 1? 5 ? (请完成空格中的内容) ? 2 , 2 ? , ( ?1, 0), (0, ?1) 。 ? ? ?

的交点坐标为 ?

(Ⅱ)某同学根据上述结果猜想以下两个结论:

(1)函数与其反函数图像的交点关于直线 y = x 对称出现;

(2)函数与其反函数的图像必有交点在直线 y=x 上。

判断这两个结论是否正确?若正确,请证明;若不正确,说明理由。

(Ⅲ) 若函数 y ? f ( x) 在其定义域内单调递增, 则与其反函数的交点是否一定在直线 y ? x 上, 并说明理由。 如果单调递增改为单调递减, 函数与其反函数的交点是否一定在直线 y ? x

上呢?(假定函数与反函数一定有交点)

33.( 函 数 ) 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 反 函 数 。 定 义 : 若 对 给 定 的 实 数 a(a ? 0) , 函 数 ;若函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f ?1 ( x ? a) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 和性质” 。 y ? f (ax) 与 y ? f ?1 (ax) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 积性质”

(1) 判断函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 是否满足“1 和性质” ,并说明理由;
2

(2) 求所有满足“2 和性质”的一次函数;

(3) 设函数 y ? f ( x)( x ? 0) 对任何 a ? 0 ,满足“ a 积性质” 。求 y ? f ( x) 的表达式。

34.( 函 数 ) 记 函 数

f1 ( x) ? 3

x ? p1

, f 2 ( x) ? 2 ? 3

x ? p2

, x?R

, 定 义 函 数

? f ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ? ,设 a, b 为两实数,且 p1 , p2 ? ? a , b ? 为给定的常 f ? x? ? ? 1 ? f 2 ? x ? , f1 ? x ? ? f 2 ? x ? ?
数,若 f ? a ? ? f

? b ? 求证: f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的单调增区间的长度和为

b?a (闭区 2

间 ? m, n ? 的长度定义为 n ? m ) . 35.(数列)设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意的正整数 n ,都有 an ? 5Sn ? 1 成立,记

bn ?

4 ? an * (n ? N * ) 。 (1)记 cn ? b2 n ? b2 n ?1 (n ? N ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 1 ? an

求证:对任意正整数 n 都有 Tn ?

3 ; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn 。已知正实数 ? 2

满足:对任意正整数 n, Rn ? ? n 恒成立,求 ? 的最小值。

36.(数列)下表给出一个“等差数阵” :

4

7

?

a1 j

?

7 ?

12 ?

? ? ? ?

a2 j
?

? ? ? ?

a i1
?

ai 2
?

a ij
?

其中每行、每列都是等差数列, a ij 表示位于第 i 行第 j 列的数。

求证:正整数 N 在该“等差数阵”中的充要条件是: 2N ? 1 能够分解成两个不是

1 的正整数的乘积。

37.( 数 列 ) 已 知 a1 ? 0, b1 ? 0 , 且 对 任 意 的 正 整 数 n , 当

an ? bn ?0 时, 2

an?1 ? an , bn?1 ?

an ? bn a ? bn a ?b ;当 n ? 0 时, an?1 ? n n , bn?1 ? bn 。 2 2 2

(1) 求证:数列 {bn ? an } 为等比数列;

(2) 若 a1 ? ?1, b1 ? 2 求 n 的值;

2011

,设 n(n ? 2) 是满足 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn 的最大整数,

(3) 若 a1 ? ?1, b1 ? 2 ,求证:对一切正整数 n , a2 n ? ?2b2 n ;

(4) 是否存在 a1 , b1 ,使得数列 {an } 为常数数列?

38.(综合)骰子最多掷 5 次,根据掷出的结果给一个相应的点数,具体的游戏规则如下: 掷出骰子若出现 5 或 6,则称发生了事件 A。在掷骰子的过程中首次出现事件 A,则计 点数为 1,然后继续游戏。若再次出现事件 A,则得到点数 2,加上前面得到的 1 点, 合计点数为 3,此时游戏结束。如果 5 次中,只有一次发生了事件 A,那么得 1 点,游 戏也随之结束;如果 5 次中,没有一次发生事件 A,则在原来拥有的点数上减去 m 点

(m 是事先定好的) 。小 D 按上面规则玩这个游戏,假设小 D 最初具有点数 a(设 a、 m 为正整数, a ? m ) 。这个游戏结束时,小 D 具有的点数为概率变量 X,求使得概率 变量 X 的数学期望 E(X)>a 的最大的正整数 m。

39.(综合)已知集合 Sn ? { X | X ? ( x1 , x2 , …,xn ), x1 ?{0,1}, i ? 1, 2, …, n}(n ? 2) 对于

A ? (a1 , a2 ,…an , ) , B ? (b1 , b2 ,…bn , ) ? Sn , 定 义

A



B
n

的 差 为

A ? B ? (| a1 ? b1 |,| a2 ? b2 |, … | an ? b n |); A 与 B 之间的距离为 d ( A, B ) ? ? ai ? bi
i ?1

(Ⅰ)证明: ?A, B, C ? Sn , 有A ? B ? Sn ,且 d ( A ? C, B ? C ) ? d ( A, B) ;

(Ⅱ)证明: ?A, B, C ? Sn , d ( A, B), d ( A, C ), d ( B, C ) 三个数中至少有一个是偶数

(Ⅲ) 设 P ? S n ,P 中有 m(m≥2)个元素,记 P 中所有两元素间距离的平均值为 d ( P ) 。 证明: d ( P ) ≤

mn 2(m ? 1)

40.(综合)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试,一种通常采用的测试方法如下:拿出 n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝,要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间, 等其记忆淡忘之后,再让其品尝这 n 瓶酒,并重新按品质优劣为它们排序,这称为一轮 测试。根据一轮 测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。现设 n ? 4 ,分别以

a1 , a2 , a3 , a4 表示第一次排序时被排为 1,2,3,4 的四种酒在第二次排序时的序号,并令:
X ? 1 ? a1 ? 2 ? a2 ? 3 ? a3 ? 4 ? a4 ,则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述。

(Ⅰ)写出 X 的可能值集合;

(Ⅱ)假设 a1 , a2 , a3 , a4 等可能地为 1,2,3,4 的各种排列,求 X 的分布列;

(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中,都有 X ? 2 ,

(i)试按(Ⅱ)中的结果,计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立) ;

(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由。


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