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东北三省四市教研联合体2015届高三第一次模拟考试(数学文)扫描版


2015 年数学科第一次模拟试题答案(文科)
1 C 2 A 3 D 4 A 5 B 6 D 7 B 8 C 9 B 10 D 11 C 12 D

13、

1 2

14、 ? 3

15、 ? 1

16、

5 2

>3 ? ? ? ,? ? A ? ? ? 4 4 4 ? 2? 5? ?, A ? ? ,? A ? ……………………2 分 4 3 12
17.(1)解:? 0 ? A ?

?C ?
(2)

?

3

……………………4 分

? sin B ?

2 3 , sin C ? 2 2

?b : c ? 2 : 3 ……………………6 分
?b ? c ? 2 ? 3,?b ? 2, c ? 3 ……………………8 分
sin A ? sin(B ? C ) ? 6? 2 ……………………10 分 4

? S ?ABC ?

1 1 6 ? 2 3? 3 ……………………12 分 bc sin A ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 4 4

18.答案:⑴因为网购金额在 2000 元以上的频率为 0 .4 , 所以网购金额在 2000 元以上的人数为 100 ? 0.4 =40 所以 30 ? y ? 40 , 所以 y ? 10 ,……………………1 分

频率 组距
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (千元)

x ? 15 ,……………………2 分
所以 p ? 0.15, q ? 0.1 ……………………4 分 所以频率分布直方图如右图……………………5 分 ⑵由题设列联表如下

网龄 3 年以上 购物金额在 2000 元以上 购物金额在 2000 元以下 合计
2

网龄不足 3 年 5 20 25

合 计 40 60 100

35 40 75

……………………7 分

n( ad ? bc) 2 100(35 ? 20 ? 40 ? 5) 2 ? 5.56 ……………………9 分 = K ? 75 ? 25 ? 40 ? 60 ( a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
因为 5.56 ? 5.024 ……………………10 分 所以据此列联表判断,有 97 .5 %的把握认为网购金额超过 2000 元与网龄在三年以上有关. ……………………12 分 19.证明: (1)取 AD 中点 O ,连结 PO, BO . 侧面 PAD 为等边三角形,底面 ABCD 为菱形且 ?DAB ?

?
3

? PO ? AD, BO ? AD ……………………2 分

PO ? BO ? O,? AD ? 面POB ……………………4 分
? PB ? AD ……………………5 分
(2)侧面 PAD ? 底面 ABCD ,侧面 PAD ? 底面 ABCD = AD ,

? PO ? 面ABCD , ? PO ? AD
? PO ? 面ABCD ……………………7 分
? AB ? AD ? 2

? PO ? 3, S ABCD ? 2 3 ……………………9 分
?VP ? ABCD ? 1 1 PO ? S ABCD ? ? 3 ? 2 3 ? 2 3 3 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2. ……………………12 分
20.解: (1)设抛物线的方程是 x ? 2 py( p ? 0) , A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,
2

由抛物线定义可知 y A ? y B ? p ? 8 ……………………2 分 又 AB 中点到 x 轴的距离为 3,∴
2

y A ? y B ? 6 ,∴p=2,

所以抛物线的标准方程是 x ? 4 y .……………………4 分
2 (2)设 P(x1 , y1 ), x1 ? 0, Q( x 2 , y 2 ) ,则 x ? 4 y 在 P 处的切线方程是 y ?

x1 x ? y1 ,直 2

线 PQ : y ? ?

2 8 x ? 2 ? y1 代入 x 2 ? 4 y 得 x 2 ? x ? 4(2 ? y1 ) ? 0 , x1 x1

…………………6 分

x1 ? x2 ? ?

8 8 4 , x1 x2 ? ?8 ? 4 y1 ,所以 x2 ? ? ? x1 , y 2 ? ? y1 ? 4 x1 x1 y1

……………………8 分

x2 ? ?

8 4 ? x1 , y 2 ? ? y1 ? 4 ……………………8 分 x1 y1
2

而 FP ? FQ ? ? y1 ? 2 y1 ?

4 ? 7 ? 0 ……………………10 分 y1

3 2 y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) ,得 ( y1 ? 1) 2 ( y1 ? 4) ? 0 ,所以 y1 ? 4 ,

存在点 P(?4,4) .……………………12 分 (说明:没求出 y1 ,但说明关于 y1 的方程 y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) 有解,也给分。
3 2

例如令 f ( y1 ) ? y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 , f (1) ? 0, f (5) ? 0 ,
3 2

所以 y1 ? 2 y1 ? 7 y1 ? 4 ? 0 ( y1 ? 0) 有解)
3 2

21 解: (1) f ' ( x) ?

a(1 ? x) ( x ? 0) , ……………………2 分 x
[来源:gkstk.C

om][来源:gkstk.Com]

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ? 0,1? ,单调减区间为 ?1, ?? ? ;……………………3 分 当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ?1, ?? ? ,单调减区间为 ? 0,1? ; ……………………4 分
[来

(2)令 F ( x) ? a ln x ? ax ? 3 ? ax ? x ? 4 ? e ? a ln x ? x ? 1 ? e

F ' ( x) ?

x?a ?0 x

2 若 ? a ? e , a ? ? e , F ( x) x ? e, e

? ? 是增函数,
无解. ……………………5

e ?1 ? e2 F ( x) m a x? F (e ) ? 2a ? e ? e ? 1 ? 0, a ? 2
2 2


2 若 e ? ?a ? e , ? e ? a ? ?e , F ( x) , x ? ?e,?a? 是 减 函 数 ; x ? ? a, e , 是 增 函

2

2

?

?

数 ,

F (e) ? a ? 1 ? 0, a ? ?1 . F (e 2 ) ? 2a ? e 2 ? e ? 1 ? 0, a ?
? ?e 2 ? a ?
2

e ?1 ? e2 2

e ?1 ? e2 ……………………6 分 2
2

若 ? a ? e , a ? ?e , F ( x) x ? e, e 2

? ? 是减函数,

F ( x) max ? F (e) ? a ? 1 ? 0, a ? ?1,? a ? ?e 2 ……………7 分
综上所述 a ?

e ?1 ? e2 ……………………8 分 2

(3)令 a ? ?1 (或 a ? 1 )此时 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 ,所以 f (1) ? ?2 , 由 ( Ⅰ ) 知 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 在 (1,??) 上 单 调 递 增 , ∴ 当 x ? (1,??) 时

f ( x) ? f (1) , 即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 , ∴ ln x ? x ? 1 对 一 切 x ? (1,??) 成
立,……………………9 分 ∵ n ? 2, n ? N* ,则有 ln( ……………………10 分 要证 ln(2 ? 1) ? ln(3 ? 1) ? ln(4 ? 1) ?
2 2 2

1 1 1 1 1 ? 1) ? 2 ? ? ? , 2 n n (n ? 1)n n ? 1 n

? ln(n2 ? 1) ? 1 ? 2ln n!(n ? 2, n ? N ? )
? ln( 1 ? 1) ? 1(n ? 2, n ? N ? ) 2 n

只需证 ln(

1 1 1 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? 2 2 3 4

……………………11 分

1 1 1 1 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ? ln( 2 ? 1) 2 2 3 4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1? ? 1 2 2 3 3 4 n ?1 n n ln(
所以原不等式成立……………………12 分 22.⑴因为 BE 是⊙ O 的切线,所以 ?EBD ? ?BAD ……………………2 分 又因为 ?CBD ? ?CAD, ?BAD ? ?CAD ……………………4 分 所以 ?EBD ? ?CBD ,即 BD 平分 ?EBC .……………………5 分 ⑵由⑴可知 ?EBD ? ?BAD ,且 ?BED ? ?BED

BE BD ? ,……………………7 分 AE AB 又因为 ?BCD ? ?BAE ? ?DBE ? ?DBC ,所以 ?BCD ? ?DBC
?BDE ∽ ?ABE ,所以

BD ? CD ……………………8 分 BE BD CD ? ? 所以 ,……………………9 分 AE AB AB 所以 AE ? DC ? AB ? BE ……………………10 分
23.解: (1)圆锥曲线 C 的参数方程为

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , ? ? y ? 3 sin ?

所以普通方程为 C :

x2 y2 ? ? 1 ……………………2 分 4 3

A(0,? 3), F2 (1,0), F1 (?1,0) ? k ? 3, l : y ? 3( x ? 1) ……………………3 分
? 直线 l 极坐标方程为: ? sin ? ? 3? cos ? ? 3 ? 2 ? sin(? ?
……………………5 分

?
3

)? 3

t ? x ? ?1 ? ? 2 ? (2)直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ,……………………7 分 3 t ?y ? ? 2 ?
代入椭圆方程得 5t 2 ? 4t ? 12 ? 0 ……………………8 分

12 ……………………9 分 5 12 ?| F1 M || F1 N |? ……………………10 分 5 ? t1 t 2 ? ?

?? 3 x ? 2, x ? ?2 ? 24.解: f ( x ) ? ?? x ? 6,?2 ? x ? 2 ,……………………2 分 ?3 x ? 2, x ? 2 ?
(1) a ? 3 , f ( x) ? g ( x) ? ?

?? 3x ? 2 ? 3 ? x ?? x ? 6 ? 3 ? x ?3x ? 2 ? 3 ? x 或? 或? ?? 2 ? x ? 2 ? x ? ?2 ?x ? 2

3 5 或x ? ,……………………4 分 2 2 3 5 不等式的解集为 ( ?? , ] ? [ ,?? ) ……………………5 分 2 2 ? x ? ?2或 - 2 ? x ?
(2)图象……………………8 分 所以 a ? 2 ……………………10 分

y

4

0 2

x


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