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【创新设计】2015-2016学年高中数学 1.3算法案例课时作业 新人教A版必修3


§1.3

算法案例

课时目标 通过三种算法案例:辗转相除法与更相减损术,秦九韶算法,进位制,进 一步体会算法的思想,提高算法设计水平,体会中国古代数学对世界的贡献.

1.辗转相除法 (1)辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效 的算法. (2)辗转相除法的算法步骤 第一步,给定两个

正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m、n 的最大公约数等于 m;否则,返回第二步. 2.更相减损术 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用 2 约简;若不是,执 行第二步. 第二步, 以较大的数减去较小的数, 接着把所得的差与较小的数比较, 并以大数减小数, 继续这个操作, 直到所得的数相等为止, 则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就 是所求的最大公约数. 3.秦九韶算法 n n-1 把一个 n 次多项式 f(x)=anx +an-1x +?+a1x+a0 改写成如下形式: (?((anx+an-1)x+an-2)x+?+a1)x+a0, 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v1=anx+an-1,然后由内 向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ? vn=vn-1x+a0 这样,求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值. 4.进位制 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统,“满 k 进一”就是 k 进制,k 进 制的基数是 k. 把十进制转化为 k 进制数时,通常用除 k 取余法.

一、选择题 1.下列说法中正确的个数为( ) (1)辗转相除法也叫欧几里得算法; (2)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数; (3)求最大公约数的方法,除辗转相除法之外,没有其他方法; (4)编写辗转相除法的程序时,要用到循环语句. A.1 B.2 C.3 D.4

1

答案 C 解析 (1)、(2)、(4)正确,(3)错误. 2.用更相减损术求 294 和 84 的最大公约数时,需做减法的次数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 C 解析 由于 294 和 84 都是偶数, 所以用 2 约简: 294÷2=147, 84÷2=42, 又由于 147 不是偶数, 所以 147-42=105, 105-42=63, 63-42=21, 42-21=21, 故需做 4 次减法,故选 C. 3.1 037 和 425 的最大公约数是( ) A.51 B.17 C.9 D.3 答案 B 解析 ∵1 037=425×2+187, 425=187×2+51, 187=51×3+34, 51=34×1+17, 34=17×2, 即 1 037 和 425 的最大公约数是 17. 6 5 4 3 2 4. 用秦九韶算法计算多项式 f(x)=6x +5x +4x +3x +2x +x+7 在 x=0.4 时的值时, 需做加法和乘法的次数的和为( ) A.10 B.9 C.12 D.8 答案 C 解析 f(x)=(((((6x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x+7 ∴加法 6 次,乘法 6 次, ∴6+6=12(次),故选 C. 5 3 2 5. 已知 f(x)=x +2x +3x +x+1, 应用秦九韶算法计算 x=3 时的值时, v3 的值为( ) A.27 B.11 C.109 D.36 答案 D 解析 将函数式化成如下形式. f(x)=(((x+0)x+2)x+3)x+1)x+1 由内向外依次计算: v0=1, v1=1×3+0=3, v2=3×3+2=11, v3=11×3+3=36, v4=36×3+1=109, v5=109×3+1=328. 6.下列有可能是 4 进制数的是( )

2

A.5 123 B.6 542 C.3 103 D.4 312 答案 C 解析 4 进制数每位上的数字一定小于 4,故选 C. 二、填空题 7.辗转相除法程序中有一空请填上. INPUT “a,b=”;a,b DO r= a=b b=r LOOP UNTIL r=0 PRINT a END 答案 a MOD b 解析 MOD 用来表示 a 除以 b 的余数. 8.更相减损术程序中有两空请填上. INPUT a,b WHILE a<>b r=a-b IF b>r THEN

ELSE a=r END IF WEND PRINT b END 答案 a=b b=r 9.已知三个数 12(16),25(7),33(4),将它们按由小到大的顺序排列为________. 答案 33(4)<12(16)<25(7) 解析 将三个数都化为十进制数. 12(16)=1×16+2=18, 25(7)=2×7+5=19, 33(4)=3×4+3=15, ∴33(4)<12(16)<25(7). 三、解答题 10.用两种方法求 210 与 98 的最大公约数. 解 用辗转相除法: 210=98×2+14, 98=14×7. ∴210 与 98 的最大公约数为 14. 用更相减损术: ∵210 与 98 都是偶数,用 2 约简得 105 和 49,

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105-49=56,56-49=7, 49-7=42,42-7=35, 35-7=28,28-7=21, 21-7=14,14-7=7. ∴210 与 98 的最大公约数为 2×7=14. 6 5 4 3 2 11.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=x -12x +60x -160x +240x -192x+64 当 x=2 时的值. 解 将 f(x)改写为 f(x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64 由内向外依次计算一次多项式当 x=2 时的值 v0=1, v1=1×2-12=-10, v2=-10×2+60=40, v3=40×2-160=-80, v4=-80×2+240=80, v5=80×2-192=-32, v6=-32×2+64=0. ∴f(2)=0,即 x=2 时,原多项式的值为 0. 能力提升 12.把 111 化为五进制数. 解

∴111 化为五进制数为 421(5). 13.把 10 231(5)化为四进制数. 解 先化成十进制数. 4 3 2 1 10 231(5)=1×5 +0×5 +2×5 +3×5 +1 =625+50+15+1 =691 再化为四进制数

∴10 231(5)=22 303(4).

1.辗转相除法与更相减损术的区别和联系 (1)都是求最大公约数的方法. (2)二者的实质都是递归的过程. (3)二者都要用循环结构来实现.
4

2.秦九韶算法的特点 秦九韶算法的特点在于把求一个 n 次多项式的值转化为求 n 个一次多项式的值, 即把求 n n-1 f ( x ) = a x + a x +?+ a x + a 的值转化为求递推公式: n n - 1 1 0 ? ?v0=an
? ? vk=vk-1x+an-k?kn = 1,2,?, n? ? 这样可以最多计算 次乘法和 n 次加法即可得多项式的值, 和直接代入多项式相比减少

了乘法的运算次数,提高了运算效率. 3.十进制与其他进制的转化 (1)将 k 进制转化为十进制的方法:先把 k 进制数写成各位上的数字与 k 的幂的乘积的 形 式,再按十进制的运算规则计算. (2)将十进制化成 k 进制的方法:用除 k 取余法,用 k 连续去除十进制数所得的商,直 到商为零为止,然后将各步所得的余数倒序写出,即为相应的 k 进制数.

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