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1.1 空间几何体的结构


1.1

空间几何体的结构

1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.1.2 简单组合体的结构特征
目标要求: 1.通过实例,了解多面体、旋转体以及简单组合体的概念及特征. 2.理解棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以及球的概念. 3.概括并掌握柱体、椎体、台体、球的概念及结构特征,并能利用这些特征来判断、描 述现实生活中的实物模型.

基础知识 细解读
知识点一 棱柱 结构特征 相关概念 两个互相平 行的面叫做棱柱 有两个面互 的底面,其余各面 相平行,其余各面 叫做棱柱的侧面; 都是四边形,并且 相邻侧面的公共 每响铃两个四边 边叫做棱柱的侧 形的公共边都互 棱;侧面与底面的 相平行. 公共顶点叫做棱 柱的顶点. 警示 “有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体”不一定是棱柱. 在四棱柱中,应掌握好以下关系: 图 1.1-1 棱柱分为三棱柱、 四棱柱、 五棱柱? ?可 以用表示底面各顶点的 字母表示棱柱,如图 1.1-1 的五棱柱表示为 棱 柱 图形 分类及表示

ABCDE ? A' B'C ' D' E '

例示:下列说法中,正确的是( A. B. C. D.



棱柱中所有的侧棱都相交于一点 棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形 棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形

解 析 ;A 选 项 不 符 合 棱 柱 的 特 点 ; B 选 项 中 , 如 图 1.1-2 ① , 构 造 四 棱 柱

ABCD 是梯形,可知平面 ABB1 A1 //平面 DCC1D1 ,但这两 ABCD ? 1A 1B 1C ,令四边形 D 1
个面不能作为棱柱的底面;C 选项中,如图 1.1-2②,底面 ABCD 可以是平行四边形;D 选 项是棱柱的特点.故选 D.

答案:D 知识点二 结构特征 有一个面试多边 形,其余各面都是有 一个公共顶点的三角 形,由这些围成的多 面体叫做棱锥. 棱锥 相关概念 多边形面叫做棱 锥的底面;有公共顶 点的各个三角形面叫 做棱锥的侧面;各侧 面的公共顶点叫做棱 图形 分类及表示 (1) 棱锥按底面 多边形的变数分为三 棱锥、四棱锥、五棱 锥? ?其中三棱锥 又叫做四面体;

锥的顶点;相邻侧面 的公共边叫做棱锥的 侧棱

(2) 棱锥也可用 表示顶点和底面各顶 点的字母表示,如图 1.1-3 中的四棱锥表 示为 S ? ABCD

拓展 正棱锥的概念及特征 (1)正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面上的正投影是底面的中心,这样的棱 锥叫做正棱锥. (2)正棱锥的两个本质特征:①底面是正多变形;②顶点在底面上的正投影是底面的 中心. (3)正棱锥的一些简单性质,由正棱锥的定义可得出:①各侧棱相等,各侧面都是全 等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜棱锥的高斜;②棱锥的 高、斜高和斜高在底面上的正投影组成一个直角三角形,棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的 正投影也组成一个直角三角形,如图 1.1-4 所示.

例示 下列命题中,真命题是(



A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥 B.底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥 D.底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥 解析:对于选项 A,到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心,该三角形不一定为正 三角形,故该命题是假命题;对于选项 B ,如图 1.1-5 所示, ? ABC 为正三角形,若

PA ? PB ? AB ? BC ? AC ? PC , ? APB , ? PBC , ? PAC 都是等腰三角形,但它不是

正三棱锥,故该命题是假命题;对于选项 C,顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心,底 面为任意三角形即可,故该命题是假命题;对于选项 D,顶点在底面上的正投影是底面三角 形的外心,又因为底面三角形为正三角形,所以外心即为中心,故该命题是真命题. 答案:D 知识点三 棱台 1.棱台的定义 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分所形成的多面体叫做 棱台. 2.棱台的相关概念 (1)底面:原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面; (2)侧面:其他各面叫做棱台的侧面; (3)侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱. 棱台的上底面、下底面、侧面和侧棱如图 1.1-6 所示.

3.棱台的分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥? ?截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台? ? 如图 1.1-7 所示.

4.棱台的表示 可 以 用 表 示 底 面 各 顶 点 的 字 母 表 示 棱 台 , 如 图 1.1-6 所 示 的 棱 台 可 表 示 为 棱 台

ABCD ? A' B'C ' D' .
拓展 (1)棱台的判断标准 ①棱台的上、下底面互相平行,而且相似,这是判断棱台的一个标准; ②棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一部分, 所以棱台的各侧棱的延长线相较于一点, 这是判 断棱台的另一个重要标准. (2)正棱台及其性质 ①正棱台:又正棱锥截得的棱台叫做正棱台; ②正棱台的性质:正棱台的侧棱长相等,侧面是全等的等腰梯形,各等腰梯形的高叫做 棱台的斜高,也相等;正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形. 例示 如图 1.1-8,能推断这个几何体可能是三棱台的是( A. A1B1 ? 2 , AB ? 3 , B1C1 ? 3 , BC ? 4 )

AB ? 2 , B1C1 ? 1.5 , BC ? 2 , AC AC ? 4 B. A 1B 1 ? 1, 1 1 ? 2, AB ? 2 , B1C1 ? 1.5 , BC ? 3 , AC AC ? 4 C. A 1B 1 ? 1, 1 1 ? 2,
D. A1B1 ? AB , B1C1 ? BC , C1 A1 ? CA

解析:因为三棱台的上、下底面相似,所以该几何体如果是三棱台,那么

? ABC ?? A1B1C1 ,即
答案:C. 知识点四 圆柱 1.圆柱的定义

AB BC AC = = ? 1 .故选项 C 正确. A1B1 B1C1 A1C1

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 2.圆柱的相关概念

(1)轴:旋转轴叫做圆柱的轴; (2)底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱底面; (3)侧面:平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面; (4)母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 圆柱的轴、底面、侧面和母线如图 1.1-9 所示.

3.圆柱的表示 圆柱一般用表示它的轴的字母表示,如图 1.1-9 所示的圆柱表示为圆柱 O O . 圆柱和棱柱统称为柱体. 4.圆柱的结构特征 (1)底面是全等且平行的圆面; (2)母线有无数条,都与轴平行. 提示 (1)圆柱的轴垂直于底面. (2)圆柱的所有母线都相互平行且相等,而且都与圆柱的轴平行. (3)圆柱的母线垂直于底面. 例示 给出下列命题: ①圆柱的底面是圆; ②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形; ③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线; ④圆柱的任意两条母线互相平行; ⑤圆柱的侧面沿母线展开后的图形是矩形; ⑥圆柱的母线有且只有一条. 其中正确的是------------(只填序号). 解析:①不正确.因为圆柱的底面是圆面而不是圆;②正确,因为母线互相平行,且都
'

垂直于底面; ③不正确, 因为连接圆柱上、 下底面圆周上两点的线段不一定与圆柱的轴平行; ④正确,因为圆柱的任意一条母线都与轴平行;⑤正确,因为圆柱是一个旋转体,沿一条母 线剪开,将其侧面展成平面图形,便得到一个矩形;⑥不正确,因为圆柱是矩形绕一边所在 的直线旋转而成的,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线,所以圆柱的 母线有无数条. 答案:②④⑤ 知识点五 圆锥 1.圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 提示 圆锥都满足以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴; 当以斜边为旋转轴时, 所得 几何体就是两个圆锥的组合体. 2.圆锥的相关概念 (1)轴:旋转轴叫做圆锥的轴; (2)底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面; (3)侧面:三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面; (4)母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线.圆锥的轴、底面、 侧面和母线如图 1.1-10 所示.

3.圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示,如图 1.1-10 所示的圆锥可记为圆锥 SO . 圆锥和棱锥统称为椎体. 4.圆锥的结构特征 (1)底面是圆面.

(2)圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线. (3)侧面是无数条母线组成的,且母线长都相等. 拓展 (1)平行于底面的截面都是圆面,如图 1.1-11①所示. (2)过轴的截面是全等的等腰三角形,如图 1.1-11②所示 (3)圆锥的侧面展开图是扇形,如图 1.1-11③所示.

例示 一个有 30 角的直角三角尺绕其各条边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥 吗?如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转 180 得到什么图形?旋转 360 又得到什么图 形? 解:如图 1.1-12 所示,①②旋转一周所得到的几何体是圆锥,③旋转一周所得到的几 何体是两个圆锥的组合体, ④旋转 180 所得到的几何体是两个半圆锥的组合体, 旋转 360 所 得到的几何体是圆锥.
? ?

?

?

?

知识点六 圆台 1.圆台的定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面于截面之间的部分叫做圆台. 圆台可以看作是直角梯形以垂直于底边的腰所在直线为旋转轴.其余三边旋转形成的面

围成的旋转体. 2.圆台的相关概念 (1)轴:旋转轴叫做圆台的轴(即上、下底面圆心的连线) ; (2)底面:截面和原圆锥的底面分别叫做圆台的上底面和下底面,也可以说,直角梯形 中垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的上、下底面; (3)侧面:直角梯形中不垂直于底边的腰旋转而成的曲面叫做圆台的侧面; (4)母线:不垂直于底边的腰无论旋转到什么位置都叫做圆台的母线. 圆台的轴、底面、侧面、母线如图 1.1-13 所示.

3.圆台的表示 用表示它的轴的字母来表示,如图 1.1-13 所示的圆台可表示为圆台 O1O . 圆台和棱台统称为台体. 拓展 圆台的简单性质 (1)平行于底面的截面都是圆面,如图 1.1-14 ①所示. (2)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰梯形,如图 1.1-14②所示. (3)圆台沿母线展开的侧面展开图是扇环,如图 1.1-14 所示③.

例示 下列说法正确的是(



①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成; ②用任意一个与底面平行的平面截圆台,截面是圆面; ③在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线平行, 圆锥的任意两条母线相交, 圆台的任意两条母线延长后相 交.

A.

①④

B.

②③

C. ①③

D. ②④

圆柱的任意两条母线平行, 圆锥的任意两条母线相交, 圆台的任意两条母线延长后相交. 解析: 圆台可以由直角梯形绕其垂直于底边的腰所在直线或等腰梯形绕其底边的中垂线 旋转形成,故①错误; 圆台的上、下底面是圆面,用平行于底面的平面截圆台,截面是圆面,故②正确; 在圆台的上、下底面圆周上各取一点,这两点的连线不一定是母线,所有母线延长后应 交于一点,故③错误; 圆柱的母线与旋转轴平行,任意两条母线也平行;圆锥的母线都相较于一点;圆台是由 圆锥截得的,故母线延长后交于一点,故④正确 答案:D 知识点七 球 1.球的定义 如图 1.1-15 所示,以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫 做球体,简称球.

2.球的相关概念 (1)球心:半圆的圆心叫做球的球心. (2)半径:半圆的半径叫做球的半径; (3)直径:半圆的直径叫做球的直径.

球的球心、半径、直径如图 1.1-15 所示. 3.球的表示 常用表示球心的字母 O 表示,图 1.1-15 中的球表示为球 O .

拓展 球的截面的性质 用一个平面去截球,截面是圆面,而且球心和截面圆心的连线垂直于截面,球心到截 面的距离与球的半径 d 及截面的半径 r 有下面的关系: r ?

R2 ? d 2 ,如图 1.1-16 所示.

辨析 球面、球体及大圆的概念 (1)球面:球的表面叫做球面,所以球面是旋转形成的曲面.另外,球面也可看成与定 点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹). (2)球体:球体与球面是不同的,球体是几何体,球面是曲面,但两者也有联系,球 面是球体的表面. (3)大圆:过球心作球的截面,所得的截面叫做大圆. 例示 下列命题正确的个数是( )

①球的半径是球面上任意一点与球心的连线; ② 球的直径是球面上任意两点间的线段; ③用一个平面截一个球, 得到的是一个圆; ④用一个平面截一个球, 得到的截面是一个圆面.

A.

0

B. 1

C.

2

D. 3

解析:命题①是正确的;命题②是错误的,只有两点的连线经过球心时才为直径;命题 ③是错误的,截得的是一个圆面;命题④是正确的.

答案:C 知识点八 简单组合体 1.简单组合体的定义 由简单几何体组合而成的几何体叫做简单几何体. 2.简单组合体的基本形式 (1)由简单几何体拼接而成; (2)由简单几何体截去或挖去一部分而成. 拓展 几种常见的组合体 (1)多面体与多面体的组合体:由两个或两个以上的多面体组合而成的几何体. (2)多面体与旋转体的组合体:由一个或一个以上的多面体与一个或一个以上的旋转 体组合而成的几何体. (3)旋转体与旋转体的组合体:由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体. 例示 说出图 1.1-17 中几何体的主要结构特征.

解:图 1.1-17①中组合体是由一个半球和一个圆柱组成的; 图 1.1-17②中组合体是由一个四棱锥和一个长方体组成的.

应用能力 巧提升
应用点一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 ( )

例 1 下列说法正确的是 A. B. C. D.

有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 九棱柱有 9 条侧棱,9 个侧面,侧面为平行四边形

解析:A,B 错误,反例如图 1.1-18①;⒈C 错误,反例如图 1.1-18②,上、下底面是全 等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体;⒉

根据棱柱的定义,知 D 正确.

答案:D 过程释疑 1.如图 1.1-18①,该几何体的两个底面平行,其余各面都是平行四边形,但它不是棱柱. 只强调侧面不全面,还须考虑上、下底面. 2.判断一个几何体是否为棱柱,关键是紧扣棱柱的三个本质特征: ①有两个面互相平行;②其余各面是平行四边形;③在这些平行四边形面中故,每相邻 两个面的公共边都互相平行.这三个条件缺一不可.解答此类问题要思维严谨,紧扣几何体的 定义. 例 2 下列叙述正确的是 .(只填序号)

①四棱锥的四个侧面都可以使直角三角形; ②三棱锥的四个面都可以是直角三角形; ③ 用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分时棱台;④两个底面平行且相似,其余个 面都是梯形的多面体是棱台. 解析:如图 1.1-19,当四棱锥的底面是一个矩形,并且一条侧棱垂直于底面时,四棱 锥的四个侧面就可以都是直角三角形,所以①是正确的;⒈ 如图 1.1-20,当三棱锥满足侧棱 AD ? 底面 DCB (其中 ? BCD 中, ?BCD 是直角) 时,三棱锥的四个面就都是直角三角形,所以②是正确的;⒉ ③中的平面不一定平行于底面,所以③是错误的; 若④中多面体的侧棱延长后不能交于一点, 则相应的多面体就不是棱台, 所以④是错误 的. 答案:①②

过程释疑 1.如图 1.1-19,四个侧面中的直角分别是 ?FBA , ?FBC , ?FCD , ? FAD . 2.如图 1.1-20,三棱锥四个面中的直角分别是 ?ADC , ? ADB , ?BCD , ?ACB . 棱柱、棱锥、棱台都是多面体,关于其结构特征的题目,解题时首先要准确把握它们 的概念和本质特征;其次要注意特殊情况,如直棱柱、正棱锥、正棱台等. 应用点二 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征

例 3.下列命题正确的是---------.(只填序号) ①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转 180 形成的曲面围成 的几何体是圆锥. ⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内; ⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段; ⑦球面上任意三点可能在一条直线上; ⑧用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面. 解析: ①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥⒈; ②以直 角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台;③它们的底面为圆面⒉; ④正确;作球的一个界面,在界面的圆周上任意取四个不同的点,则这四点就在球面上,故 ⑤错误;根据球的半径定义,知⑥正确;球面上任意三点一定不共线,故⑦错误;用一个平 面去截球,一定截得一个圆面,故⑧正确. 答案:④⑥⑧ 过程释疑 1.强调“一条直角边” ,若以斜边所在直线为轴,则得不到圆锥. 2.明确圆于圆面的区别,圆仅指圆周,为一条封闭的曲线,圆面包括圆周和圆周包围的
?

部分. 圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体,关于它们的结构特征,要正确把握概念的本 质,多考虑几种可能的情形.同时要注意旋转体的特征. 知识点三 简单组合体的应用

例 4.直角梯形 ABCD 如图 1.1-21 所示,分别以 AB , BC , CD , DA ,所在直线为 轴旋转,试说明所得几何体的大致形状.

分析:可结合实物,反复实践操作,归纳旋转后可能出现的所有情况. 解:以直线 AB 为轴旋转可得到一个圆台⒈;以直线 BC 为轴旋转可得到一个圆台⒉; 以直线 CD 为轴旋转可得到一个圆台,下面挖出一个小圆锥,上面增加一个较大的圆锥⒊; 以直线 AD 为轴旋转可得到一个圆柱,上面挖去一个圆锥.以上情况可用图形描绘,如图 1.1-22①②③④所示.

过程释疑 1.直角梯形 ABCD 是圆台轴截面的一般 2.过点 D 向 BC 作垂线,可将梯形 ABCD 分为直角三角形和矩形两部分,借助圆柱和 圆锥的形成过程即可得. 3.分别由点 A 和点 B 向 CD 所在的直线作垂线,借助圆台和圆锥的形成过程即可得. 4.过点 C 向 AD 所在的直线作垂线,借助圆柱和圆锥的形成过程即可得. 确定旋转后组合体的构成,主要考查旋转体的有关知识;空间想象能力,多角度分析问

题、解决问题的能力及动手实践的能力; “数”与“形”相结合的思想. 应用点四 简单几何体的计算 例 5 一个圆台的母线长为 12 cm ,两底面面积分别为 4? cm 和 25? cm ,求:
2 2

(1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 分析:首先作出轴截面,把问题转化到三角形中,然后通过解三角形求得高和母线长. 解: (1)如图 1.1-23 所示,圆台的轴截面是等腰梯形 ABCD .⒈ 由已知可得,上底的一半 O1 A ? 2cm ,下底的一半 OB ? 5cm . 又因为母线长为 12cm ,所以高 AM ? 12 ? ? 5 ? 2 ? ? 3 15 ? cm ? .⒉
2 2

(2)如图 1.1-23 所示,延长 BA , OO1 , CD 交于点 S .设截得此圆台的圆锥的母线长 为 lcm ,则由 ? SAO1 ?? SBO 可得, 线长为 20cm .

l ? 12 2 ? ,⒊解得 l ? 20 ,即截得次圆台的圆锥的母 l 5

过程释疑 1.明确轴截面的几何图形,把空间问题转化为平面问题. 2 在轴截面中构造出直角三角形,利用勾股定理计算. 3. 利用圆台与圆锥的关系构造圆锥的轴截面,利用三角形相似,得出比例关系求解. 在遇到有关台体的问题时,一般要把台体还原成椎体,利用“还台为锥”的思想进行解 答.该思想不仅应用与作图,而且在计算时也应用与寻求元素间的关系.

多向思维

新拓展

分类讨论思想
例 1 试画出正方体所有可能的截面,并说明截面的特征.

分析:可以先按照三角形、四边形、五边形? ?的顺序考虑正方体的截面,再说明截 面的特征. 解:①截面可以是三角形:一般三角形、等腰三角形、等边三角形;截面三角形是锐角 三角形,不能是直角三角形、钝角三角形; ②截面可以是四边形:一般平行四边形.矩形.菱形.正方形.一般梯形.等腰梯形;截面为 四边形时,这个四边形中至少有一组对边平行;截面不能事直角梯形; ③截面可以使五边形:截面五边形必有两组分别平行的边,同时有两个角相等;截面五 边形不可能是正五边形; ④截面可以是六边形:截面六边形必有分别平行的边,同时又两个角相等;截面六边形 可以是等角(均为 120 ? )的六边形.特别地,可以是正六边形. 对应截面图形如图 1.1-24 中各图形所示.

图 1.1-24 对于本题截面的形状,因为截面未定,所以应分类讨论尝试着去画,对每一类情况不必 从理论上去严格证明.还可以制作实物模型,如先把萝卜块切割成一个正方体形状,再用刀 从各个角度切割,可以形象地展示出截面的各种形状. 例 2 如图 1.1-25 所示,在侧棱长为 2 3 的正三棱锥 V-ABC 中,

?AVB ? ?BVC ? ?CVA ? 40? ,过点 A 作截面 AEF 分别交 VB,
VC 于点 E,F,求截面 ? AEF 周长的最小值.

分析: 将正三棱锥沿侧棱 VA 展开

求截面周长转化为求线段长

利用正三棱锥的性质求解

解:将三棱锥 V-ABC 沿侧棱 VA 剪开,将其侧面展开图平铺在一个 平面上,如图 1.1-26 所示,则 ? AEF 的周长= AE ? EF ? FA 1. 因 为 AE ? EF ? FA 1 ? AA 1 , 所以线段 AA 1 (即 A, E, F , A 1 四点共线时) 的长即为所求 ? AEF 周长的最小值. 作 VD ? AA 1 , 垂足为点 D. 由

VA ? VA1 , 知 D 为 AA1 的中点. 由已知 ?AVB ? ?BVC ? ?CVA1
? 40? , 得 ?AVD ? 60? .
在 Rt ? AVD 中, AD ? VA sin 60? ? 2 3 ? 所以截面 ? AEF 周长的最小值是 6. 求几何体表面上两点间的最小距离的步骤. (1)将几何体沿着某棱剪开后展开,画出其侧面展开图; (2)将所求曲面问题转化为平面上的线段问题; (3)集合已知条件求得结果.

3 ? 3 , 即 AA1 ? 2 AD ? 6 . 2

高效训练 速提能
1.半圆绕一条直线旋转一周所得到的几何体是 ( A.球 B.球面 C.球或球面 ) C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于 D.不确定 )

2.一般棱台不具有的性质是 ( A.两地面相似 一点 3.下列命题中,正确的是( )

B.侧面都是梯形

A.平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形 B.平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形 C.过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D.过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形

4.在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中, P,Q,R 分别是 AB,AD, B1C1 的中点, 那么正方体过 P,Q,R 的截面图形是 ( A.三角形 ) B.四边形 C.五边形 D.六边形

5.在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个正五棱柱对角线的条数为 ( A.20 B.15 C.12 ) D.10

6. 与 正 方 体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1的 三 条 棱 AB, CC1 , A1D 1 所 在 直 线 的 距 离 相 等 的 点 ( ) A.有且只有 1 个 B.有且只有 2 个 C.有且只有 3 个 D.有无数个

7.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上.下.东. 南.西.北. 现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开.外面 朝上展平,得到图 1.1-27 的平面图形,则标“ ? ”的面的 方位是 ( A.南 ) B.北 C.西 D.下

8. 一个棱柱至少有_____个面;面数最少的棱柱有______个顶点,有_______条棱. 9.轴截面是直角三角形的圆锥的底面半径为 r,则其轴截面面积为______. 10.凌锥侧面是有公共顶点的三角形,能围城一个凌锥侧面的正三角形的个数的最大值 为______. 11.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上.下底面半径的比是 1:4,母线长是 10cm,求圆 锥的母线长. 12.如图 1.1-28 所示,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 3 ,

AA1 ? 4 ,M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上一点,且由点 P 沿棱柱
侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路线长为 29 . 设这条最短路 线与 CC1 的交点为 N,求点 P 的位置. 答案专区 1.D 2.C 3.C 解析:因为旋转轴不明确,故所得几何体不确定. 解析:当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等. 解析:A 中的截面是抛物面,故错误;B 中截

面只过一个底面时,不成立;而 D 中截面不过另一个底面时,也不成立;因为圆锥的 母线相等,所以过圆锥顶点的截面是等腰三角形,故 C 成立. 4.D 解析:如图 1.1-29 所示,取 C1 D1 的中点 H,连接 HR,

则 HR ? QP ,再分别取 B1B, D1D 的中点 M,N,连接 HN,NQ, QP,PM,MR,则六边形 HNQPMR 是正六边形,故选 D. 5.D 解析:上底面内的每个顶点与下底面内不在同一侧面内

的两个顶点的连线可构成正五棱柱的对角线,所以共有 10 条. 6.D 解析:如图 1.1-30,设 P 为线段 B1D 上任一点,过点 P 分别作

棱 AB , CC1 , A1D1 的垂线,垂足分别为 E,F,G,过点 P 分别作面 AB1 ,面

BC1 ,面 AC 1 1 的垂线,垂足分别记为 H,I,J,连接 HE,IF,GJ,由正方体
的性质易知 Rt ? PHE ? Rt ? PIF ? Rt ? PJG , 所以 PE=PF=PG, 即点 P 到棱 AB, CC1 , A1D1 的距离相等,又因为 P 为线段 B1D 上任意一点 ,所以符合条件的点有无数个. 7.B 解析:将正方体展开图还原为正方体,如图 1.1-31

所示,故标 ? 的方位为北,故应选 B.

8.5 6 9 条棱. 9. r
2

9

解析:因为面数最少的棱柱是三棱柱,所以至少有 5 各面,6 个顶点,

解析:由圆锥的结构特征,知轴截面为等腰直角三角形,其高为 r ,所以

S?

1 ? 2r 2 ? r 2 . 2
10. 5 解析:侧面顶角的和小于 360? 即可,故正三角形最多有 5 个.

11. 分析:设出圆锥母线长,圆台上.下底面半径,作出轴截 面,利用三角形相似求得母线长. 解:设圆锥的母线长为 y cm, 圆台上.下底面半径分别是 x cm, 4x cm. 作圆锥的轴截面如图 1.1-32 所示.
' ' ' ' ' 在 Rt ? SOA 中, O A ? OA ,所以 SA : SA = O A : OA ,

即 ( y ? 10) : y ? x : 4 x ,解得 y ?

40 40 .所以圆锥的母线长为 cm. 3 3

12.分析: 把三棱柱的侧面展开后放在平面上,通过列方程来求出点 P 到点 C 的距离, 即确定了点 P 的位置. 解 : 如 图 1.1 - 33 所 示, 把 正 三 棱 柱 侧 面 展 开, 设 CP = x, 根 据 已 知可 得 方 程

22 ? (3 ? x)2 ? 29 ,解得 x=2(负值舍去),所以点 P 在与点 C 距离为 2 的位置.


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