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04--第四章 三角函数


十年高考分类解析与应试策略数学 第四章 三角函数

●考点阐释 近几年高考降低了对三角变换的考查要求,而加强了对三角函数的图象与性质的考查, 因为函数的性质是研究函数的一个重要内容, 是学习高等数学和应用技术学科的基础, 又是 解决生产实际问题的工具,因此三角函数的性质是本章复习的重点.在复习时要充分运用数 形结合的思想,把图象与性质结合起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,或由单位圆 上线段表示的三角函数值来获得函数的性质,同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图 象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法. 三角函数线是三角函数的一种几何表示,是用规定了方向的线段来表示三角函数的值. 每种三角函数的定义及其相应的函数线之间的对应都是: “数”与“形”的对应,前者是代 数形式,后者是几何形式,代数形式便于计算,几何形式形象直观. 同角三角函数的基本关系和诱导公式也是高考重点考查的内容, 因为在已知三角函数值 求角,求任意角的三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式等问题,都要用到这些知 识,它们的应用非常广泛,所以也是本章复习的重点.在复习时要注意掌握任意角的三角函 数定义,因为三角函数的定义域,三角函数的值域,三角函数值的符号,同角三角函数的基 本关系式都是根据三角函数的定义推导得出的, 诱导公式的导出也直接或间接地应用了三角 函数的定义, 因此正确理解和运用任意角的三角函数定义是复习好同角三角函数的基本关系 式和诱导公式的关键. 众多的三角变换公式是解决三角学中一系列典型问题的工具, 也是深入研究三角函数的 图象与性质的重要工具. 掌握三角函数的奇偶性和单调性,能利用它们解决问题. 反三角函数的内容是三角函数及其性质的运用和延伸,它们和三角函数是紧密相联的, 经常转化为与三角函数有关问题来进行研究. 重点掌握: (1)熟练掌握函数 y=Asin(ω x+ ? ) (A>0,ω >0)的图象及其性质,以及图象的五点 作图法、平移和对称变换作图的方法. (2)利用单位圆、函数的单调性或图象解决与三角函数有关的不等式问题. (3)各类三角公式的功能:变名、变角、变更运算形式;注意公式的双向功能及变形 应用;用辅助角的方法变形三角函数式. ●试题类编 一、选择题 1.(2003 京春文,2)设 M 和 m 分别表示函数 y= 等于( A. )

1 cosx-1 的最大值和最小值,则 M+m 3

2 3

B.-

2 3

C.-

4 3

D.-2

2.(2003 京春,文 6,理 5)若 A、B、C 是△ABC 的三个内角,且 A<B<C(C≠

? 2

) ,

则下列结论中正确的是( A.sinA<sinC C.tanA<tanC

) B.cotA<cotC D.cosA<cosC

3.(2003 上海春,15)把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移 下平移 1 个单位,得到的曲线方程是( A.(1-y)sinx+2y-3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0

? 2

个单位,再沿 y 轴向

) B.(y-1)sinx+2y-3=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0

4.(2003 上海春,16)关于函数 f(x)=sin2x-( 确结论的个数为( )

2 |x| 1 ) + ,有下面四个结论,其中正 2 3

①f(x)是奇函数 ②当 x>2003 时,f(x)>

3 1 恒成立 ③f(x)的最大值是 ④f(x) 2 2

的最小值是-

1 2
) )

A.1 B.2 C.3 D.4 5. 2002 春北京、 ( 安徽, 若角α 满足条件 sin2α <0, 5) cosα -sinα <0, 则α 在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6. 2002 上海春, 在△ABC 中, 2cosBsinA=sinC, ( 14) 若 则△ABC 的形状一定是 ( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 sinx 7.(2002 京皖春文,9)函数 y=2 的单调增区间是( ) A.[2kπ -

? 2
? 2

,2kπ +

? 2

] (k∈Z)

B.[2kπ +

,2kπ +

3? ] (k∈Z) 2

C.[2kπ -π ,2kπ ] (k∈Z) D.[2kπ ,2kπ +π ] (k∈Z) 8.(2002 全国文 5,理 4)在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( A.(



? ? , 4 2

)∪(π ,

5? ) 4

B.(

? ,π ) 4 ? 5? , 4 4


C.(

D.(

? 5? ,π )∪( 4 4



3? ) 2

9.(2002 北京,11)已知 f(x)是定义在(0,3)上的函数,f(x)的图象如图 4—1 所示,那么不等式 f(x)cosx<0 的解集是( ) A.(0,1)∪(2,3) B.(1,

? 2

)∪(

? 2

,3)

C.(0,1)∪(

? 2

,3)

图 4—1

D.(0,1)∪(1,3) 10.(2002 北京理,3)下列四个函数中,以π 为最小正周期,且在区间( 为减函数的是( A.y=cos2x C.y=( ) B.y=2|sinx| D.y=-cotx )

? 2

,π )上

1 cosx ) 3

11.(2002 上海,15)函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]的大致图象是(

12.(2002 北京文,8)若

cot ? =1,则 cos2θ 的值为( 2 cos? ? 1
C.



A.

3 5

B.-

3 5

2 5 5

D.-

2 5 5


13.(2002 北京理,8)若

cos 2? cot ? =1,则 的值为( 2 cos? ? 1 1 ? sin 2?
C.-2 D.-

A.3

B.-3

1 2


14.(2002 河南,1)函数 f(x)=

sin 2 x 的最小正周期是( cos x

A.

? 2

B.π

C.2π

D.4π

15.(2001 春季北京、 安徽,8) A、 是锐角△ABC 的两个内角, 若 B 则点 P (cosB-sinA, sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 16.(2001 全国理,1)若 sinθ cosθ >0,则θ 在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限 17.(2001 全国文,1)tan300°+cot405°的值是( ) A.1+

3

B.1-

3

C.-1-

3

D.-1+

3


18.(2001 全国,8)若 0<α <β <

? ,sinα 4

+cosα =a,sinβ +cosβ =b,则(

A.a<b B.a>b C.ab<1 D.ab>2 19.(2001 全国理,6)函数 y=cosx+1(-π ≤x≤0)的反函数是( ) A.y=-arccos(x-1) (0≤x≤2) B.y=π -arccos(x-1) (0≤x≤2) C.y=arccos(x-1) (0≤x≤2) D.y=π +arccos(x-1) (0≤x≤2) 20.(2001 天津理,1)函数 y=3sin( A.4π ,3 B.4π ,-3

x ? ? )的周期、振幅依次是( 2 3
C.π ,3



D.π ,-3 )

21.(2000 京、皖春理,10)函数 y=

1 的最大值是( 2 ? sin x ? cos x
C.1-

A.

2 -1 2

B.

2 +1 2

2 2

D.-1- ) D.1 )

2 2

22.(2000 京、皖文,10)函数 y=sinx+cosx+2 的最小值是( A.2-

2

B.2+

2

C.0

23.(2000 全国,4)已知 sinα >sinβ ,那么下列命题成立的是( A.若α 、β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B.若α 、β 是第二象限角,则 tanα >tanβ C.若α 、β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若α 、β 是第四象限角,则 tanα >tanβ 24.(2000 全国,5)函数 y=-xcosx 的部分图象是( )

25.(2000 上海文,13)函数 y=sin(x+

? ? ? ) (x∈[- , 2 2 2

] )是(



A.增函数 B.减函数 C.偶函数 D.奇函数 26.(2000 春季北京、安徽,12)设α ,β 是一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不 等式中不正确的是( ) ... A.tanα ?tanβ <1 C.cosα +cosβ >1 B.sinα +sinβ <

2

D.

1 tan ( α + β ) 2

<tan

???
2

27.(2000 全国理,12)如图 4—2,OA 是圆锥底面中心 O 到母线的 垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分,则母线 与轴的夹角为( ) A.arccos

图 4—2

3

1 2
1 2

B.arccos

1 2

C.arccos

D.arccos

1 4 2


28.(2000 上海理,16)下列命题中正确的命题是(

A.若点 P(a,2a) (a≠0)为角α 终边上一点,则 sinα =

2 5 5

B.同时满足 sinα =

1 3 ,cosα = 的角α 有且只有一个 2 2

C.当|a|<1 时,tan(arcsina)的值恒正 D.方程 tan(x+

? 3

)=

3 的解集为{x|x=kπ ,k∈Z}

29.(1999 全国,4)函数 f(x)=Msin(ω x+ ? ) >0) (ω ,在区间[a,b]上是增函 数,且 f(a)=-M,f(b)=M,则函数 g(x)=Mcos(ω x+ ? )在[a,b]上( ) A.是增函数 C.可以取得最大值- B.是减函数 D.可以取得最小值-m

30.(1999 全国,11)若 sinα >tanα >cotα (-

? <α 2



? ) ,则α 2

∈(



A.(-

? ? ,- ) 2 4 ? ) 4

B.(-

? ,0) 4

C.(0,

D.(

? ? , ) 4 2

31.(1999 全国文、理,5)若 f(x)sinx 是周期为π 的奇函数,则 f(x)可以是( A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 32.(1998 全国文、理,1)sin600°的值是( ) A.



1 2

B.-

1 2

C.

3 2

D.-

3 2

33.(1998 全国,6)已知点 P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,则在[0,2π ]内 α 的取值范围是( ) A.(

? 3? , 2 4

)∪(π ,

5? ) 4


B.(

? ? 5? , )∪(π , 4 2 4 ? 3? , 2 4
)∪(

C.(

5? 3? , ) 4 2
,π )

D.(

? ? 3? , )∪( 4 2 4

34.(1998 上海,12)下列函数中,周期是

? 的偶函数是( 2



A.y=sin4x B.y=cos22x-sin22x C.y=tan2x D.y=cos2x 35. (1998 全国理, 一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列, 14) 其最小内角为 ( A.arccos



5 ?1 2 1? 5 2

B.arcsin

5 ?1 2 1? 5 2

C.arccos

D.arcsin

36.(1998 上海,16)设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直 线 sinA?x+ay+c=0 与 bx-sinB?y+sinC=0 的位置关系是( ) A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 2 37.(1997 全国文,10)函数 y=cos x-3cosx+2 的最小值为( ) A.2 B.0 C.-

1 4

D.6

38.(1997 全国,5)函数 y=sin(

? 3

-2x)+cos2x 的最小正周期是(



A.

? 2

B.π

C.2π

D.4π

39.(1997 全国,3)函数 y=tan(

1 1 x ? π )在一个周期内的图象是( 2 3



40.(1997 全国文,6)使 tanα ≥cotα 成立的角α 的一个取值区间是( A.(0,



? ] 4

B.[0,

? 4



C.[

? 4



? ] 2

D.[

? 4



? ) 2
24 ? ,则 tan 等于( 2 25
D.- )

41.(1996 全国文,6)已知α 是第三象限角,并且 sinα =-

A.

4 3

B.

3 4

C.-

3 4

4 3


42.(1996 上海,2)在下列各区间中,函数 y=sin(x+

? 4

)的单调递增区间是(

A.[

? ,π ] 2

B.[0,

? 4



C.[-π ,0]

D.[

? 4



? 2



43.(1996 全国,6)当-

? ? ≤x≤ 时,函数 f(x)=sinx+ 3 cosx 的( 2 2
B.最大值是 1,最小值是-



A.最大值是 1,最小值是-1 C.最大值是 2,最小值是-2 44.(1996 全国理,8)若 0<α <

1 2

D.最大值是 2,最小值是-1

? ? ,则 arcsin[cos( +α 2 2

) ]+arccos[sin(π +α ) ]

等于( A.



? 2

B.-

? 2

C.

? -2α 2


D.-

? -2α 2

45.(1996 全国)若 sin2x>cos2x,则 x 的取值范围是( A.{x|2kπ -

3 ? π <x<2kπ + ,k∈Z} 4 4
<x<2kπ +

B.{x|2kπ +

? 4
? 4

5 π ,k∈Z} 4
,k∈Z}

C.{x|kπ -

<x<kπ +

? 4

D.{x|kπ +

? 4

<x<kπ +

3 π ,k∈Z} 4

46.(1995 上海,3)方程 tan(2x+

? 3 )= 在区间[0,2π ) 上解的个数是( 3 3
D.2 )



A.5 B.4 C.3 47.(1995 全国文,7)使 sinx≤cosx 成立的 x 的一个变化区间是( A.[-

3? ? , ] 4 4

B.[-

? 2



? ] 2

C.[-

? 3? , 4 4



D.[0,π ]

48.(1995 全国,3)函数 y=4sin(3x+

? ? )+3cos(3x+ )的最小正周期是( 4 4
C.



A.6π

B.2π

2? 3

D.

? 3


49. (1995 全国, 已知θ 是第三象限角, sin4θ +cos4θ = 9) 若

5 , 那么 sin2θ 等于 ( 9
D.-

A.

2 2 3

B.-

2 2 3


C.

2 3

2 3

50.(1995 上海,1)y=sin2x 是( A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为π 的偶函数

B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为π 的奇函数

51.(1994 全国文,14)如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 等于( A. )

? 8

对称,那么 a

2

B.-

2

C.1 )

D.-1

52.(1994 全国,4)设θ 是第二象限角,则必有( A.tan

? ? >cot 2 2 ? ? >cos 2 2

B.tan

? ? <cot 2 2 ? ? -cos 2 2


C.sin

D.sin

53.(1994 全国,6)下列函数中,以

? 为周期的函数是( 2

A.y=sin2x+cos4x B.y=sin2x?cos4x C.y=sin2x+cos2x D.y=sin2x?cos2x 54.(1994 上海,19)在直角坐标系中,曲线 C 的方程是 y=cosx,现平移坐标系,把原 点移到点 O′(

? ? ,- ) ,则在坐标系 x′O′y′中,曲线 C 的方程是( 2 2 ? 2 ? 2
B.y′=-sinx′+



A.y′=sinx′+

? 2
? 2

C.y′=sinx′-

D.y′=-sinx′-

二、填空题 55.(2003 京春文,13)函数 y=sin2x+1 的最小正周期为 . 56.(2003 上海春, 已知点 P 3) (tanα ,cosα ) 在第三象限, 则角α 的终边在第 限. 57.(2003 上海春,8)不等式(lg20)2cosx>1(x∈(0,π ) )的解为_____. 58.(2002 上海春,6)已知 f(x)= 可化简为 .



? 1? x .若α ∈( ,π ),则 f(cosα )+f(-cosα ) 2 1? x
3? ? 12 ,θ ∈(π , ) ,那么 cos(θ + )的值 13 2 4

59.(2002 京皖,4)如果 cosθ =- 等于 .

60.(2002 天津文,14)已知 sin2α =-sinα (α ∈(

? ,π ),则 cotα ) 2



.

61. 2002 上海春, 若 f x) ( 9) ( =2sinω x (0<ω <1 ) 在区间 [0, 则ω = .

? ] 上的最大值是 2 , 3

62.(2002 北京文,13)sin

2 6 7 π ,cos π ,tan π 从小到大的顺序是 5 5 5

. .

63. 2002 上海, 设函数 (x) ( 10) f =sin2x, (x+t) 若f 是偶函数, t 的一个可能值是 则 64.(2002 全国,15)已知 sinα =cos2α (α ∈(

? ,π ),则 tanα ) 2

=_____.

65.(2001 全国春季北京、安徽,5)已知 sin2α +sin2β +sin2γ =1(α 、β 、γ 均为 锐角) ,那么 cosα cosβ cosγ 的最大值等于 . 66.(2001 上海春)函数 y=

sin x 的最小正周期为_____. 1 ? cos x

67.(2001 上海春)关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 ? ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立. 68.(2000 上海春,1)若 sin(

? +α 2

)=

3 ,则 cos2α = 5

.

69.(2000 上海春,5)在三角形 ABC 中,

2 sinA= 3 cos A ,则∠A=
2? ? x ? )的最小正周期是 3 4

.

70.(2000 春季北京、安徽,5)函数 y=cos(

.

71.(1999 上海,16)函数 y=2sinxcosx-2sin2x+1 的最小正周期是_____. 72.(1999 上海理,7)函数 y=2sin(2x+

? 6

) (x∈[-π ,0] )的单调递减区间是_____.

73.(1998 上海理,2)若函数 y=2sinx+

a cosx+4 的最小值为 1,则 a=

.

74.(1998 全国理,19)关于函数 f(x)=4sin(2x+

? ) (x∈R) ,有下列命题: 3

①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是π 的整数倍; ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x-

? 6

) ;

③y=f(x)的图象关于点(-

? 6

,0)对称;

④y=f(x)的图象关于直线 x=-

? 6

对称.

其中正确的命题的序号是 (注:把你认为正确的命题的序号都填上). 75.(1997 上海理,12)函数 f(x)=3sinxcosx-4cos2x 的最大值是_____. 76.(1997 上海文,12)函数 f(x)=3sinxcosx-1 的最大值为_____. 77.(1997 上海,8)方程 sin2x=

1 在[-2π ,2π ]内解的个数为_____. 2

78.(1997 全国,18)

sin 7? ? cos15? sin 8? 的值为_____. cos 7? ? sin 15? sin 8?

79.(1996 全国,18)tan20°+tan40°+ 80.(1995 全国理,18)函数 y=sin(x-

3 tan20°?tan40°的值是_____.

? 6

)cosx 的最小值是

.

81.(1995 上海,17)函数 y=sin

x x +cos 在(-2π ,2π )内的递增区间是 2 2

.

82.(1995 全国文,18)函数 y=cosx+cos(x+

? )的最大值是_____. 3
. .

83.(1994 上海,9)函数 y=sin2x-2cos2x 的最大值是 84.(1994 全国,18)已知 sinθ +cosθ = 三、解答题 85. (2003 京春, 已知函数(x) 18) f =

1 ,θ ∈(0,π ) ,则 cotθ 的值是 5

6 cos 4 x ? 5 cos 2 x ? 1 , cos 2 x

求 f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域. 86. 2003 上海春, 已知函数 (x) ( 18) f =Asin (ω x+ ? ) (A>0, ω >0, x∈R) 在一个周期内的图象如图 4—3 所示.求直线 y=

3

图 4—3

与函数 f(x)图象的所有交点的坐标. 87.(2002 全国文,17)如图 4—4,某地一天从 6 时至 14 时的 温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+ ? )+b. (Ⅰ)求这段时间的最大温差; (Ⅱ)写出这段曲线的函数解析式. 88.(2002 京皖春,17)在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数

图 4—4

列,求 tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan 的值. 2 2 2 2

89.(2002 全国理,17)已知 sin22α +sin2α cosα -cos2α =1,α ∈(0, tanα 的值. 90.(2002 天津理,17)已知 cos(α + 的值. 91.(2001 上海春)已知

? 2

).求 sinα 、

? 3 ? )= , ≤α 5 2 4



3? ? ,求 cos(2α + ) 2 4

? 3 ? 2 sin 2 ? ? sin 2? =k( <α < , ),试用 k 表示 sinα -cosα 5 2 1 ? tan? 4

的值. 92.(2001 上海,17)已知 a、b、c 是△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边,S 是△ABC 的 面积.若 a=4,b=5,S=5

3 ,求 c 的长度.

93.(2001 河南、广东,17)求函数 y=(sinx+cosx)2+2cos2x 的最小正周期. 94.(2001 全国文,19)已知圆内接四边形 ABCD 的边长 AB=2,BC=6,CD=DA=4.求 四边形 ABCD 的面积. 95.(2001 天津理,22)设 0<θ <

? 2

,曲线 x2sinθ +y2cosθ =1 和 x2cosθ -y2sinθ =1 有

4 个不同的交点. (1)求θ 的取值范围; (2)证明这 4 个交点共圆,并求圆半径的取值范围. 96.(2000 京皖春,理 19,文 20)在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a、b、c.

a 2 ? b 2 sin( A ? B) 证明: . ? c2 sin C
97.(2000 全国理,17)已知函数 y=

1 2 3 cos x+ sinxcosx+1,x∈R. 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 98.(2000 全国文,17)已知函数 y=

3 sinx+cosx,x∈R.

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 99.(1998 上海理,17)设α 是第二象限的角,sinα =

3 37? ,求 sin( -2α )的值. 5 6

100.(1998 全国理,20)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,设 a+c=2b,

A-C=

? .求 sinB 的值. 3
?
2 ?

101.(1997 上海理,17)已知 tan

? 1 ,求 sin(α + )的值. 2 6

102.(1996 上海,19)已知 sin(

? +α 4

)sin(

? -α 4

)=

? 1 ,α ∈( ,π ),求 sin4α . 6 2

103. ( 1996 全 国 , 21 ) 已 知 △ ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 满 足 : A + C = 2B ,

A?C 1 1 2 ,求 cos 的值. ? ?? 2 cos A cos C cos B
104.(1995 全国理,22)求 sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值. 105.(1994 上海,21)已知 sinα = 求 tan(α -2β )的值.

? 3 1 ,α ∈( ,π ) ,tan(π -β )= , 2 5 2

sin 3x sin 3 x ? cos 3x ? cos 3 x 106.(1994 全国文,21)求函数 y= +sin2x 的最小值. cos 2 2 x
107.(1994 全国理,22)已知函数 f(x)=tanx,x∈(0,

? ? ) ,若 x1、x2∈(0, 2 2

) ,

且 x1≠x2,证明 ●答案解析 1.答案:D

x ? x2 1 [f(x1)+f(x2) ]>f( 1 ). 2 2

解析:因为函数 g(x)=cosx 的最大值、最小值分别为 1 和-1.所以 y=

1 cosx-1 的最 3

大值、最小值为-

4 2 和- .因此 M+m=-2. 3 3

2.答案:D 解析一: 因为 A<C.在△ABC 中, 大角对大边.因此 c>a, 2RsinC>2RsinA.所以 sinC>sinA. 即 解析二:利用特殊情形.因为 A、B、C 为△ABC 的三个内角.因此,存在 C 为钝角的可 能,而 A 必为锐角.此时结论仍然正确.而 cosA、tanA、cotA 均为正数,cosC、tanC、cotC 均 为负数.因此 B、C、D 均可排除. 解析三:作差 sinA-sinC=2cos

A?C A?C ?sin ,A、B、C 为△ABC 的三个内角, 2 2

又 A<C.因此 0<A+C<π , 0<

A?C ? ? A?C A?C < , <A-C<0, -π - < <0.所以 cos >0, 2 2 2 2 2

sin

A?C <0,可得 sinA<sinC. 2

评述:本题入口较宽,做为考查三角函数的基本题,有一定的深刻性,尤其是被选项的 设计隐藏着有益的提示作用.为观察、思考能力强的考生提供了快速解题的可能性.本题在考 查基础知识的同时,考查了逻辑思维能力及灵活运用知识解题的能力. 3.答案:C 解析:将原方程整理为:y=

1 ? ,因为要将原曲线向右、向下分别移动 个单 2 2 ? cos x
1

位和 1 个单位,因此可得 y=

2 ? cos( x ? ) 2
评述:本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式.如果对平移有深刻理 解,可直接化为: (y+1)cos(x- 4.答案:A 解析: 因为 (x) 2x- f =sin (

?

-1 为所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

? 2

)+2(y+1)-1=0,即得 C 选项.

2 |x| 1 1 ? cos 2 x 2 | x| 1 1 2 ? ( ) ? ? 1 ? cos 2 x ? ( ) | x| . )+ ? 2 2 3 2 2 3 3

显然 f(x)为偶函数.结论①错.对于结论②,当 x=1000π 时,x>2003,sin21000π =0,∴f(1000π ) =

1 2 1000? 1 ?( ) ? ,∴结论②是错误的. 2 3 2
又-1≤cos2x≤1,-

3 3 3 1 1 1 ≤1- cos2x≤ ,∴1- cos2x-( )|x|< ,结论③错. 2 2 2 2 2 2

f(x)=sin2x-(

2 |x| 1 2 1 ) + 中,sin2x≥0,-( )|x|≥-1,∴f(x)≥- .所以 A 选项正确. 2 2 3 3

评述:本题考查了三角函数的基本性质,要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变 形方向,通畅解题途径. 5.答案:B 解析:sin2α =2sinα cosα <0 ∴sinα cosα <0 即 sinα 与 cosα 异号,∴α 在二、四象限, 又 cosα -sinα <0 ∴cosα <sinα 由图 4—5,满足题意的角α 应在第二象限 图 4—5 6.答案:C

解析:2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B 7.答案:A 解析:函数 y=2x 为增函数,因此求函数 y=2sinx 的单调增区间即求函数 y=sinx 的单调增 区间. 8.答案:C 解法一: 作出在 (0, ) 2π 区间上正弦和余弦函数的图象, 解出两交点的横坐标 由图 4—6 可得 C 答案.

? 4



5? , 4

图 4—6 图 4—7 解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C.(如图 4 —7) 9.答案:C

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? ? 解析:解不等式 f(x)cosx<0 ? ?cos x ? 0或?cos x ? 0 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ? ?

?1 ? x ? 3 ?0 ? x ? 1 ? ? ∴ ?? ∴0<x<1 或 <x<3 或? 2 ? 2 ? x ? ? ?0 ? x ? 1 ?
10.答案:B 解析:A 项:y=cos2x= 上为增函数. B 项:作其图象 4—8,由图象可得 T=π 且在区间( 为减函数. C 项:函数 y=cosx 在(

1 ? cos 2 x ? ,x=π ,但在区间( ,π ) 2 2
图 4—8

? 2

,π )上

? 2

,π )区间上为减函数,数 y=(

1 x 1 ) 为减函数.因此 y=( )cosx 3 3

在(

? 2

,π )区间上为增函数.

D 项:函数 y=-cotx 在区间(

? 2

,π )上为增函数.

11.答案:C 解析:由奇偶性定义可知函数 y=x+sin|x|,x∈[-π ,π ]为非奇非偶函数. 选项 A、D 为奇函数,B 为偶函数,C 为非奇非偶函数. 12.答案:A

1 1? 1 ? tan 2 ? cot ? ? 1 1 4 ?3 ? 解析:由 =1 解得:tanθ =- ,∴cos2θ = 2 2 2 cot ? ? 1 1 ? tan ? 1 ? 1 5 4
13.答案:A 解析:由

cot? ? 1 1 =1,解得:tanθ =- 2 2 cot? ? 1

1 ? 2? 1 ? tan 2 ? 3 2 tan? 2 ??4, ? , sin 2? ? ? ∴ cos 2? ? 2 2 1 ? tan ? 5 1 ? tan ? 1 ? 1 5 4

3 cos 2? ? 5 ?3 ∴ 1 ? sin 2? 1 ? 4 5
14.答案:C 解析:∵f(x)=2sinx(x∈R,x≠kπ +

? 2

,k∈Z) ,∴f(x)的最小正周期为 2π .故应

选 C. 评述:本题重点考查二倍角公式及 sinx 的周期性. 15.答案:B 解析:∵A、B 是锐角三角形的两个内角,∴A+B>90°, ∴B>90°-A,∴cosB<sinA,sinB>cosA,故选 B. 16.答案:B 解析:∵sinθ cosθ >0,∴sinθ 、cosθ 同号. 当 sinθ >0,cosθ >0 时,θ 在第一象限,当 sinθ <0,cosθ <0 时,θ 在第三象限, 因此,选 B. 17.答案:B 解析:tan300°+cot405°=tan(360°-60°)+cot(360°+45°)=-tan60°+cot45° =1-

3.

18.答案:A

解析:∵a=

2 sin(α +

? 4

) ,b=

2 sin(β +

? 4
? 4

) ,又

? 4

<α +

? 4

<β +

? 4



? . 2

而 y=sinx 在[0,

? ]上单调递增,∴sin(α 2



)<sin(β +

? 4

).即 a<b.

19.答案:A 解析:根据反函数的值域应为原函数的定义域[-π ,0] , ∴B、C、D 都被排除,A 正确. 20.答案:A 解析:由 y=3sin(

1 ? x ? )得,振幅 A=3,周期 T=4π . 2 3

评述:本题主要考查形如 y=Asin(ω x+ ? ) (A>0,ω >0)的振幅和最小正周期的概念, 以及最小正周期的计算公式. 21.答案:B 解析: y ?

1 1 1 2 . ? ? ?1? 2 ? sin x ? cos x 2 ? 2 sin(x ? ? ) 2 ? 2 2 4

22.答案:A 解析:y=sinx+cosx+2=

2 sin(x+

? 4

)+2.∴ymin=2-

2.

23.答案:D 解析:因为在第一、三象限内正弦函数与余弦函数的增减性相反,所以可排除 A、C, 在第二象限内正弦函数与正切函数的增减性也相反,所以排除 B.只有在第四象限内,正弦 函数与正切函数的增减性相同. 24.答案:D 解析:因为函数 y=-xcosx 是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除 A、C,当 x∈(0,

? )时,y=-xcosx<0. 2 ? 2 ? 2 ? 2

25.答案:C 解析:y=sin(x+ 为偶函数. 26.答案:D 解法一:取特殊情况,若α =β ,则 0<α < )=cosx, (x∈[- , ] ,由余弦函数的性质知,y=cosx )

? 4

,0<tanα <1,0<1-tan2α <1.



tan? ??? 1 1 ? tan? ? tan tan(α +β )= tan2α = . 2 2 2 1 ? tan ? 2

解法二:∵α +β <

? ,∴α 2



? -β 2
<tan(

tanα 在[0,

? ) 上是增函数,∴tanα 2

? 2

-β )=cotβ ,

∴tanα tanβ <tanβ ?cotβ =1,∴A 正确. 其他同解法一 27.答案:D 解析:如图 4—9,由题意知,

1 2 1 2 π r h= R h, 3 6

∴r=

r OA R ? ,又△ABO∽△AOC,∴ , OA R 2
图 4—9

∴OA2=r?R= 28.答案:D

R R OA 1 . , OA ? 4 , cos? ? ? R 42 2 2

2

解析:由 tan(x+

? 3

)=

3 ,得 x+

? 3

=kπ +

? 3

(k∈Z) ,∴x=kπ (k∈Z).

评述: 本题考查判断命题正确性的能力以及考查三角函数的定义, 已知三角函数值求角 等知识和方法. 29.答案:C

? +2kπ ≤ω x+ ? 2 [a,b]上不是增函数,也不是减函数,且当ω x+ ?
解法一:由已知得 M>0,- 案为 C.



? +2kπ (k∈Z) ,故有 g(x)在 2

=2kπ 时 g(x)可取到最大值 M,答

解法二:由题意知,可令ω =1, ? =0,区间[a,b]为[-

? ? , 2 2

] ,M=1,则

g(x)为 cosx,由基本余弦函数的性质得答案为 C. 评述:本题主要考查函数 y=Asin(ω x+ ? )的性质,兼考分析思维能力.要求对基本函 数的性质能熟练运用(正用逆用) ;解法二取特殊值可降低难度,简化命题. 30.答案:B 解法一:取α =±

? ? ,± 3 6

代入求出 sinα 、tanα 、cotα 之值,易知α =-

? 6

适合,

又只有-

? 6

∈(-

? ,0) ,故答案为 B. 4

解法二:先由 sinα >tanα 得:α ∈(-

? ,0) ,再由 tanα 2

>cotα 得:α ∈(-

? 4

,0)

评述:本题主要考查基本的三角函数的性质及相互关系,1995 年、1997 年曾出现此类 题型,运用特殊值法求解较好. 31.答案:B 解析:取 f(x)=cosx,则 f(x) ?sinx=

1 sin2x 为奇函数,且 T=π . 2

评述:本题主要考查三角函数的奇偶与倍角公式. 32.答案:D 解析:sin600°=sin(600°-720°)=sin(-120°)=-

2 . 2

评述:本题主要考查诱导公式及特殊角三角函数值. 33.答案:B 解法一:P(sinα -cosα ,tanα )在第一象限,有 tanα >0, A、C、D 中都存在使 tanα <0 的α ,故答案为 B. 解法二:取α =

? 3

∈(

? ?

, ) ,验证知 P 在第一象限,排除 A、 4 2

图 4—10

C,取α =

3? 5? ∈( ,π ) ,则 P 点不在第一象限,排除 D,选 B. 6 4
5? ,故选 B. 4

解法三:画出单位圆如图 4—10 使 sinα -cosα >0 是图中阴影部分,又 tanα >0 可得

?
4

?? ?

?
2

或π <α <

评述: 本题主要考查三角函数基础知识的灵活运用, 突出考查了转化思想和转化方法的 选择,采用排除法不失为一个好办法. 34.答案:B 解析:y=cos22x-sin22x=cos4x,T= 35.答案:B 解析:设 sinα ,cosα ,1 成等比数列,则 1-sin2α =sinα ,解得 sinα =

? . 2
5 ?1 或 2

sinα =

? 5 ?1 5 ?1 (舍)∴α =arcsin ,故应选 B. 2 2

评述:本题综合考查了直角三角形的性质、等比数列、三角变换、反三角方程等知识, 构造方程求解为常规解法. 36.答案:C

解析:bsinA+a? (-sinB)=2RsinBsinA-2RsinAsinB=0. 评述:本题考查判定两条直线垂直的充分条件以及正弦定理. 37.答案:B 解析: y=cos2x-3cosx+2= cosx- (

3 2 1 )- .所以 cosx=1 时, 的最小值为 y=12-3? y 1+2=0. 2 4

评述:本题主要考查三角函数的有界性、二次函数在指定区间上的值域、配方法等. 38.答案:B 解析:y=sin(

? 3

-2x)+cos2x=sin(

? 3

-2x)+sin(

? 2

+2x)=2sin

5? cos(2x 12



? ),显然函数的最小正周期为π ,故选 B. 12
评述:本题考查了和差化积公式和函数最小正周期的求法. 39.答案:A 解析:y=tan(

1 1 2? 2? 1 x ? π )=tan (x- ) ,显然函数周期为 T=2π ,且 x= 2 2 3 3 3

时,y=0,故选 A. 评述:本题主要考查正切函数性质及图象变换,抓住周期和特值点是快速解题的关键. 40.答案:D 解析:α ∈[ 41.答案:D 解析:sinα =-

? ?

, ) ?tanα ≥1,cotα ≤1 ?tanα ≥cotα . 4 2 7 ? 1 ? cos? 4 24 ?? . ,α 是第三象限角 ? cosα =- ?tan ? 25 25 2 sin ? 3

评述:本题主要考查半角公式、同角三角函数的关系和象限角. 42.答案:B 解析:当 2kπ -

? 2

≤x+

? ? ≤2kπ + 2 4

,k∈Z 时,函数单调递增.

解得 2kπ - 43.答案:D

3? ? ? ≤x≤2kπ + ,k∈Z.显然当 x∈[0, ]时,函数单调递增. 4 4 4

解析:由已知 f(x)=2sin(x+

? ? ) ,- 3 6

≤x+

? 5? ≤ 6 3

,故-1≤f(x)≤2,所以

选 D. 评述:本题考查了两角和的正弦公式和自变量在给定区间上函数最值的求法. 44.答案:A

解法一:取α =

? 满足 0<α 4



? , 2

则原式=arcsin(-

? 2 2 )+arccos(- )= ,故选 A. 2 2 2

解法二:arcsin[cos(

? +α 2

) ]+arccos[sin(π +α ) ]

=arcsin(-sinα )+arccos(-sinα )=-arcsin(sinα )+π -arccos(sinα ) =-α +π -arccos[cos(

? -α 2

) ]=-α +π -(

? -α 2

)=

? ,所以选 A. 2

评述:本题主要考查反三角函数的基础知识,概念性强,对观察、判断能力要求高. 45.答案:D 解析一:由已知可得 cos2x=cos2x-sin2x<0,所以 2kπ +

? 3 <2x<2kπ + π ,k∈Z.解得 2 2

kπ +

? 3 <x<kπ + π ,k∈Z(注:此题也可用降幂公式转化为 cos2x<0). 4 4
1 2 2 .因此有 sinx> 或 sinx<- .由 2 2 2

解析二:由 sin2x>cos2x 得 sin2x>1-sin2x,sin2x>

正弦函数的图象 (或单位圆) 2kπ + 得

? 3 5 7 <x<2kπ + π 或 2kπ + π <x<2kπ + π(k∈Z) , 4 4 4 4

2kπ +

5 7 ? 3? π <x<2kπ + π 可写作(2k+1)π + <x<(2k+1)π + ,2k 为偶数,2k+1 为 4 4 4 4

奇数,不等式的解可以写作 nπ +

? 3? <x<nπ + 4 4

,n∈Z.

评述:本题考查三角函数的图象和基本性质,应注意三角公式的逆向使用. 46.答案:B 解析:由已知得 2x+ 故选 B. 47.答案:Ass 解法一:由已知得:

? ? k? = +kπ (k∈Z) ,x= 3 3 2

(k∈Z) ,x=0,

? 3? ,π , 2 2

.

2 sin(x-

? )≤0,所以 2kπ +π ≤x 4
图 4—11



? 5? ≤2kπ +2π ,2kπ + 4 4
解法二: x= 取

≤x≤2kπ +

9? 3? ? ,令 k=-1 得- ≤x≤ ,选 A. 4 4 4

2? ? ? 2? 3 2? 1 , sin 有 排除 C、 取 x= , sin D, 有 ? , cos ?? , 3 3 3 3 2 3 2



3 ? 1 , cos ? ,排除 B,故选 A. 2 3 2

解法三:设 y=sinx,y=cosx.在同一坐标系中作出两函数图象如 图 4—11,观察知答案为 A. 解法四:画出单位圆,如图 4—12,若 sinx≤cosx,显然应是图 中阴影部分,故应选 A. 评述:本题主要考查正弦函数、余弦函数的性质和图象,属基本 求范围题,入手容易,方法较灵活,排除、数形结合皆可运用. 48.答案:C 解析:y=4sin(3x+

图 4—12

? 4

)+3cos(3x+

? 4

)=5[

4 3 ? ? sin(3x+ )+ cos(3x+ ) ] 4 4 5 5

=5sin(3x+

? 4

+? ) (其中 tan ? =

3 ) 4

所以函数 y=sin(3x+ 故应选 C.

? 4

)+3cos(3x+

? 4

)的最小正周期是 T=

2? . 3

评述: 本题考查了 asinα +bcosα =

a 2 ? b2

sin (α + ? ) 其中 sin ? = ,

b a2 ? b2



cos ? =

a a2 ? b2

,及正弦函数的周期性.

49.答案:A 解法一:将原式配方得(sin2θ +cos2θ )2-2sin2θ cos2θ =

5 9

于是 1-

1 2 5 8 sin 2θ = ,sin22θ = ,由已知,θ 在第三象限, 2 9 9
3? 2

故 2kπ +π <θ <2kπ +

从而 4kπ +2π <2θ <4kπ +3π

故 2θ 在第一、二象限,所以 sin2θ =

2 2 ,故应选 A. 3

解法二:由 2kπ +π <θ <2kπ +

3? ,有 4kπ +2π <4kπ +3π (k∈Z) ,知 sin2θ 2

>0,应排除 B、D,验证 A、C,由 sin2θ =

4 2 2 ,得 2sin2θ cos2θ = ,并与 sin4θ + 9 3

cos4θ =

5 相加得(sin2θ +cos2θ )2=1 成立,故选 A. 9

评述: 本题考查了学生应用正余弦的平方关系配方的能力及正弦函数值在各象限的符号 的判别. 50.答案:C 解析:y=sin2x= 51.答案:D 解析:函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=-

1 ? cos 2 x ,显然 cos2x 为偶函数且最小正周期为π 2

? 8

对称,表明:当 x=-

? 8

时,函数

取得最大值

2 或取得最小值- a ? 1 ,所以有 (- [sin a2 ?1 ,

? 4

) cos - +a? (

? 2 2 ) =a +1, ] 4

解得 a=-1. 评述:本题主要考查函数 y=asinx+bcosx 的图象的对称性及其最值公式. 52.答案:A 解法一:因为θ 为第二象限角,则 2kπ +

? <θ 2

<2kπ +π (k∈Z) ,即

? 为第一象 2

限角或第三象限角,从单位圆看是靠近轴的部分如图 4—13,所以 tan

? ? >cot . 2 2

解法二:由已知得:2kπ +

? <θ 2

<2kπ +π ,kπ +

? ? < < 4 2

kπ +

? 5? ,k 为奇数时,2nπ + 4 2



? 3? <2nπ + 2 2

(n∈Z) ;

k 为偶数时,2nπ +

? ? ? < <2nπ + (n∈Z) ,都有 4 2 2

tan

? > 2

图 4—13

cot

? ,选 A. 2
评述:本题主要考查象限角的概念和三角函数概念,高于课本. 53.答案:D 解析:y=sin2x?cos2x= 54.答案:B

? 1 sin4x,因此周期为 . 2 2

? ? ? x ? x? ? 2 ? ? ? 解析:曲线 C:y=cosx,利用移轴公式: ? ? C:y′- =cos(x′+ ) 2 2 ? y ? y? ? ? ? ? 2
? ?C:y′=-sinx′+

? 2

.

评述:本题主要考查移轴公式和三角函数的诱导公式. 55.答案:π 解析:因为 y=sin2x+1,利用 T= 56.答案:二 解析:因为点 P(tanα ,cosα )在第三象限,因此有 ?

2? =π .因此,周期 T=π . 2
?tan? ? 0 ,tanα <0 ? α 在二、 ?cos? ? 0

四象限,cosα <0 ?α 在二、三象限(包括 x 轴负半轴) ,所以α 为第二象限角.即角α 的终 边在第二象限. 57.答案: (0,

? 2



解析:∵20>10,∴lg20>lg10=1,∴对数函数单调递增.又(lg20)2cosx>1=(lg20)0. ∴2cosx>0 ?x 在一、四象限(包括 x 轴正半轴) ,又 x∈(0,π ).所以原不等式的解为 (0,

? 2

).

58.答案:2cscα 解析:f(cosα )+f(-cosα )=

1 ? cos ? 1 ? cos ? ? ? ? ? tan ? cot 1 ? cos ? 1 ? cos ? 2 2

sin


? ?
2 ? 2

cos sin

? ?
2 ?

sin 2

?
2

? cos 2 cos

?
2 ? 1 1 sin ? 2 ? 2 csc ?

cos

2

sin

?
2

?
2

59.答案:-

7 2 26

解析:∵cos(θ +

? 4

)=cosθ cos

? 4

-sinθ sin

? 4

又∵θ ∈(π ,

3? 5 12 ) ,cosθ =- ∴sinθ =- 13 2 13

∴原式=-

12 2 5 2 7 2 ? ? ? ?? 13 2 13 2 26

60.答案:-

3 3
∴2sinα cosα =-sinα

解析:∵sin2α =-sinα

∴sinα (2cosα +1)=0 ∴α ∈(

? ,π )∴sinα 2

≠0

∴2cosα +1=0 ∴cosα =-

1 2? ∴α = 2 3

∴cotα =-

3 3

61.答案:

3 4

解析:∵0<ω <1 ∴T=

2?

?

>2π

∴f(x)在[0,

? 3

]区间上为单调递增函数

∴f(x)max=f(

? 3

)即 2sin

??
3

? 2

又∵0<ω <1 ∴解得ω =

3 4

62.答案:cos

2? 7? 6 π <sin <tan 5 5 5

解析:cos

6? 7? 2? ? <0,tan =tan ∵0<x< 时,tanx>x>sinx>0 5 5 5 2

∴tan

2? 2? 7? 2? 6? >sin >0 ∴tan >sin >cos 5 5 5 5 5

63.答案:

? 3? 、 4 4

、?

? (2k+1) (k∈Z) 4

解析:∵f(x+t)=sin2(x+t)=sin(2x+2t) 又 f(x+t)是偶函数 ∴f(x+t)=f(-x+t)即 sin(2x+2t)=sin(-2x+2t)由此可得 2x+2t=-2x+2t+2kπ 或 2x+t=π -(-2x+2t)+2kπ (k∈Z) ∴t=

2k ? 1 π (k∈Z) 4

64.答案:-

3 3

解析:∵sinα =cos2α ,∴sinα =1-2sin2α

?2sin2α

+sinα -1=0,∴sinα =

1 或-1, 2



? <α 2

<π ,∴sinα =

1 5 3 ,∴α = π ,∴tanα =- . 6 2 3

评述:本题侧重考查二倍角公式以及三角函数值在各象限内的变化规律. 65.答案:

2 6 9

解析:由 sin2α +sin2β +sin2γ =1 可得 1-cos2α +1-cos2β +1-cos2γ =1, 即 cos2α +cos2β +cos2γ =2, 由公式 a2+b2+c2≥3
2 2 2

3

a 2 ? b2 ? c 2

等号成立条件为 a2=b2=c2.

cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? 3 2 3 因此 cos α ?cos β ?cos γ ≤( ) =( ) ,所以 cosα ?cos 3 3
β ?cosγ ≤

2 6 (等号成立条件为 cosα =cosβ =cosγ ).故 cosα cosβ cosγ 的最大值为 9

2 6. 9
66.答案:2π 解析:y=

sin x x ? cot ,∴周期 T=2π . 1 ? cos x 2

评述:本题考查半角公式和三角函数的周期性.

? ? +kπ (k∈Z) ;或者④, +kπ (k∈Z) 2 2 解析:当 ? =2kπ ,k∈Z 时,f(x)=sinx 是奇函数.当 ? =2(k+1)π ,k∈Z 时 f(x)=
67.答案:①,kπ (k∈Z) ;或者①,

? ? ,k∈Z 时,f(x)=cosx,或当 ? =2kπ - ,k∈Z 时, 2 2 f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和③都是正确的.无论 ? 为何值都不能使 f(x)恒
-sinx 仍是奇函数.当 ? =2kπ + 等于零.所以 f(x)不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题. 评述:本题考查三角函数的奇偶性、诱导公式以及分析问题的能力,注意 k∈Z 不能不 写,否则不给分,本题的答案不惟一,两个空全答对才能得分. 68.答案:-

7 25

解析:sin(

? +α 2

)=

3 3 7 即 cosα = ,∴cos2α =2cos2α -1=- 25 5 5

69.答案:60° 解析:2sin2A=3cosA,2(1-cos2A)=3cosA, (2cosA-1) (cosA+2)=0, ∴cosA=

1 ,A=60°. 2

70.答案:T=3 71.答案:π 解析: ∵y=2sinxcosx-2sin2x+1=sin2x-2? ∴该函数的最小正周期是π . 72.答案: ? [

1 ? cos 2 x ? +1=sin2x+cos2x= 2 sin 2x+ ) ( , 2 4

5? ? ,? ] 6 3

解析:因为 f(x)=2sin(2x+

? 6

)单调递减.所以

? ? +2kπ ≤2x+ 2 6



3 π +2kπ ,k∈Z, 2

? 6

+kπ ≤x≤

? 5? 3 π +kπ ,k∈Z,又 x∈[-π ,0] ,令 k=-1,得- ≤x≤- . 2 6 3
4 ? a sin(x+ ?
)+4 在 x∈R 时,ymin=4-

73.答案:5 解析:y= 而 4-

4?a

4 ? a =1 解得 a=5.

74.答案:②③ 解析:①由 f(x)=0 有 2x+

? k? =kπ (k∈Z) ,得 x= 3 2



? 6

,令 k=0、1,有 x2=



? ? ? ,x1= - 6 2 6

,则 x1-x2=

? ,故命题①不正确;②利用诱导公式知正确;③对称点 2

坐标满足关系式③知正确;④在对称轴处的纵坐标应为最值.综上知,②、③正确. 75.答案:

1 2 3 5 sin2x-2cos2x-2= sin(2x- ? )-2, 2 2

解析:f(x)=

其中 tan ? =

4 1 .∴f(x)max= . 2 3

评述:本题考查 y=asinx+bcosx 的最值问题.只需要关注

a 2 ? b2

即可.

76.答案:

1 2

解析:f(x)= 77.答案:8

3 3 1 sin2x-1,f(x)max= -1= . 2 2 2

解析一:因为 sin2x=

? 5? 1 ,x∈[-2π ,2π ] ,∴2x∈[-4π ,4π ] ,∴2x= , , 2 6 6

? 6

+2π ,

? ? 5 ? 5 13 5? 5? +2π , -2π , -2π , -4π , π -4π ;∴x= , π, π, 6 6 6 6 6 12 12 12

17 11 7 23 19 π ,- π ,- π ,- π ,- π .故有 8 个解. 12 12 12 12 12
解析二:因为 f(x)=sinx=

1 1 时,在一个周期内有两个角与 相对应.而 y=sin2x 的周期 2 2

为π ,而区间[-2π ,2π ]的长度为 4π ,故应有 8 个解. 评述:本题考查应用周期性分析问题解决问题的能力. 78.答案:2- 解析:

3

sin 7? ? cos15? sin 8? sin(15? ? 8?) ? cos15? sin 8? sin15? cos 8? ? ? cos 7? ? sin15? sin 8? cos(15? ? 8?) ? sin15? sin 8? cos15? cos 8?
1 ? cos 30? ? 2? 3. sin 30?

? tan15? ?

评述:本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点. 79.答案:

3

解析:tan60°=

tan 20? ? tan 40? ,∴tan20°+tan40°= 3 - 3 tan20°tan40°, 1 ? tan 20? tan 40?

∴tan20°+tan40°+

3 tan20°tan40°= 3 .

80.答案:-

3 4

解析:y=sin(x-

? 6

)cosx=

? ? ? 1 1 1 [sin(2x- )-sin ]= [sin(2x- )- ] 2 2 2 6 6 6
1 1 3 (-1- )=- . 2 2 4

当 sin(2x-

? 6

)=-1 时,函数有最小值,y 最小=

评述:本题考查了积化和差公式和正弦函数有界性(或值域). 81.答案: ? [

3? ? , ] 2 2

解析:y=sin

x ? x x ? x ? ? +cos = 2 sin( ? ) ,当 2kπ - ≤ + ≤2kπ + (k 2 2 2 2 4 2 2 4 3? 3? ? ? ≤x≤4kπ + (k∈Z) ,只有 k=0 时, [- , ] 2 2 2 2

∈Z)时,函数递增,此时 4kπ - (-2π ,2π ). 82.答案:

3

解析:y=2cos(x+

? 6

) ?cos(-

? 6

)=

3 cos(x+

? 6

) ,∴ymax=

3.

83.答案:

2 -1 2 sin(2x-

解析:y=sin2x-(1+cos2x)=

? ? )-1,因为|sin(2x- )|<1,所 4 4

以 y 最大值=

2 -1.
3 4

84.答案:-

解法一:设法求出 sinθ 和 cosθ ,cotθ 便可求了,为此先求出 sinθ -cosθ 的值. 将已知等式两边平方得 1+2sinθ cosθ =

1 25

变形得 1-2sinθ cosθ =2-

1 , 25

即(sinθ -cosθ )2=

49 25

又 sinθ +cosθ =

1 ,θ ∈(0,π ) 5
图 4—14

? 则 2

3? <θ < ,如图 4—14 4

所以 sinθ -cosθ =

7 ,于是 5

sinθ =

3 4 3 ,cosθ =- ,cotθ =- . 4 5 5
12 ,又θ ∈(0,π ) ,有 cosθ <0 25

解法二:将已知等式平方变形得 sinθ ?cosθ =-

<sinθ ,且 cosθ 、sinθ 是二次方程 x2-

1 12 3 x- =0 的两个根,故有 cosθ =- , 25 5 5

sinθ =

4 3 ,得 cotθ =- . 4 5

评述:本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力,方法较灵活. 85.解:由 cos2x≠0 得 2x≠kπ +

? 2

,解得 x≠

k ? ? ,k∈Z,所以 f(x)的定义域为 2 4

{x|x∈R 且 x≠

k ? ? ? ,k∈Z} 2 4

因为 f(x)的定义域关于原点对称,且

6 cos 4 (? x) ? 5 cos 2 (? x) ? 1 6 cos 4 x ? 5 cos 2 x ? 1 f(-x)= =f(x) ? cos(?2 x) cos 2 x
所以 f(x)是偶函数. 又当 x≠

k? ? ? (k∈Z)时, 2 4

f(x)=

6 cos 4 x ? 5 cos 2 x ? 1 (2 cos 2 x ? 1)(3 cos 2 x ? 1) ? ? 3 cos 2 x ? 1 . cos 2 x cos 2 x

所以 f(x)的值域为{y|-1≤y<

1 1 或 <y≤2}. 2 2

评述: 本题主要考查三角函数的基本知识, 考查逻辑思维能力、 分析和解决问题的能力. 86.解:根据图象得 A=2,T=

1 x 7 ? π -(- )=4π ,∴ω = ,∴y=2sin( + ? ) 2 2 2 2
,∴-

又由图象可得相位移为-

? 2

? ? =- 1 2 2

,∴ ? =

? 1 ? .即 y=2sin( x+ ). 4 2 4

根据条件 (k∈Z) ∴x=4kπ +

1 ? 1 ? 1 ? ? 2 ,∴ x ? =2kπ + ,(k∈Z)或 x ? =2kπ + π 3 =2sin( x ? ) 3 3 2 4 2 4 2 4

? 6

(k∈Z)或 x=4kπ +

5 π (k∈Z). 6
5? , 3) (k∈Z) 6

∴所有交点坐标为(4kπ +

?
6

, 3 )或(4kπ +

87.解: (1)由题中图所示,这段时间的最大温差是 30-10=20(℃). (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y=Asin(ω x+ ? )+b 的半个周期的图象, ∴

? 1 2? ? =14-6,解得ω = . 2 ? 8
1 1 (30-10)=10,b= (30+10)=20. 2 2

由图示,A=

这时 y=10sin(

? 8

x+ ? )+20.

将 x=6,y=10 代入上式,可取 ? =

3? . 4
x+

综上,所求的解析式为 y=10sin(

? 8

3? )+20,x∈[6,14] 4

88.解:因为 A、B、C 成等差数列,又 A+B+C=180°,所以 A+C=120° 从而

A?C A?C ? 3 .由两角和的正切公式, =60°,故 tan 2 2

A C ? tan 2 2 ? 3. 得 A C 1 ? tan tan 2 2 tan
所以 tan

A C A C ? tan ? 3 ? 3 tan tan , 2 2 2 2

tan

A C A C ? tan ? 3 tan tan ? 3 . 2 2 2 2

89.解:由倍角公式,sin2α =2sinα cosα ,cos2α =2cos2α -1,由原式得 4sin2α cos2α +2sinα cos2α -2cos2α =0 ? 2cos2α (2sin2α +sinα -1)=0 (sinα +1)=0, ? 2cos2α (2sinα -1) ∵α ∈(0,

? 2

) ,

∴sinα +1≠0,cos2α ≠0, ∴2sinα -1=0,即 sinα =

1 . 2

∴α =

? ,∴tanα 6



3 3
cos

90.解:cos(2α +

? )=cos2α 4

? -sin2α 4

sin

? 2 = (cos2α 2 4

-sin2α ).



3? ? 7? ? 3? ? 7? ?? ? ? ?? ? ? ,cos(α + )>0,由此知 , 2 4 4 4 4 4 4

∴sin(α +

? ? 3 2 4 2 )=- 1 ? cos (? ? ) ? ? 1 ? ( ) ? ? . 4 4 5 5

从而 cos2α =sin(2α +

? )=2sin(α 2



? )cos(α 4



? ) 4

=2?(-

4 3 24 )? =- , 25 5 5

sin2α =-cos(2α +

? )=1-2cos2(α 2



? 3 7 )=1-2?( )2= . 4 5 25

∴cos(2α +

? 24 7 2 31 2 )= ?(- - )=- . 25 25 2 50 4

91.解:

2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin ? (sin ? ? cos ? ) =2sinα cosα ,∴k=2sinα cosα . ? sin ? 1 ? tan? 1? cos ?

而(sinα -cosα )2=1-2sinα cosα =1-k.又

? ? <α < ,于是:sinα 4 2

-cosα >0,所以

sinα -cosα =

1? k .
1 3 absinC,∴sinC= ,于是∠C=60°或∠C=120° 2 2

92.解:∵S=

又∵c2=a2+b2-2abcosC, 当∠C=60°时,c2=a2+b2-ab,c= 当∠C=120°时,c2=a2+b2+ab,c= ∴c 的长度为

21

61

21 或 61

评述:本题考查三角函数中角的多值性及余弦定理等基本知识. 93.解:y=1+sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+2=

2 sin(2x+

? )+2.故最小正周期为π . 4

94.解:如图 4—15,连结 BD,则四边形面积 S=S△ABD+S△CBD=

1 1 AB?ADsinA+ BC?CDsinC 2 2
∵A+C=180°,∴sinA=sinC, ∴S=

1 (AB?AD+BC?CD) ?sinA=16sinA 2

图 4—15

由余弦定理:在△ABD 中,BD2=22+42-2?2?4cosA=20-16cosA 在△CDB 中,BD2=52-48cosC, ∴20-16cosA=52-48cosC 又 cosC=-cosA,∴cosA=-

1 , 2

∴A=120°,∴S=16sinA=8

3.

? x 2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 ? x 2 ? sin ? ? cos? 95.解: (1)解方程组 ? ,得 ? 2 x 2 cos? ? y 2 sin ? ? 1 ? ? y ? cos? ? sin ?
故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为 ?

?sin ? ? cos? ? 0 ? , (0<θ < ) 2 ?cos? ? sin ? ? 0

? 0<θ

<

? . 4
2 ,2)

(2)设四个交点的坐标为(xi,yi) (i=1,2,3,4) ,则:xi2+yi2=2cosθ ∈( (i=1,2,3,4). 故四个交点共圆,并且这个圆的半径 r=

2 cosθ ∈( 4 2, 2 ).

评述: 本题注重考查应用解方程组法处理曲线交点问题, 这也是曲线与方程的基本方法, 同时本题也突出了对三角不等关系的考查. 96.证明:由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB, ∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB. 整理得

a 2 ? b2 a c o s ? b c o s B A . ? 2 c c
a s i nA b s i nB ? , ? , c sin c sin C C

依正弦定理,有



a 2 ? b 2 sin A cos B ? sin B cos A sin( A ? B) ? ? c2 sin C sin C

评述:本小题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理等基础知识,考查三角函数简单的 变形技能. 97.解: (1)y=

1 2 3 cos x+ sinxcosx+1 2 2



3 1 1 (2cos2x-1)+ + (2sinxcosx)+1 4 4 4
5 3 1 cos2x+ sin2x+ 4 4 4 1 ? ? 5 (cos2x?sin +sin2x?cos )+ 4 6 6 2 1 ? 5 sin(2x+ )+ 4 6 2







y 取得最大值必须且只需 2x+

? 6



? +2kπ ,k∈Z, 2

即 x=

? 6

+kπ ,k∈Z.

所以当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: ①把函数 y=sinx 的图象向左平移

? 6

+kπ ,k∈Z}.

? 6

,得到函数 y=sin(x+

? 6

)的图象;

②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 2

y=sin(2x+

? 6

)的图象;

③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的

1 倍(横坐标不变) ,得到函数 2

y=

? 1 sin(2x+ )的图象; 2 6 ? 5 1 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图象; 4 2 4 6

④把得到的图象向上平移

综上得到函数 y=

1 2 3 cos x+ sinxcosx+1 的图象. 2 2

评述: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 考查利用三角公式进行恒等变形的技能以 及运算能力. 98.解: (1)y=

3 sinx+cosx=2(sinxcos

? 6

+cosxsin

? 6

)=2sin(x+

? 6

) ,x∈R

y 取得最大值必须且只需 x+

? 6



? +2kπ ,k∈Z, 2

即 x=

? +2kπ ,k∈Z. 3 ? +2kπ ,k∈Z} 3

所以,当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x=

(2)变换的步骤是: ①把函数 y=sinx 的图象向左平移

? 6

,得到函数 y=sin(x+

? 6

)的图象;

②令所得到的图象上各点横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数 y=2sin(x+

? 6

)的图象;

经过这样的变换就得到函数 y=

3 sinx+cosx 的图象.

评述: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 利用三角公式进行恒等变形的技能及运算 能力. 99.解:∵sinα = <2kπ +π , ∴4kπ +

4 3 24 3 ,α 是第二象限角,∴cosα =- ,sin2α =- 且 2kπ + π <α 4 5 25 5

7 3 π <2α <4kπ +2π .cos2α = , 2 25

故 sin(

? 1 7 3 24 37 ? π -2α )=sin( -2α )= sin( ? 2? ) ? ? ? (? ) 6 6 6 2 25 2 25

?

7 12 ? 3. 50 25
A?C A?C cos =2sinB 2 2
A?C B ? cos 2 2

100.解:由正弦定理和已知条件 a+c=2b 得 sinA+sinC=2sinB 由和差化积公式得 2sin

由 A+B+C=π ,得 sin

又 A-C=

? 3 B 得 cos =sinB 3 2 2



3 B B B cos ? 2 sin cos 2 2 2 2
B ? B ? , cos ≠0 2 2 2

∵0 ?

∴ sin

B 3 B 13 2 B ,从而 cos ? 1 ? sin ? ? 2 4 2 2 4

∴sinB= 2 ?

3 13 39 . ? ? 4 4 8

评述:本题考查数列的基本概念、三角函数的基础知识及准确的推理和运算能力. 101.解:∵tan

?
2

?

1 , 2

1 ? 1 ? tan 2 4 2 ? 2 ? , cos ? ? 2 ? 3. ∴sinα = ? 1 5 ? 5 1 ? tan 2 1? 1 ? tan 2 2 4 2 2 tan 2?
∴sin(α +

?

? 6

)=sinα cos

? 6

+cosα sin

? 3? 4 3 = . 6 10
1 , 6 1 , 6

102.解:∵sin(

? +α 4

)sin(

? -α 4

)=

∴sin(

? +α 4 ? +α 4

)cos[

? ? -( -α 2 4 ? +α 4
)=

) ]=

即 sin(

)cos(

1 , 6

∴sin(

? +2α 2

)=

1 1 ? ,即 cos2α = ,∵α ∈( ,π ) ,则 2α ∈(π ,2π ) , 3 3 2
2 4 2 2 .于是 sin4α =2sin2α cos2α =- . 3 9

∴sin2α =

1 ? cos 2 2? ? ?

103.解:由已知可得 B=60°,A+C=120°,

1 1 2 1 1 ? ?? ? ? ? ?2 2 ? cos A ? cos C cos A cos C cos B cos A cos C ? ?2 2 cos A cos C ,
变形得 2 cos

A?C A?C cos ? ? 2[cos( A ? C ) ? cos( A ? C )] 2 2

将 cos

A?C 1 1 =cos60°= ,cos(A+C)=- 代入上式得 2 2 2

cos

A?C 2 ? ? 2 cos(A ? C ) , 2 2

将 cos2(A-C)=2cos2

A?C 2 -1 代入上式并整理得

4 2 cos 2

A?C A?C ? 2 cos ?3 2 ? 0, 2 2

A?C A?C 即(2cos 2 - 2 ) (2 2 ?cos 2 +3)=0,
因为 2

2 cos

A?C 2 +3≠0,

A?C A?C 2 所以 2cos 2 - 2 =0,从而 cos 2 = 2
评述:本题考查三角函数的基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力. 104.解:原式=

1 1 1 (1-cos40°)+ (1+cos100°)+ (sin70°-sin30°) 2 2 2

=1+

1 1 1 (cos100°-cos40°)+ sin70°- 2 2 4



3 1 -sin70°sin30°+ sin70° 2 4 3 1 3 1 - sin70°+ sin70°= . 2 4 2 4



评述:本题考查三角恒等式和运算能力. 105.解:由题设 sinα =

? 3 ,α ∈( ,π ) , 5 2

可知 cosα =-

3 4 ,tanα =- 5 4
1 1 2 tan ? 4 ,tanβ =- ,所以 tan2β = ?? 2 2 1 ? tan2 ? 3

又因 tan(π -β )=

3 4 ? ? tan? ? tan 2 ? 7 ? 4 3? . tan(α -2β )= 1 ? tan? tan 2 ? 1?1 24
106.解:因为 sin3x?sin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x=

1 [ (cos2x 2

-cos4x)sin2x+(cos2x+cos4x)cos2x]=

1 [ (sin2x+cos2x)cos2x+(cos2x-sin2x)cos4x] 2

=

1 1 (cos2x+cos2xcos4x)= cos2x(1+cos4x)=cos32x 2 2

? cos 3 2 x 所以 y= +sin2x=cos2x+sin2x= 2 sin(2x+ ) 2 4 cos 2 x
当 sin(2x+

? 4

)=-1 时,y 取最小值-

2.

107.证明:tanx1+tanx2=

sin x1 sin x2 sin x1 cos x2 ? cos x1 sin x2 ? ? cos x1 cos x2 cos x1 cos x2

?

sin(x1 ? x2 ) 2 sin(x1 ? x2 ) ? cos x1 cos x2 cos(x1 ? x2 ) ? cos(x1 ? x2 )

因为 x1,x2∈(0,

? ) 1≠x2, ,x 2

所以 2sin(x1+x2)>0,cosx1cosx2>0,且 0<cos(x1-x2)<1, 从而有 0<cos(x1+x2)+cos(x1-x2)<1+cos(x1+x2) , 由此得 tanx1+tanx2>

2 sin(x1 ? x2 ) , 1 ? cos(x1 ? x2 )

所以

x ? x2 1 (tanx1+tanx2)>tan 1 2 2



x ? x2 1 [f(x1)+f(x2) ]>f( 1 ). 2 2

评述:本题考查三角函数的基础知识,三角函数性质和推理能力. ●命题趋向与应试策略 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低, 而对本章的内容的考查有逐步加强的趋 势,主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查,且难度不大,从 1993 年至 2002 年考 查的内容看,大致可分为四类问题 (1)与三角函数单调性有关的问题; (2)与三角函数图象有关的问题; (3)应用同角变换和诱导公式,求三角函数值及化简和等式证明的问题; (4)与周期有关的问题. 3.基本的解题规律为:观察差异(或角,或函数,或运算) ,寻找联系(借助于熟知的 公式、方法或技巧) ,分析综合(由因导果或执果索因) ,实现转化.

解题规律:在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为 已知角求解; 在最值问题和周期问题中, 解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一 个三角函数表达的形式求解. 4.立足课本、 抓好基础.从前面叙述可知, 我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂 三角变换和特殊技巧的考查, 而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查, 对基础知识和 基本技能的考查上来,所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行 恒等变形的同时, 也直接考查了三角函数的性质及图象的变换, 可见高考在降低对三角 函数恒等变形的要求下,加强了对三角函数性质和图象的考查力度. 5.重视数学思想方法的复习 如前所述本章试题都以选择、填空题形式出现,因此复习中要重视选择、填空题的一些 特殊解题方法,如数形结合法、代入检验法、特殊值法,待定系数法、排除法等.另外对有 些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如: 关于对称问题, 要利用 y=sinx 的对称轴为 x=kπ +

? (k∈Z) 对称中心为 , (kπ , , 0) 2

(k∈Z)等基本结论解决问题,同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征. 在求三角函数值的问题中,要学会用勾股数解题的方法,因为高考试题一般不能查表, 给出的数都较特殊,因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果. 6.加强三角函数应用意识的训练 1999 年高考理科第 20 题实质是一个三角问题,由于考生对三角函数的概念认识肤浅, 不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系,造成思维障碍,思路受阻.实际 上,三角函数是以角为自变量的函数,也是以实数为自变量的函数,它产生于生产实践,是 客观实际的抽象,同时又广泛地应用于客观实际,故应培养实践第一的观点.总之,三角部 分的考查保持了内容稳定, 难度稳定, 题量稳定, 题型稳定, 考查的重点是三角函数的概念、 性质和图象,三角函数的求值问题以及三角变换的方法. 7.变为主线、抓好训练.变是本章的主题,在三角变换考查中,角的变换,三角函数名的 变换,三角函数次数的变换,三角函数式表达形式的变换等比比皆是,在训练中,强化 变意识是关键,但题目不可太难,较特殊技巧的题目不做,立足课本,掌握课本中常见问题 的解法,把课本中习题进行归类,并进行分析比较,寻找解题规律. 针对高考中题目看,还要强化变角训练,经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外 如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要 加强,这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目. 8.注意对三角形中问题的复习.由于教材的变动,有关三角形中的正、余弦定理.解三角 形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低, 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展, 1996 年和 1998 年的高考试题就可看出, 从 但也 不可太难,只要掌握基本知识、概念,深刻理解其中基本的数量关系即可过关. 9.在复习中,应立足基本公式,在解题时,注意在条件与结论之间建立联系,在变形过 程中不断寻找差异,讲究算理,才能立足基础,发展能力,适应高考.


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