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从一道高考题说起


2000 年第 11 期           中学数学月刊                39  

从 一道 高考 题说 起
学生   刘亮环   指导老师   姚湄玲   ( 广州市十六中   510030)    1993 年全国普通高考数学卷 中有这样 一道题: 同室四人各写一张贺年卡, 先集中起来 , 然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡 , 则 四张贺年卡不同的分配方法有: (A ) 6 种 (B ) 9 种 (C ) 11 种 (D ) 23 种 这道题用穷举法不难得出答案 B. 现在要问: 当人数增大到难于用穷举法 时, 能否用其它方法解答呢? 答案是肯定的. 我们先将这类问题一般化: 问题: 将 a 1, a 2, a 3, … , a n , 共 n 个元素排 成一行, 要求元素 a i 不在第 i ( i ∈ N 且 1 ≤ i ≤ n ) 位上 , 问共有多少种排法? 解法 1  设这样 的排法 共有 f ( n ) 种, 则: ( 1) 显然 f ( 1) = 0; (2) 当 n ≥ 2 时 , 先将这 n 个元素任意排 成一行 , 共有 P n n 种排法, 再减去以下不合题 意的排法: 1) 恰有 1 个元素的位置不合题意, 从 n 个元素中任取一个元素 a k 排在第 k 位上 , 有 C1 1 个元素按原题条 n 种取法; 再将其余 n 件排列 ( 即这 n - 1 个元素中任一个元素 a i 不在第 i 位上 ) , 依题设有 f ( n - 1) 种排法, 故这种情况有 C 1 nf ( n 1) 种 . 2) 恰有 2 个元素 的位置 不合 题意 . 同 2 1) , 可知有 C nf ( n - 2) 种. …… n - 1 ) 恰有 n - 1 个元素的位置不合题 意, 有 C n ) 恰有 n 个元素的位置不合题意, 显然 有1种 . ∴n ≥ 2 时 , f (n ) = P n n C -n 1f ( n - 1 ) C2 n f (n 2) 1 …C nn f ( 1) - 1. n- 1 n

解法 2   设 A i 表示这样的集合: 将 a 1, a 2, a 3, …, a n 这 n 个元素排成一行, 并且元素
a i 排在第 i 位上的所有排列 . ?A i ? 表示集合 A i 的元素个数 . A i1 ∩ A i2 ∩ A i3 ∩ … ∩ ∑ ?
n

A ik ? 表示从 A 1~ A

中任取 k 个集合相交得

到的所有交集的元素个数总和 . 如 ∑ ?A i1 ∩ A i2 ? = ? A 1 ∩ A 2 ?+ ? A 1 + A 3 ?+ … + ? A1 ∩ A n ? + ?A 2 ∩ A 3 ? + ?A 2 ∩ A 4 ? + … + ? A 2 ∩A n ?+ ? A 3 ∩ A 4 ?+ … + … + ? A n∩ A n ?, 则有:
1 n- 1 ∑ ?A i1 ? = CnP n- 1 , 2 n- 2 ∑ ?A i1 ∩ A i2? = C nP n- 2, …… 1

∑ ?A i1 ∩ A i2 ∩ A i3 ∩ … ∩ A i (n1 1 C nn P1 ,

1)

?=

∑ ?A i1 ∩A i2 ∩ A i3 ∩ … ∩ A in? = 1 =
C P ( 为方便约定 P 0 0 = 1). 则依容斥定理 , 所求的排列方法种数为:
f ( n) = P n - ? A 1 ∪A 2 ∪ A 3 ∪ … ∪A n ?
n n n 0 0

= Pn n -

( ∑ ?A i1? -

A i1 ∩ A i2? + ∑ ?

k+ 1 ∑ ?A i1 ∩ A i2 ∩ A i3? - … + ( - 1)

∑ ?A i1 ∩ A i2 ∩ A i3 ∩ … ∩ A ik ? + … +
(- 1) n ∑ ?A i1 ∩ A i2 ∩ A i3 ∩ … ∩ A i (n - 1) ? + (- 1) n+ 1 ? A i1 ∩ A i2 ∩ A i3 ∩ … ∩ A in ?)
n= Pn C1 n nP n 1 1 n+ C2 n P n2 2 n- C3 n P n3 3

+ …+

f ( 1) 种.

(- 1) P

k

n- k n- k n

… + (- 1)

n- 1

C

n- 1 n

P + (- 1) n ?

1 1

0 i ( - 1 ) iC in P nCn n P0 = n- i . ∑ i= 0

上面两种方法最后结果的形式不同 , 但 实质却是一样的 . 显然当 n 较大时 , 解法 1 要 比穷举法好, 而解法 2 又要比解法 1 好. 容易 算出 f (4) = 9, f (5) = 44, f (6) = 265. 上面的解告诉我们, 解法 1 所得的递推 式可化为解法 2 的通项式, 这是题外话了 .

综上得排法总数的递推式为: f ( n ) = 0,    (n = 1) Pn n C1 nf ( n 1) - C 2 nf ( n 2)   … - C
nn 1

f ( 1) - 1.   ( n ≥ 2)



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